En álgebra lineal , la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga una solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrados) y de las matrices obtenidas de ella reemplazando una columna por el vector de columna de los lados derechos de las ecuaciones. Lleva el nombre de Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750, [1] [2] aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748.[3] (y posiblemente lo supo ya en 1729). [4] [5] [6]
La regla de Cramer implementada de manera ingenua es computacionalmente ineficiente para sistemas de más de dos o tres ecuaciones. [7] En el caso de n ecuaciones en n incógnitas, se requiere el cálculo de n + 1 determinantes, mientras que la eliminación gaussiana produce el resultado con la misma complejidad computacional que el cálculo de un único determinante. [8] [9] [ verificación necesaria ] La regla de Cramer también puede ser numéricamente inestable incluso para sistemas 2 × 2. [10] Sin embargo, recientemente se ha demostrado que la regla de Cramer se puede implementar en el tiempo O ( n 3 ), [11] que es comparable a los métodos más comunes para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como la eliminación gaussiana (que requiere constantemente 2,5 veces tantas operaciones aritméticas para todos los tamaños de matriz), mientras que exhibe una estabilidad numérica comparable en la mayoría de los casos.
Caso general
Considere un sistema de n ecuaciones lineales para n incógnitas, representadas en forma de multiplicación de matrices de la siguiente manera:
donde la matriz A n × n tiene un determinante distinto de cero, y el vectores el vector de columna de las variables. Entonces el teorema establece que en este caso el sistema tiene una solución única, cuyos valores individuales para las incógnitas vienen dados por:
dónde es la matriz formada al reemplazar la i -ésima columna de A por el vector columna b .
Una versión más general de la regla de Cramer [12] considera la ecuación matricial
donde la matriz A de n × n tiene un determinante distinto de cero, y X , B son matrices de n × m . Secuencias dadas y , dejar ser la submatriz k × k de X con filas en y columnas en . Dejarser la matriz n × n formada al reemplazar elcolumna de A por elcolumna de B , para todos. Luego
En el caso , esto se reduce a la regla normal de Cramer.
La regla es válida para sistemas de ecuaciones con coeficientes e incógnitas en cualquier campo , no solo en los números reales .
Prueba
La prueba de la regla de Cramer usa las siguientes propiedades de los determinantes : linealidad con respecto a cualquier columna dada y el hecho de que el determinante es cero siempre que dos columnas son iguales, lo cual está implícito en la propiedad de que el signo del determinante cambia si cambia Dos columnas.
Corrige el índice j de una columna. Linealidad significa que si consideramos solo la columna j como variable (fijando las otras arbitrariamente), la función resultante [ aclaración necesaria ] R n → R (asumiendo que las entradas de la matriz están en R ) puede ser dada por una matriz, con una fila yn columnas , que actúa sobre la columna j . De hecho, esto es precisamente lo que hace la expansión de Laplace , escribiendo det ( A ) = C 1 a 1, j + ⋯ + C n a n, j para ciertos coeficientes C 1 , ..., C n que dependen de las columnas de A aparte de la columna j (la expresión precisa de estos cofactores no es importante aquí). El valor det ( A ) es entonces el resultado de la aplicación de la matriz de una línea L ( j ) = ( C 1 C 2 ⋯ C n ) a la columna j de A . Si L ( j ) se aplica a cualquier otra columna k de A , entonces el resultado es el determinante de la matriz obtenido de A al reemplazar la columna j por una copia de la columna k , por lo que el determinante resultante es 0 (el caso de dos iguales columnas).
Ahora considere un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas, cuya matriz de coeficientes es A , y se supone que det ( A ) no es cero:
Si uno combina estas ecuaciones tomando C 1 por la primera ecuación, más C 2 por la segunda, y así sucesivamente hasta C n por la última, entonces el coeficiente de x j se convertirá en C 1 a 1, j + ⋯ + C n a n, j = det ( A ) , mientras que los coeficientes de todas las demás incógnitas se vuelven 0; el lado izquierdo se convierte simplemente en det ( A ) x j . El lado derecho es C 1 b 1 + ⋯ + C n b n , que es L ( j ) aplicado al vector de columna b del lado derecho b i . De hecho, lo que se ha hecho aquí es multiplicar la ecuación matricial A x = b de la izquierda por L ( j ) . Dividiendo por el número distinto de cero det ( A ) se encuentra la siguiente ecuación, necesaria para satisfacer el sistema:
Pero por construcción, el numerador es el determinante de la matriz obtenida de A al reemplazar la columna j por b , por lo que obtenemos la expresión de la regla de Cramer como condición necesaria para una solución. El mismo procedimiento se puede repetir para otros valores de j para encontrar valores para las otras incógnitas.
El único punto que queda por demostrar es que estos valores de las incógnitas, los únicos posibles, forman una solución en conjunto. Pero si la matriz A es invertible con A −1 inversa , entonces x = A −1 b será una solución, mostrando así su existencia. Para ver que A es invertible cuando det ( A ) es distinto de cero, considere la matriz n × n M obtenida apilando las matrices unifilares L ( j ) una encima de la otra para j = 1, ..., n (este da la matriz adjunta para A ). Se demostró que L ( j ) A = (0 ⋯ 0 det ( A ) 0 ⋯ 0) donde det ( A ) aparece en la posición j ; de esto se sigue que MA = det ( A ) I n . Por lo tanto,
Deje que A sea un n × n matriz con entradas en un campo F . Luego
donde adj ( A ) denota la matriz adjunta , det ( A ) es el determinante e I es la matriz identidad . Si det ( A ) es distinto de cero, entonces la matriz inversa de A es
Esto da una fórmula para la inversa de A , siempre que det ( A ) ≠ 0 . De hecho, esta fórmula funciona siempre que F es un anillo conmutativo , siempre que det ( A ) sea una unidad . Si det ( A ) no es una unidad, entonces A no es invertible sobre el anillo (puede ser invertible sobre un anillo más grande en el que algunos elementos no unitarios de F pueden ser invertibles).
Aplicaciones
Fórmulas explícitas para sistemas pequeños
Considere el sistema lineal
que en formato matricial es
Suponga que a 1 b 2 - b 1 a 2 distinto de cero. Luego, con ayuda de los factores determinantes , x e y se puede encontrar con la regla de Cramer como
Las reglas para matrices de 3 × 3 son similares. Dado
que en formato matricial es
Entonces, los valores de x, y y z se pueden encontrar de la siguiente manera:
En particular, la regla de Cramer puede usarse para probar que el operador de divergencia en una variedad de Riemann es invariante con respecto al cambio de coordenadas. Damos una prueba directa, suprimiendo el papel de los símbolos de Christoffel. DejarSer un colector de Riemann equipado con coordenadas locales.. Dejarser un campo vectorial . Usamos la convención de suma en todo momento.
Para demostrar que esto es igual , es necesario y suficiente demostrar que
que es equivalente a
Realizando la diferenciación del lado izquierdo, obtenemos:
dónde denota la matriz obtenida de eliminando el th fila y a columna. Pero la regla de Cramer dice que
es el a entrada de la matriz . Por lo tanto
completando la prueba.
Calcular derivados implícitamente
Considere las dos ecuaciones y . Cuando U y V son variables independientes, podemos definir y
Una ecuación para se puede encontrar aplicando la regla de Cramer.
Calculo de
En primer lugar, el cálculo de las primeras derivadas de F , G , x , y y :
Sustituyendo dx , dy en dF y dG , tenemos:
Como u , v son independientes, los coeficientes de du , dv deben ser cero. Entonces podemos escribir ecuaciones para los coeficientes:
Ahora, según la regla de Cramer, vemos que:
Esta es ahora una fórmula en términos de dos jacobianos :
Se pueden derivar fórmulas similares para
Programación de enteros
La regla de Cramer puede usarse para probar que un problema de programación de enteros cuya matriz de restricciones es totalmente unimodular y cuyo lado derecho es un entero, tiene soluciones básicas enteras. Esto hace que el programa de números enteros sea mucho más fácil de resolver.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
La regla de Cramer se utiliza para derivar la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea mediante el método de variación de parámetros .
Interpretación geométrica
Interpretación geométrica de la regla de Cramer. Las áreas del segundo y tercer paralelogramos sombreados son las mismas y el segundo es veces el primero. De esta igualdad se sigue la regla de Cramer.
La regla de Cramer tiene una interpretación geométrica que puede considerarse también una prueba o simplemente dar una idea de su naturaleza geométrica. Estos argumentos geométricos funcionan en general y no solo en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas presentadas aquí.
Dado el sistema de ecuaciones
se puede considerar como una ecuación entre vectores
El área del paralelogramo determinada por y viene dado por el determinante del sistema de ecuaciones:
En general, cuando hay más variables y ecuaciones, el determinante de n vectores de longitud n dará el volumen del paralelepípedo determinado por esos vectores en el espacio euclidiano n -ésimo .
Por lo tanto, el área del paralelogramo determinada por y tiene que ser multiplicado por el área del primero ya que uno de los lados se ha multiplicado por este factor. Ahora, este último paralelogramo, por el principio de Cavalieri , tiene la misma área que el paralelogramo determinado por y
Al igualar las áreas de este último y el segundo paralelogramo se obtiene la ecuación
de lo que se sigue la regla de Cramer.
Otras pruebas
Una prueba por álgebra lineal abstracta
Esta es una reafirmación de la prueba anterior en lenguaje abstracto.
Considere el mapa dónde es la matriz con sustituido en el a columna, como en la regla de Cramer. Debido a la linealidad del determinante en cada columna, este mapa es lineal. Observe que envía ela columna de hacia vector base (con 1 en el th lugar), porque el determinante de una matriz con una columna repetida es 0. Entonces tenemos un mapa lineal que concuerda con el inverso de en el espacio de la columna; por lo tanto, está de acuerdo conen el tramo del espacio de la columna. Desde es invertible, los vectores de columna abarcan todos los , por lo que nuestro mapa es realmente el inverso de . Sigue la regla de Cramer.
Una breve prueba
Se puede dar una breve prueba de la regla de Cramer [14] notando que es el determinante de la matriz
Por otro lado, asumiendo que nuestra matriz A original es invertible, esta matriz tiene columnas , dónde es el n columna -ésimo de la matriz A . Recuerde que la matriz tiene columnas , y por lo tanto . Por lo tanto, al usar que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes, tenemos
La prueba de otros es similar.
Casos incompatibles e indeterminados
Se dice que un sistema de ecuaciones es incompatible o inconsistente cuando no hay soluciones y se llama indeterminado cuando hay más de una solución. Para las ecuaciones lineales, un sistema indeterminado tendrá infinitas soluciones (si está sobre un campo infinito), ya que las soluciones se pueden expresar en términos de uno o más parámetros que pueden tomar valores arbitrarios.
La regla de Cramer se aplica al caso donde el determinante del coeficiente es distinto de cero. En el caso de 2 × 2, si el determinante del coeficiente es cero, entonces el sistema es incompatible si los determinantes del numerador son distintos de cero, o indeterminado si los determinantes del numerador son cero.
Para sistemas de 3 × 3 o superiores, lo único que se puede decir cuando el determinante del coeficiente es igual a cero es que si alguno de los determinantes del numerador es distinto de cero, entonces el sistema debe ser incompatible. Sin embargo, tener todos los determinantes cero no implica que el sistema sea indeterminado. Un ejemplo simple en el que todos los determinantes desaparecen (igual a cero) pero el sistema sigue siendo incompatible es el sistema 3 × 3 x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.
Referencias
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^Robinson, Stephen M. (1970). "Una breve prueba de la regla de Cramer". Revista de Matemáticas . 43 (2): 94–95. doi : 10.1080 / 0025570X.1970.11976018 .
enlaces externos
Prueba de la regla de Cramer
WebApp que resuelve descriptivamente sistemas de ecuaciones lineales con la regla de Cramer [ enlace muerto permanente ]
Calculadora en línea del sistema de ecuaciones lineales