Curvatura


En matemáticas , la curvatura es cualquiera de varios conceptos de geometría fuertemente relacionados . Intuitivamente, la curvatura es la cantidad en que una curva se desvía de ser una línea recta o una superficie se desvía de ser un plano .

Una célula migratoria de Dictyostelium discoideum de tipo salvaje cuyo límite está coloreado por la curvatura. Barra de escala: 5 µm.

Para las curvas, el ejemplo canónico es el de un círculo , que tiene una curvatura igual al recíproco de su radio . Los círculos más pequeños se doblan más bruscamente y, por lo tanto, tienen una curvatura más alta. La curvatura en un punto de una curva diferenciable es la curvatura de su círculo osculador , que es el círculo que mejor se aproxima a la curva cerca de este punto. La curvatura de una línea recta es cero. La curvatura de una curva en un punto es normalmente una cantidad escalar , es decir, se expresa mediante un solo número real .

Para las superficies (y, más generalmente, para las variedades de dimensiones superiores ), que están incrustadas en un espacio euclidiano , el concepto de curvatura es más complejo, ya que depende de la elección de una dirección en la superficie o la variedad. Esto conduce a los conceptos de curvatura máxima , curvatura mínima y curvatura media .

Para las variedades riemannianas (de dimensión al menos dos) que no están necesariamente incrustadas en un espacio euclidiano, se puede definir la curvatura intrínsecamente , es decir, sin referirse a un espacio externo. Ver Curvatura de variedades de Riemann para la definición, que se hace en términos de longitudes de curvas trazadas en la variedad y expresadas, usando álgebra lineal , por el tensor de curvatura de Riemann .

En Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum [1], la filósofa y matemática del siglo XIV Nicole Oresme introduce el concepto de curvatura como una medida de desviación de la rectitud, para los círculos tiene la curvatura como inversamente proporcional al radio e intenta extenderlo a otras curvas como una magnitud que varía continuamente. [2]

La curvatura de una curva diferenciable se definió originalmente mediante círculos osculantes . En este escenario, Augustin-Louis Cauchy demostró que el centro de curvatura es el punto de intersección de dos líneas normales infinitamente cercanas a la curva. [3]

Intuitivamente, la curvatura describe para cualquier parte de una curva cuánto cambia la dirección de la curva en una pequeña distancia recorrida (por ejemplo, ángulo en rad / m ), por lo que es una medida de la tasa instantánea de cambio de dirección de un punto que se mueve la curva: cuanto mayor es la curvatura, mayor es esta tasa de cambio. En otras palabras, la curvatura mide qué tan rápido gira el vector unitario tangente a la curva [4] (rápido en términos de posición de la curva). De hecho, se puede demostrar que esta tasa instantánea de cambio es exactamente la curvatura. Más precisamente, suponga que el punto se mueve en la curva a una velocidad constante de una unidad, es decir, la posición del punto P ( s ) es una función del parámetro s , que puede pensarse como el tiempo o como el longitud del arco desde un origen dado. Sea T ( s ) un vector unitario tangente de la curva en P ( s ) , que también es la derivada de P ( s ) con respecto a s . Entonces, la derivada de T ( s ) con respecto a s es un vector que es normal a la curva y cuya longitud es la curvatura.

Para ser significativa, la definición de la curvatura y sus diferentes caracterizaciones requieren que la curva sea continuamente diferenciable cerca de P , por tener una tangente que varía continuamente; también requiere que la curva sea dos veces diferenciable en P , para asegurar la existencia de los límites involucrados y de la derivada de T ( s ) .

La caracterización de la curvatura en términos de la derivada del vector unitario tangente es probablemente menos intuitiva que la definición en términos del círculo osculante, pero las fórmulas para calcular la curvatura son más fáciles de deducir. Por tanto, y también por su uso en cinemática , esta caracterización se suele dar como definición de la curvatura.

Círculo osculante

Históricamente, la curvatura de una curva diferenciable se definía a través del círculo osculador , que es el círculo que mejor se aproxima a la curva en un punto. Más precisamente, dado un punto P en una curva, cada otro punto Q de la curva define un círculo (o, a veces una línea) que pasa a través de Q y tangente a la curva en P . El círculo osculador es el límite , si existe, de este círculo cuando Q tiende a P . Entonces, el centro y el radio de curvatura de la curva en P son el centro y el radio del círculo osculador. La curvatura es el recíproco del radio de curvatura. Es decir, la curvatura es

donde R es el radio de curvatura [5] (todo el círculo tiene esta curvatura, se puede leer como giro sobre la longitud R ).

Esta definición es difícil de manipular y expresar en fórmulas. Por tanto, se han introducido otras definiciones equivalentes.

En términos de parametrización de la longitud del arco

Cada curva diferenciable se puede parametrizar con respecto a la longitud del arco . [6] En el caso de una curva plana, esto significa la existencia de una parametrización γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) , donde x y y son funciones diferenciables con valores reales cuyos derivados satisfacer

Esto significa que el vector tangente

tiene una norma igual a uno y, por lo tanto, es un vector tangente unitario .

Si la curva es dos veces diferenciable, es decir, si las segundas derivadas de x y y existe, entonces la derivada de T ( s ) existe. Este vector es normal a la curva, su norma es la curvatura κ ( s ) y está orientado hacia el centro de curvatura. Es decir,

Además, como el radio de curvatura es

y el centro de curvatura está en la normal a la curva, el centro de curvatura es el punto

Si N ( s ) es el vector normal unitario obtenido de T ( s ) mediante una rotación en sentido antihorario deπ/2, luego

con k ( s ) = ± κ ( s ) . El número real k ( s ) se llama curvatura orientada o con signo . Depende tanto de la orientación del plano (definición de sentido antihorario) como de la orientación de la curva proporcionada por la parametrización. De hecho, el cambio de la variable s → - s proporciona otra parametrización de la longitud del arco y cambia el signo de k ( s ) .

En términos de una parametrización general

Sea γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) una representación paramétrica adecuada de una curva plana dos veces diferenciable. Aquí propiamente dicho significa que en el dominio de definición de la parametrización, la derivadad γ/dt está definido, diferenciable y en ninguna parte es igual al vector cero.

Con tal parametrización, la curvatura con signo es

donde los primos se refieren a derivadas con respecto a t . La curvatura κ es entonces

Estos se pueden expresar sin coordenadas como

Estas fórmulas se pueden derivar del caso especial de parametrización de la longitud de arco de la siguiente manera. La condición anterior sobre la parametrización implica que la longitud del arco s es una función monótona diferenciable del parámetro t y, a la inversa, que t es una función monótona de s . Por otra parte, al cambiar, si es necesario, s a - s , se puede suponer que estas funciones están aumentando y tienen una derivada positiva. Usando la notación de la sección anterior y la regla de la cadena , uno tiene

y así, tomando la norma de ambos lados

donde el primo denota la derivación con respecto a t .

La curvatura es la norma de la derivada de T con respecto a s . Al usar la fórmula anterior y la regla de la cadena, este derivado y su norma se pueden expresar en términos de γ y γ únicamente, con el parámetro de longitud de arco s completamente eliminado, dando las fórmulas anteriores para la curvatura.

Gráfica de una función

La gráfica de una función y = f ( x ) , es un caso especial de una curva parametrizada, de la forma

Como la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0, las fórmulas anteriores se simplifican a

para la curvatura, y para

para la curvatura firmada.

En el caso general de una curva, el signo de la curvatura con signo es de alguna manera arbitrario, ya que depende de la orientación de la curva. En el caso de la gráfica de una función, existe una orientación natural al incrementar los valores de x . Esto hace significativo el signo de la curvatura firmada.

El signo de la curvatura con signo es el mismo que el signo de la segunda derivada de f . Si es positivo, entonces el gráfico tiene una concavidad hacia arriba y, si es negativo, el gráfico tiene una concavidad hacia abajo. Es cero, entonces uno tiene un punto de inflexión o un punto de ondulación .

Cuando la pendiente de la gráfica (que es la derivada de la función) es pequeña, la curvatura con signo está bien aproximada por la segunda derivada. Más precisamente, usando la notación O grande , uno tiene

Es común en física e ingeniería aproximar la curvatura con la segunda derivada, por ejemplo, en la teoría de vigas o para derivar la ecuación de onda de una cuerda tensa, y otras aplicaciones donde están involucradas pequeñas pendientes. Esto a menudo permite que los sistemas que de otro modo no son lineales se consideren lineales.

Coordenadas polares

Si una curva se define en coordenadas polares por el radio expresado en función del ángulo polar, es decir, r es función de θ , entonces su curvatura es

donde la prima se refiere a la diferenciación con respecto a θ .

Esto resulta de la fórmula para las parametrizaciones generales, considerando la parametrización

Curva implícita

Para una curva definida por una ecuación implícita F ( x , y ) = 0 con derivadas parciales denominadas F x , F y , F xx , F xy , F yy , la curvatura está dada por [7]

La curvatura con signo no está definida, ya que depende de una orientación de la curva que no proporciona la ecuación implícita. Además, cambiar F en - F no cambia la curva, pero cambia el signo del numerador si se omite el valor absoluto en la fórmula anterior.

Un punto de la curva donde F x = F y = 0 es un punto singular , lo que significa que la curva no es diferenciable en este punto y, por lo tanto, la curvatura no está definida (la mayoría de las veces, el punto es un punto de cruce o una cúspide ).

La fórmula anterior para la curvatura se puede derivar de la expresión de la curvatura de la gráfica de una función usando el teorema de la función implícita y el hecho de que, en dicha curva, uno tiene

Ejemplos de

Puede ser útil verificar en ejemplos simples que las diferentes fórmulas dadas en las secciones anteriores dan el mismo resultado.

Circulo

Una parametrización común de un círculo de radio r es γ ( t ) = ( r cos t , r sen t ) . La fórmula de la curvatura da

De ello se deduce, como se esperaba, que el radio de curvatura es el radio del círculo y que el centro de curvatura es el centro del círculo.

El círculo es un caso raro en el que la parametrización de la longitud del arco es fácil de calcular, ya que es

Es una parametrización de longitud de arco, ya que la norma de

es igual a uno. Esta parametrización da el mismo valor para la curvatura, ya que equivale a una división por r 3 tanto en el numerador como en el denominador de la fórmula anterior.

El mismo círculo también se puede definir mediante la ecuación implícita F ( x , y ) = 0 con F ( x , y ) = x 2 + y 2 - r 2 . Entonces, la fórmula para la curvatura en este caso da

Parábola

Considere la parábola y = ax 2 + bx + c .

Es la gráfica de una función, con derivada 2 ax + b , y segunda derivada 2 a . Entonces, la curvatura firmada es

Tiene el signo de a para todos los valores de x . Esto significa que, si a > 0 , la concavidad se dirige hacia arriba en todas partes; si a <0 , la concavidad está dirigida hacia abajo; para a = 0 , la curvatura es cero en todas partes, lo que confirma que la parábola degenera en una línea en este caso.

La curvatura (sin signo) es máxima para x = - B/2 a, es decir, en el punto estacionario (derivada cero) de la función, que es el vértice de la parábola.

Considere la parametrización γ ( t ) = ( t , en 2 + bt + c ) = ( x , y ) . La primera derivada de x es 1 y la segunda derivada es cero. Sustituir en la fórmula para las parametrizaciones generales da exactamente el mismo resultado que el anterior, con x reemplazado por t . Si usamos primos para derivadas con respecto al parámetro t .

La misma parábola también se puede definir mediante la ecuación implícita F ( x , y ) = 0 con F ( x , y ) = ax 2 + bx + c - y . Como F y = –1 y F yy = F xy = 0 , se obtiene exactamente el mismo valor para la curvatura (sin signo). Sin embargo, la curvatura con signo no tiene sentido aquí, ya que - F ( x , y ) = 0 es una ecuación implícita válida para la misma parábola, que da el signo opuesto para la curvatura.

Fórmulas de Frenet-Serret para curvas planas

Los vectores de T y N en dos puntos sobre una curva plana, una versión traducida de la segunda trama (de puntos), y δ T el cambio en la T . Aquí δs es la distancia entre los puntos. En el limite d T/dsserá en la dirección N . La curvatura describe la velocidad de rotación del marco.

La expresión de la curvatura En términos de parametrización de la longitud del arco es esencialmente la primera fórmula de Frenet-Serret

donde los primos se refieren a las derivadas con respecto a la longitud del arco s , y N ( s ) es el vector unitario normal en la dirección de T ′ (s) .

Como las curvas planas tienen torsión cero , la segunda fórmula de Frenet-Serret proporciona la relación

Para una parametrización general mediante un parámetro t , se necesitan expresiones que involucren derivadas con respecto a t . Como estos se obtienen multiplicando por ds/dtlas derivadas con respecto a s , uno tiene, para cualquier parametrización adecuada

Animación de la curvatura y el vector de aceleración T ′ ( s )

Como en el caso de las curvas en dos dimensiones, la curvatura de una curva espacial regular C en tres dimensiones (y más) es la magnitud de la aceleración de una partícula que se mueve con velocidad unitaria a lo largo de una curva. Por lo tanto, si γ ( s ) es la parametrización de la longitud del arco de C, entonces el vector tangente unitario T ( s ) viene dado por

y la curvatura es la magnitud de la aceleración:

La dirección de la aceleración es el vector normal unitario N ( s ) , que se define por

El plano que contiene los dos vectores T ( s ) y N ( s ) es el plano osculador de la curva en γ ( s ) . La curvatura tiene la siguiente interpretación geométrica. Existe un círculo en el plano osculante tangente a γ ( s ) cuya serie de Taylor a segundo orden en el punto de contacto coincide con la de γ ( s ) . Este es el círculo osculador de la curva. El radio del círculo R ( s ) se llama radio de curvatura y la curvatura es el recíproco del radio de curvatura:

The tangent, curvature, and normal vector together describe the second-order behavior of a curve near a point. In three dimensions, the third-order behavior of a curve is described by a related notion of torsion, which measures the extent to which a curve tends to move as a helical path in space. The torsion and curvature are related by the Frenet–Serret formulas (in three dimensions) and their generalization (in higher dimensions).

General expressions

For a parametrically-defined space curve in three dimensions given in Cartesian coordinates by γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), the curvature is

where the prime denotes differentiation with respect to the parameter t. This can be expressed independently of the coordinate system by means of the formula

where × denotes the vector cross product. Equivalently,

Here the T denotes the matrix transpose of the vector. This last formula (without cross product) is also valid for the curvature of curves in a Euclidean space of any dimension.

Curvature from arc and chord length

Given two points P and Q on C, let s(P,Q) be the arc length of the portion of the curve between P and Q and let d(P,Q) denote the length of the line segment from P to Q. The curvature of C at P is given by the limit[citation needed]

where the limit is taken as the point Q approaches P on C. The denominator can equally well be taken to be d(P,Q)3. The formula is valid in any dimension. Furthermore, by considering the limit independently on either side of P, this definition of the curvature can sometimes accommodate a singularity at P. The formula follows by verifying it for the osculating circle.

The curvature of curves drawn on a surface is the main tool for the defining and studying the curvature of the surface.

Curves on surfaces

For a curve drawn on a surface (embedded in three-dimensional Euclidean space), several curvatures are defined, which relates the direction of curvature to the surface's unit normal vector, including the:

  • normal curvature
  • geodesic curvature
  • geodesic torsion

Any non-singular curve on a smooth surface has its tangent vector T contained in the tangent plane of the surface. The normal curvature, kn, is the curvature of the curve projected onto the plane containing the curve's tangent T and the surface normal u; the geodesic curvature, kg, is the curvature of the curve projected onto the surface's tangent plane; and the geodesic torsion (or relative torsion), τr, measures the rate of change of the surface normal around the curve's tangent.

Let the curve be arc-length parametrized, and let t = u × T so that T, t, u form an orthonormal basis, called the Darboux frame. The above quantities are related by:

Principal curvature

Saddle surface with normal planes in directions of principal curvatures

All curves on the surface with the same tangent vector at a given point will have the same normal curvature, which is the same as the curvature of the curve obtained by intersecting the surface with the plane containing T and u. Taking all possible tangent vectors, the maximum and minimum values of the normal curvature at a point are called the principal curvatures, k1 and k2, and the directions of the corresponding tangent vectors are called principal normal directions.

Normal sections

Curvature can be evaluated along surface normal sections, similar to § Curves on surfaces above (see for example the Earth radius of curvature).

Gaussian curvature

In contrast to curves, which do not have intrinsic curvature, but do have extrinsic curvature (they only have a curvature given an embedding), surfaces can have intrinsic curvature, independent of an embedding. The Gaussian curvature, named after Carl Friedrich Gauss, is equal to the product of the principal curvatures, k1k2. It has a dimension of length−2 and is positive for spheres, negative for one-sheet hyperboloids and zero for planes. It determines whether a surface is locally convex (when it is positive) or locally saddle-shaped (when it is negative).

Gaussian curvature is an intrinsic property of the surface, meaning it does not depend on the particular embedding of the surface; intuitively, this means that ants living on the surface could determine the Gaussian curvature. For example, an ant living on a sphere could measure the sum of the interior angles of a triangle and determine that it was greater than 180 degrees, implying that the space it inhabited had positive curvature. On the other hand, an ant living on a cylinder would not detect any such departure from Euclidean geometry; in particular the ant could not detect that the two surfaces have different mean curvatures (see below), which is a purely extrinsic type of curvature.

Formally, Gaussian curvature only depends on the Riemannian metric of the surface. This is Gauss's celebrated Theorema Egregium, which he found while concerned with geographic surveys and mapmaking.

An intrinsic definition of the Gaussian curvature at a point P is the following: imagine an ant which is tied to P with a short thread of length r. It runs around P while the thread is completely stretched and measures the length C(r) of one complete trip around P. If the surface were flat, the ant would find C(r) = 2πr. On curved surfaces, the formula for C(r) will be different, and the Gaussian curvature K at the point P can be computed by the Bertrand–Diguet–Puiseux theorem as

The integral of the Gaussian curvature over the whole surface is closely related to the surface's Euler characteristic; see the Gauss–Bonnet theorem.

The discrete analog of curvature, corresponding to curvature being concentrated at a point and particularly useful for polyhedra, is the (angular) defect; the analog for the Gauss–Bonnet theorem is Descartes' theorem on total angular defect.

Because (Gaussian) curvature can be defined without reference to an embedding space, it is not necessary that a surface be embedded in a higher-dimensional space in order to be curved. Such an intrinsically curved two-dimensional surface is a simple example of a Riemannian manifold.

Mean curvature

The mean curvature is an extrinsic measure of curvature equal to half the sum of the principal curvatures, k1 + k2/2. It has a dimension of length−1. Mean curvature is closely related to the first variation of surface area. In particular, a minimal surface such as a soap film has mean curvature zero and a soap bubble has constant mean curvature. Unlike Gauss curvature, the mean curvature is extrinsic and depends on the embedding, for instance, a cylinder and a plane are locally isometric but the mean curvature of a plane is zero while that of a cylinder is nonzero.

Second fundamental form

The intrinsic and extrinsic curvature of a surface can be combined in the second fundamental form. This is a quadratic form in the tangent plane to the surface at a point whose value at a particular tangent vector X to the surface is the normal component of the acceleration of a curve along the surface tangent to X; that is, it is the normal curvature to a curve tangent to X (see above). Symbolically,

where N is the unit normal to the surface. For unit tangent vectors X, the second fundamental form assumes the maximum value k1 and minimum value k2, which occur in the principal directions u1 and u2, respectively. Thus, by the principal axis theorem, the second fundamental form is

Thus the second fundamental form encodes both the intrinsic and extrinsic curvatures.

Shape operator

An encapsulation of surface curvature can be found in the shape operator, S, which is a self-adjoint linear operator from the tangent plane to itself (specifically, the differential of the Gauss map).

For a surface with tangent vectors X and normal N, the shape operator can be expressed compactly in index summation notation as

(Compare the alternative expression of curvature for a plane curve.)

The Weingarten equations give the value of S in terms of the coefficients of the first and second fundamental forms as

The principal curvatures are the eigenvalues of the shape operator, the principal curvature directions are its eigenvectors, the Gauss curvature is its determinant, and the mean curvature is half its trace.

By extension of the former argument, a space of three or more dimensions can be intrinsically curved. The curvature is intrinsic in the sense that it is a property defined at every point in the space, rather than a property defined with respect to a larger space that contains it. In general, a curved space may or may not be conceived as being embedded in a higher-dimensional ambient space; if not then its curvature can only be defined intrinsically.

After the discovery of the intrinsic definition of curvature, which is closely connected with non-Euclidean geometry, many mathematicians and scientists questioned whether ordinary physical space might be curved, although the success of Euclidean geometry up to that time meant that the radius of curvature must be astronomically large. In the theory of general relativity, which describes gravity and cosmology, the idea is slightly generalised to the "curvature of spacetime"; in relativity theory spacetime is a pseudo-Riemannian manifold. Once a time coordinate is defined, the three-dimensional space corresponding to a particular time is generally a curved Riemannian manifold; but since the time coordinate choice is largely arbitrary, it is the underlying spacetime curvature that is physically significant.

Although an arbitrarily curved space is very complex to describe, the curvature of a space which is locally isotropic and homogeneous is described by a single Gaussian curvature, as for a surface; mathematically these are strong conditions, but they correspond to reasonable physical assumptions (all points and all directions are indistinguishable). A positive curvature corresponds to the inverse square radius of curvature; an example is a sphere or hypersphere. An example of negatively curved space is hyperbolic geometry. A space or space-time with zero curvature is called flat. For example, Euclidean space is an example of a flat space, and Minkowski space is an example of a flat spacetime. There are other examples of flat geometries in both settings, though. A torus or a cylinder can both be given flat metrics, but differ in their topology. Other topologies are also possible for curved space. See also shape of the universe.

Parallel transporting a vector from ANBA yields a different vector. This failure to return to the initial vector is measured by the holonomy of the surface.

The mathematical notion of curvature is also defined in much more general contexts.[8] Many of these generalizations emphasize different aspects of the curvature as it is understood in lower dimensions.

One such generalization is kinematic. The curvature of a curve can naturally be considered as a kinematic quantity, representing the force felt by a certain observer moving along the curve; analogously, curvature in higher dimensions can be regarded as a kind of tidal force (this is one way of thinking of the sectional curvature). This generalization of curvature depends on how nearby test particles diverge or converge when they are allowed to move freely in the space; see Jacobi field.

Another broad generalization of curvature comes from the study of parallel transport on a surface. For instance, if a vector is moved around a loop on the surface of a sphere keeping parallel throughout the motion, then the final position of the vector may not be the same as the initial position of the vector. This phenomenon is known as holonomy.[9] Various generalizations capture in an abstract form this idea of curvature as a measure of holonomy; see curvature form. A closely related notion of curvature comes from gauge theory in physics, where the curvature represents a field and a vector potential for the field is a quantity that is in general path-dependent: it may change if an observer moves around a loop.

Two more generalizations of curvature are the scalar curvature and Ricci curvature. In a curved surface such as the sphere, the area of a disc on the surface differs from the area of a disc of the same radius in flat space. This difference (in a suitable limit) is measured by the scalar curvature. The difference in area of a sector of the disc is measured by the Ricci curvature. Each of the scalar curvature and Ricci curvature are defined in analogous ways in three and higher dimensions. They are particularly important in relativity theory, where they both appear on the side of Einstein's field equations that represents the geometry of spacetime (the other side of which represents the presence of matter and energy). These generalizations of curvature underlie, for instance, the notion that curvature can be a property of a measure; see curvature of a measure.

Another generalization of curvature relies on the ability to compare a curved space with another space that has constant curvature. Often this is done with triangles in the spaces. The notion of a triangle makes senses in metric spaces, and this gives rise to CAT(k) spaces.

  • Curvature form for the appropriate notion of curvature for vector bundles and principal bundles with connection
  • Curvature of a measure for a notion of curvature in measure theory
  • Curvature of parametric surfaces
  • Curvature of Riemannian manifolds for generalizations of Gauss curvature to higher-dimensional Riemannian manifolds
  • Curvature vector and geodesic curvature for appropriate notions of curvature of curves in Riemannian manifolds, of any dimension
  • Degree of curvature
  • Differential geometry of curves for a full treatment of curves embedded in a Euclidean space of arbitrary dimension
  • Dioptre, a measurement of curvature used in optics
  • Evolute, the locus of the centers of curvature of a given curve
  • Gauss–Bonnet theorem for an elementary application of curvature
  • Gauss map for more geometric properties of Gauss curvature
  • Gauss's principle of least constraint, an expression of the Principle of Least Action
  • Mean curvature at one point on a surface
  • Minimum railway curve radius
  • Radius of curvature
  • Second fundamental form for the extrinsic curvature of hypersurfaces in general
  • Sinuosity
  • Torsion of a curve

  1. ^ Clagett, Marshall (1968), Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions; a treatise on the uniformity and difformity of intensities known as Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Madison: Univ. of Wisconsin Press, ISBN 0-299-04880-2
  2. ^ Serrano, Isabel; Suceavă, Bogdan (2015). "A Medieval Mystery: Nicole Oresme's Concept of Curvitas" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 62 (9): 1030–1034. doi:10.1090/noti1275.
  3. ^ Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), "Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus", Foundations of Science, 17 (3): 245–276, arXiv:1108.2885, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, doi:10.1007/s10699-011-9235-x, S2CID 119320059
  4. ^ Pressley, Andrew. Elementary Differential Geometry (1st ed.). p. 29.
  5. ^ Kline, Morris. Calculus: An Intuitive and Physical Approach (2nd ed.). p. 458.
  6. ^ Kennedy, John (2011). "The Arc Length Parametrization of a Curve".
  7. ^ Goldman, R. (2005). "Curvature formulas for implicit curves and surfaces". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.
  8. ^ Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry. Wiley Interscience. vol. 1 ch. 2–3.
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  • Coolidge, J. L. (June 1952). "The Unsatisfactory Story of Curvature". American Mathematical Monthly. 59 (6): 375–379. doi:10.2307/2306807. JSTOR 2306807.
  • Sokolov, D. D. (2001) [1994], "Curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  • Kline, Morris (1998). Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. pp. 457–461. ISBN 978-0-486-40453-0. (restricted online copy, p. 457, at Google Books)
  • Klaf, A. Albert (1956). Calculus Refresher. Dover. pp. 151–168. ISBN 978-0-486-20370-6. (restricted online copy, p. 151, at Google Books)
  • Casey, James (1996). Exploring Curvature. Vieweg+Teubner. ISBN 978-3-528-06475-4.

  • Create your own animated illustrations of moving Frenet–Serret frames and curvature (Maple worksheet)
  • The History of Curvature
  • Curvature, Intrinsic and Extrinsic at MathPages