Decimal

Sistema numérico con diez como base.

Para otros usos, consulte Decimal (desambiguación) .

Sistemas de numeración
Sistema de numeración hindú-árabe
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Alfabético
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Anterior
Egeo Ático babilónico Brahmi Chuvash monje egipcio etrusco Glagolítico Kharosthi maya Muisca Pentimal Rumi Conteo prehistórico Marcas de conteo Quipu
Sistemas posicionales por base
2 3 4 5 6 8 10 12 dieciséis 20 60
Sistemas de numeración posicional no estándar
Numeración biyectiva ( 1 ) Representación de dígitos con signo ( ternario equilibrado ) mixto ( factorial ) negativo Sistema de base compleja ( 2 i ) Base de numeración no entera ( φ ) Sistemas de numeración asimétrica
Lista de sistemas de numeración
v t mi

El decimal sistema de numeración (también llamada la base diez sistema de numeración posicional , y en ocasiones llamado denary / d i n ər i / ^[1] o decanary ) es el sistema estándar para que denota enteros y no enteros números . Es la extensión a números no enteros del sistema numérico hindú-arábigo . ^[2] La forma de denotar números en el sistema decimal a menudo se denomina notación decimal . ^[3]

Un número decimal (también a menudo solo decimal o, menos correctamente, un número decimal ), se refiere generalmente a la notación de un número en el sistema de numeración decimal. A veces, los decimales pueden identificarse con un separador decimal (generalmente "." O "," como en 25.9703 o 3.1415 ). ^{[4] [5]} Decimal también puede referirse específicamente a los dígitos después del separador decimal, como en " 3.14 es la aproximación de π a dos decimales ".

Los números que se pueden representar en el sistema decimal son las fracciones decimales . Es decir, fracciones de la forma a / 10 ⁿ , donde a es un número entero y n es un número entero no negativo .

El sistema decimal se ha ampliado a infinitos decimales para representar cualquier número real , mediante el uso de una secuencia infinita de dígitos después del separador decimal (ver representación decimal ). En este contexto, los números decimales con un número finito de dígitos distintos de cero después del separador decimal a veces se denominan decimales finales . Un decimal periódico es un decimal infinito que, después de algún lugar, repite indefinidamente la misma secuencia de dígitos (por ejemplo, 5.123144144144144 ... = 5.123 144 ). ^[6] Un decimal infinito representa un número racional , el cociente de dos enteros, si y solo si es un decimal periódico o tiene un número finito de dígitos distintos de cero.

Origen

Diez dedos en dos manos, el posible origen del conteo decimal

Muchos sistemas numéricos de civilizaciones antiguas usan diez y sus poderes para representar números, posiblemente porque hay diez dedos en dos manos y la gente comenzó a contar con los dedos. Ejemplos de ello son numerales Brahmi , números griegos , numeración hebrea , números romanos , y los números chinos . Los números muy grandes eran difíciles de representar en estos viejos sistemas numéricos, y solo los mejores matemáticos podían multiplicar o dividir números grandes. Estas dificultades se resolvieron por completo con la introducción del sistema de numeración hindú-árabe para representar números enteros.. Este sistema se ha ampliado para representar algunos números no enteros, llamados fracciones decimales o números decimales , para formar el sistema de numeración decimal .

Notación decimal

Para escribir números, el sistema decimal utiliza diez dígitos decimales , una marca decimal y, para números negativos , un signo menos "-". Los dígitos decimales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ^[7] el separador decimal es el punto " . " En muchos países, ^{[4] [8]} pero también una coma " , " en otros países. ^[5]

Para representar un número no negativo , un número decimal consta de

• ya sea una secuencia (finita) de dígitos (como "2017"), donde toda la secuencia representa un número entero,

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• o una marca decimal que separa dos secuencias de dígitos (como "20.70828")

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

Si m > 0 , es decir, si la primera secuencia contiene al menos dos dígitos, generalmente se supone que el primer dígito a _m no es cero. En algunas circunstancias, puede ser útil tener uno o más ceros a la izquierda; esto no cambia el valor representado por el decimal: por ejemplo, 3.14 = 03.14 = 003.14 . De manera similar, si el último dígito a la derecha de la marca decimal es cero, es decir, si b _n = 0 , puede eliminarse; a la inversa, se pueden agregar ceros finales después de la marca decimal sin cambiar el número representado; ^{[nota 1]} por ejemplo, 15 = 15.0 = 15.00 y 5.2 = 5.20 = 5.200 .

Para representar un número negativo , se coloca un signo menos antes de una _m .

El numeral representa el numero${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

La parte entera o parte integral de un número decimal es el número entero escrito a la izquierda del separador decimal (ver también truncamiento ). Para un número decimal no negativo, es el entero más grande que no es mayor que el decimal. La parte del separador decimal a la derecha es la parte fraccionaria , que es igual a la diferencia entre el número y su parte entera.

Cuando la parte integral de un número es cero, puede ocurrir, típicamente en computación , que la parte entera no esté escrita (por ejemplo , .1234 , en lugar de 0.1234 ). En la escritura normal, esto generalmente se evita, debido al riesgo de confusión entre el signo decimal y otros signos de puntuación.

En resumen, la contribución de cada dígito al valor de un número depende de su posición en el número. Es decir, el sistema decimal es un sistema numérico posicional .

Fracciones decimales

Las fracciones decimales (a veces llamadas números decimales , especialmente en contextos que involucran fracciones explícitas) son los números racionales que pueden expresarse como una fracción cuyo denominador es una potencia de diez. ^[9] Por ejemplo, los decimales representan las fracciones${\displaystyle 0.8,14.89,0.00024,1.618,3.14159}$8/10, 1489/100, 24/100000, +1618/1000 y +314159/100000, y por lo tanto son números decimales.

De manera más general, un decimal con n dígitos después del separador representa la fracción con denominador 10 ⁿ , cuyo numerador es el número entero obtenido al eliminar el separador.

De ello se deduce que un número es una fracción decimal si y solo si tiene una representación decimal finita.

Expresados ​​como una fracción completamente reducida , los números decimales son aquellos cuyo denominador es un producto de una potencia de 2 y una potencia de 5. Por lo tanto, los denominadores más pequeños de los números decimales son

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

Aproximación de números reales

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Los números decimales no permiten una representación exacta de todos los números reales , por ejemplo, para el número real π . Sin embargo, permiten aproximar cada número real con la precisión deseada, por ejemplo, el decimal 3.14159 se aproxima al π real , siendo menor que 10 ⁻⁵ ; por lo que los decimales se utilizan ampliamente en la ciencia , la ingeniería y la vida cotidiana.

Más precisamente, para cada número real x y cada número entero positivo n , hay dos decimales L y U con un máximo de n dígitos tras la marca decimal tal que L ≤ x ≤ u y ( u - L ) = 10 ^{- n} .

Los números se obtienen muy a menudo como resultado de la medición . Como las mediciones están sujetas a una incertidumbre de medición con un límite superior conocido , el resultado de una medición está bien representado por un decimal con n dígitos después de la marca decimal, tan pronto como el error de medición absoluto esté delimitado desde arriba por 10 ^{- n}. En la práctica, los resultados de las mediciones se dan a menudo con un cierto número de dígitos después del punto decimal, que indican los límites del error. Por ejemplo, aunque 0.080 y 0.08 denotan el mismo número, el número decimal 0.080 sugiere una medición con un error menor que 0.001, mientras que el número 0.08 indica un error absoluto acotado por 0.01. En ambos casos, el valor real de la cantidad medida podría ser, por ejemplo, 0.0803 o 0.0796 (ver también cifras significativas ).

Expansión decimal infinita

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Artículo principal: Representación decimal

Para un número real x y un entero n ≥ 0 , sea [ x ] _n la expansión decimal (finita) del número mayor que no sea mayor que x que tenga exactamente n dígitos después de la marca decimal. Sea d _i el último dígito de [ x ] _i . Es sencillo ver que [ x ] _n se puede obtener añadiendo d _n a la derecha de [ x ] _{n −1} . De esta manera uno tiene

[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{norte −1} d _norte ,

y la diferencia de [ x ] _{n −1} y [ x ] _n asciende a

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$,

que es 0, si d _n = 0 , o se vuelve arbitrariamente pequeño cuando n tiende a infinito. Según la definición de límite , x es el límite de [ x ] _n cuando n tiende a infinito . Esto está escrito como o${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

x = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... ,

que se llama expansión decimal infinita de x .

A la inversa, para cualquier número entero [ x ] ₀ y cualquier secuencia de dígitos, la expresión (infinita) [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... es una expansión decimal infinita de un número real x . Esta expansión es única si ni todos los d _n son iguales a 9 ni todos los d _n son iguales a 0 para n lo suficientemente grande (para todos los n mayores que algún número natural N ).${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Si todo d _n para n > N es igual a 9 y [ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n , el límite de la secuencia es la fracción decimal obtenida reemplazando el último dígito que no es un 9, es decir: d _N , por d _N + 1 , y reemplazando todos los 9 subsiguientes por 0s ( ver 0.999 ... ).${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Cualquier fracción decimal, es decir: d _n = 0 para n > N , puede convertirse a su expansión decimal infinita equivalente reemplazando d _N por d _N - 1 y reemplazando todos los ceros subsiguientes por 9 (ver 0.999 ... ).

En resumen, todo número real que no sea una fracción decimal tiene una expansión decimal infinita única. Cada fracción decimal tiene exactamente dos expansiones decimales infinitas, una que contiene solo 0 después de algún lugar, que se obtiene mediante la definición anterior de [ x ] _n , y la otra que contiene solo 9 después de algún lugar, que se obtiene definiendo [ x ] _n como el mayor número menor que x , que tiene exactamente n dígitos después de la marca decimal.

Números racionales

Artículo principal: decimal repetido

La división larga permite calcular la expansión decimal infinita de un número racional . Si el número racional es una fracción decimal , la división se detiene eventualmente, produciendo un número decimal, que puede prolongarse en una expansión infinita agregando infinitos ceros. Si el número racional no es una fracción decimal, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, como todos los residuos sucesivos son menores que el divisor, solo hay un número finito de residuos posibles, y después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos debe repetirse indefinidamente en el cociente. Es decir, uno tiene un decimal periódico . Por ejemplo,

1/81= 0.  012345679  012 ... (con el grupo 012345679 repitiéndose indefinidamente).

Lo contrario también es cierto: si, en algún punto de la representación decimal de un número, la misma cadena de dígitos comienza a repetirse indefinidamente, el número es racional.

Por ejemplo, si x es	0,4156156156 ...
entonces 10,000 x es	4156.156156156 ...
y 10 x es	4.156156156 ...
entonces 10,000 x - 10 x , es decir, 9,990 x , es	4152.000000000 ...
y x es	4152/9990

o, dividiendo tanto el numerador como el denominador por 6, 692/1665.

Cálculo decimal

Diagrama de la tabla de multiplicar más antigua conocida del mundo ( c.  305 a . C. ) del período de los Reinos Combatientes

La mayoría de los modernos ordenador sistemas de hardware y software suelen utilizar una representación binaria interna (aunque muchos de los primeros ordenadores, como el ENIAC o el IBM 650 , utilizan internamente representación decimal). ^[10] Para uso externo de especialistas en computación, esta representación binaria a veces se presenta en los sistemas octal o hexadecimal relacionados .

Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, los valores binarios se convierten ao desde los valores decimales equivalentes para su presentación o entrada de humanos; los programas de computadora expresan literales en decimal por defecto. (123.1, por ejemplo, está escrito como tal en un programa de computadora, aunque muchos lenguajes de computadora no pueden codificar ese número con precisión).

Tanto el hardware como el software de la computadora también usan representaciones internas que son efectivamente decimales para almacenar valores decimales y hacer aritmética. A menudo, esta aritmética se realiza en datos que se codifican utilizando alguna variante de decimal codificado en binario , ^{[11] [12]} especialmente en implementaciones de bases de datos, pero hay otras representaciones decimales en uso (incluido el punto flotante decimal como en las revisiones más recientes de la Estándar IEEE 754 para aritmética de coma flotante ). ^[13]

La aritmética decimal se usa en computadoras para que los resultados fraccionarios decimales de sumar (o restar) valores con una longitud fija de su parte fraccionaria siempre se calculen con esta misma longitud de precisión. Esto es especialmente importante para los cálculos financieros, por ejemplo, que requieren en sus resultados múltiplos enteros de la unidad monetaria más pequeña para fines de contabilidad. Esto no es posible en binario, porque las potencias negativas de no tienen representación fraccionaria binaria finita; y generalmente es imposible para multiplicar (o dividir). ^{[14] [15]} Consulte Aritmética de precisión arbitraria para obtener cálculos exactos.${\displaystyle 10}$

Historia

La tabla de multiplicar decimales más antigua del mundo se hizo a partir de hojas de bambú, que datan del 305 a. C., durante el período de los Reinos Combatientes en China.

Muchas culturas antiguas calculaban con números basados ​​en diez, a veces argumentados debido a que las manos humanas generalmente tenían diez dedos / dígitos. ^[16] Los pesos estandarizados utilizados en la civilización del valle del Indo ( c.  3300-1300 a. C. ) se basaron en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20 , 50, 100, 200 y 500, mientras que su gobernante estandarizado, el gobernante Mohenjo-daro , se dividió en diez partes iguales. ^{[17] [18] [19]} Los jeroglíficos egipcios , en evidencia desde alrededor del 3000 a. C., usaban un sistema puramente decimal, ^[20] al igual que los jeroglíficos cretenses ( c.  1625-1500 a . C. ) de los minoicos.cuyos números se basan estrechamente en el modelo egipcio. ^{[21] [22]} El sistema decimal se transmitió a las culturas sucesivas de la Edad del Bronce de Grecia , incluyendo Lineal A (c. Siglo XVIII a. C. − 1450 a. C.) y Lineal B (c. 1375-1200 a. C.) - el sistema numérico de la Grecia clásica también usó potencias de diez, incluidos números romanos , una base intermedia de 5. ^[23] En particular, el erudito Arquímedes (c. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basaba en 10 ^{8 [23]} y más tarde condujo al matemático alemánCarl Friedrich Gauss para lamentar las alturas que la ciencia ya habría alcanzado en sus días si Arquímedes se hubiera dado cuenta del potencial de su ingenioso descubrimiento. ^{[24] Los} jeroglíficos hititas (desde el siglo XV a. C.) también eran estrictamente decimales. ^[25]

Algunos textos antiguos no matemáticos, como los Vedas , que datan de 1700-900 a. C. utilizan decimales y fracciones matemáticas decimales. ^[26]

Los números hieráticos egipcios, los números del alfabeto griego, los números del alfabeto hebreo, los números romanos, los números chinos y los primeros números Brahmi indios son todos sistemas decimales no posicionales y requerían un gran número de símbolos. Por ejemplo, los números egipcios usaban diferentes símbolos para 10, 20 a 90, 100, 200 a 900, 1000, 2000, 3000, 4000, a 10,000. ^[27] El primer sistema decimal posicional del mundo fue el cálculo de varillas chino . ^[28]

El primer sistema decimal posicional del mundo
Forma vertical de la fila superior Forma
horizontal de la fila inferior

Historia de las fracciones decimales

varilla de conteo fracción decimal 1/7

Las fracciones decimales fueron desarrolladas y utilizadas por primera vez por los chinos a finales del siglo IV a. C. ^[29] y luego se extendieron a Oriente Medio y de allí a Europa. ^{[28] [30]} Las fracciones decimales chinas escritas no eran posicionales. ^[30] Sin embargo, las fracciones de las varillas de conteo eran posicionales. ^[28]

Qin Jiushao en su libro Tratado matemático en nueve secciones (1247 ^[31] ) denotó 0,96644 por

寸

, significado

寸

096644

J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales aparecen por primera vez en un libro del matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi escrito en el siglo X. ^[32] El matemático judío Immanuel Bonfils usó fracciones decimales alrededor de 1350, anticipándose a Simon Stevin , pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. ^[33] El matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto las fracciones decimales él mismo en el siglo XV. ^[32] Al Khwarizmiintrodujo una fracción en los países islámicos a principios del siglo IX; un autor chino ha alegado que su presentación de fracción era una copia exacta de la fracción matemática tradicional china de Sunzi Suanjing . ^[28] Esta forma de fracción con numerador en la parte superior y denominador en la parte inferior sin una barra horizontal también fue utilizada por al-Uqlidisi y por al-Kāshī en su obra "Clave aritmética". ^{[28] [34]}

Simon Stevin introdujo un precursor de la notación decimal europea moderna en el siglo XVI. ^[35]

Lenguajes naturales

En la India surgió un método para expresar todos los números naturales posibles utilizando un conjunto de diez símbolos. Varios idiomas indios muestran un sistema decimal sencillo. Muchas lenguas indo-arias y dravídicas tienen números entre 10 y 20 expresados ​​en un patrón regular de adición a 10. ^[36]

El idioma húngaro también utiliza un sistema decimal sencillo. Todos los números entre 10 y 20 se forman con regularidad (por ejemplo, 11 se expresa como "tizenegy" literalmente "uno sobre diez"), como con aquellos entre 20 y 100 (23 como "huszonhárom" = "tres sobre veinte").

Un sencillo sistema de clasificación decimal con una palabra para cada orden (10十, 100百, 1000千, 10,000万), y en el que 11 se expresa como diez-uno y 23 como dos-diez-tres , y 89,345 se expresa como 8 (diez mil)万9 (mil)千3 (cien)百4 (decenas)十5 se encuentra en chino y en vietnamita con algunas irregularidades. Japonés , coreano y tailandéshan importado el sistema decimal chino. Muchos otros idiomas con sistema decimal tienen palabras especiales para los números entre 10 y 20, y décadas. Por ejemplo, en inglés 11 es "once" no "diez-uno" o "un adolescente".

Las lenguas incas como el quechua y el aymara tienen un sistema decimal casi sencillo, en el que 11 se expresa como diez con uno y 23 como dos-diez con tres .

Algunos psicólogos sugieren que las irregularidades de los nombres de los números en inglés pueden dificultar la capacidad de contar de los niños. ^[37]

Otras bases

Artículo principal: notación posicional

Unidades de información

Shannon o bit ( base 2 ) nat ( base e ) trit ( base 3 ) hartley, ban o dit ( base 10 ) qubit ( cuántico binario ) qutrit ( cuántico ternario )

v t mi

Algunas culturas utilizan, o utilizaron, otras bases de números.

• Las culturas mesoamericanas precolombinas, como la maya, utilizaron un sistema de base 20 (quizás basado en el uso de los veinte dedos de las manos y los pies ).
• El idioma Yuki en California y los idiomas Pamean ^[38] en México tienen sistemas octales (base 8) porque los hablantes cuentan usando los espacios entre sus dedos en lugar de los dedos mismos. ^[39]
• La existencia de una base no decimal en los primeros vestigios de las lenguas germánicas está atestiguada por la presencia de palabras y glosas, lo que significa que la cuenta está en decimal (cognados a "diez-cuenta" o "diez-sabios"); tal sería de esperar si el recuento normal no es decimal, e inusual si lo fuera. ^{[40] [41]} Cuando se conoce este sistema de conteo, se basa en el "centenar largo" = 120 y un "millar largo" de 1200. Las descripciones como "largo" solo aparecen después del "centeno pequeño" de 100 apareció con los cristianos. Introducción de Gordon al nórdico antiguo p. 293, da nombres de números que pertenecen a este sistema. Una expresión cognada a 'ciento ochenta' se traduce en 200, y la cognada en 'doscientos'se traduce en 240. Goodaredetalla el uso del centenar largo en Escocia en la Edad Media, dando ejemplos tales como cálculos donde el acarreo implica i C (es decir, cien) como 120, etc. Que la población en general no se alarmó al encontrar tales números sugiere un uso bastante común . También es posible evitar números parecidos a cien utilizando unidades intermedias, como piedras y libras, en lugar de una cuenta larga de libras. Goodare da ejemplos de números como vii score, donde se evita el centenar utilizando puntuaciones extendidas. También hay un artículo de WH Stevenson, sobre "Long Hundred y sus usos en Inglaterra". ^{[42] [43]}
• Muchos o todos los idiomas chumashan originalmente usaban un sistema de conteo de base 4 , en el que los nombres de los números se estructuraban de acuerdo con múltiplos de 4 y 16 . ^[44]
• Muchos idiomas ^[45] utilizan sistemas numéricos quinarios (base 5) , incluidos Gumatj , Nunggubuyu , ^[46] Kuurn Kopan Noot ^[47] y Saraveca . De estos, Gumatj es el único idioma verdadero conocido de 5 a 25, en el que 25 es el grupo superior de 5.
• Algunos nigerianos utilizan sistemas duodecimales . ^[48] También lo hicieron algunas pequeñas comunidades en India y Nepal, como lo indican sus idiomas. ^[49]
• Se informa que el idioma huli de Papúa Nueva Guinea tiene números de base 15 . ^[50] Ngui significa 15, ngui ki significa 15 × 2 = 30 y ngui ngui significa 15 × 15 = 225.
• Se informa que Umbu-Ungu , también conocido como Kakoli, tiene números de base 24 . ^[51] Tokapu significa 24, tokapu talu significa 24 × 2 = 48 y tokapu tokapu significa 24 × 24 = 576.
• Se informa que Ngiti tiene un sistema numérico de base 32 con ciclos de base 4. ^[45]
• Se informa que el idioma Ndom de Papúa Nueva Guinea tiene números de base 6 . ^[52] Mer significa 6, mer y thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36 y nif thef significa 36 × 2 = 72.

Ver también

• Algorismo
• Decimal codificado en binario (BCD)
• Computadora decimal
• Tiempo decimal
• Representación decimal
• Separador decimal
• Decimalización
• Decimal densamente empaquetado (DPD)
• Clasificación decimal de Dewey (DDC)
• Duodecimal
• Octal
• Notación cientifica
• Decimal en serie
• Prefijo SI

Notas

1. A veces, los ceros adicionales se utilizan para indicar la precisión de una medición. Por ejemplo, "15,00 m" puede indicar que el error de medición es inferior a un centímetro (0,01 m), mientras que "15 m" puede significar que la longitud es de aproximadamente quince metros y que el error puede superar los 10 centímetros.

Referencias

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4. "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Punto decimal" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
6. El vinculum (overline) en 5.123 144 indica que la secuencia '144' se repite indefinidamente, es decir5.123 144 144 144 144 ... .
7. En algunos países, como los de habla árabe ,se utilizanotros glifos para los dígitos
8. Weisstein, Eric W. "Decimal" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
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14. Aritmética decimal - Preguntas frecuentes
15. Decimal Floating-Point: Algorism for Computers , Cowlishaw , MF, Actas 16º Simposio IEEE sobre aritmética informática ( ARITH 16 ), ISBN 0-7695-1894-X , págs. 104-11, IEEE Comp. Soc., Junio ​​de 2003 
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