Una representación decimal de un número real no negativo r es una expresión en forma de una secuencia de dígitos decimales tradicionalmente escrita con un solo separador
donde k es un número entero no negativo yson números enteros en el rango 0, ..., 9, que se denominan dígitos de la representación.
Esta expresión representa la suma infinita
La secuencia del —Los dígitos después del punto— pueden ser finitos, en cuyo caso se supone que los dígitos que faltan son 0.
Todo número real no negativo tiene al menos una de esas representaciones; tiene dos representaciones de este tipo si y solo una tiene una secuencia infinita de ceros al final, y la otra tiene una secuencia infinita de nueves al final. Algunos autores prohíben las representaciones decimales con una secuencia infinita de nueves al final porque esto permite una correspondencia uno a uno entre números reales no negativos y representaciones decimales. [1]
El entero , denotado por un 0 en el resto de este artículo, se llama la parte entera de r , y la secuencia de la representa el número
que se llama la parte fraccionaria de r .
Aproximaciones decimales finitas
Cualquier número real puede aproximarse a cualquier grado deseado de precisión mediante números racionales con representaciones decimales finitas.
Asumir . Entonces por cada entero hay un decimal finito tal que
Prueba :
Dejar , dónde . Luego, y el resultado se obtiene al dividir todos los lados por . (El hecho de que tiene una representación decimal finita se establece fácilmente.)
No unicidad de la representación decimal y las convenciones de notación
Algunos números reales tienen dos representaciones decimales infinitas. Por ejemplo, el número 1 puede estar igualmente representado por 1.000 ... como por 0.999 ... (donde las secuencias infinitas de ceros o nueve finales, respectivamente, están representadas por "..."). Convencionalmente, se prefiere la representación decimal sin 9 finales. Además, en la representación decimal estándar de, una secuencia infinita de ceros finales que aparecen después de que se omite el punto decimal , junto con el propio punto decimal si es un entero.
Ciertos procedimientos para construir la expansión decimal de evitará el problema de los 9 finales. Por ejemplo, el siguiente procedimiento algorítmico dará la representación decimal estándar: Dado, primero definimos (la parte entera de) para ser el entero más grande tal que (es decir, ). Siel procedimiento termina. De lo contrario, para ya encontrado, definimos inductivamente a ser el entero más grande tal que
El procedimiento termina siempre que se encuentra tal que la igualdad se mantiene en ; de lo contrario, continúa indefinidamente dando una secuencia infinita de dígitos decimales. Se puede demostrar que[2] (escrito convencionalmente como), dónde y el entero no negativo se representa en notación decimal . Esta construcción se extiende a aplicando el procedimiento anterior a y denota la expansión decimal resultante por .
Representaciones decimales finitas
La expansión decimal de no negativo número real x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2 n 5 m , en donde m y n son números enteros no negativos .
Prueba :
Si la expansión decimal de x termina en ceros, opara algunos n , entonces el denominador de x es de la forma 10 n = 2 n 5 n .
Por el contrario, si el denominador de x es de la forma 2 n 5 m ,para algunos p . Mientras que x tiene la forma, para algunos n . Por, x terminará en ceros.
Representaciones decimales repetidas
Algunos números reales tienen expansiones decimales que eventualmente entran en bucles, repitiendo interminablemente una secuencia de uno o más dígitos:
- 1 / 3 = 0,33333 ...
- 1 / 7 = 0.142857142857 ...
- 1318 / 185 = 7,1243243243 ...
Cada vez que esto sucede, el número sigue siendo un número racional (es decir, se puede representar alternativamente como una relación entre un número entero y un número entero positivo). También es cierto lo contrario: la expansión decimal de un número racional es finita o se repite sin cesar.
Conversión a fracción
Cada representación decimal de un número racional se puede convertir a una fracción sumando las partes enteras, no repetidas y repetidas como en el siguiente ejemplo [ aclaración necesaria ]
donde los exponentes en los denominadores son 3 (número de dígitos no repetidos después del punto decimal) y 4 (número de dígitos repetidos). Si no hay dígitos que se repiten, suponga que hay un 0 que se repite para siempre, es decir.
Ver también
Referencias
- ^ Knuth, Donald Ervin (1973). El arte de la programación informática . Volumen 1: Algoritmos fundamentales. Addison-Wesley . pag. 21.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . pag. 11. ISBN 0-07-054235-X.
Otras lecturas
- Apostol, Tom (1974). Análisis matemático (Segunda ed.). Addison-Wesley .
- Savard, John JG (2018) [2006]. "Representaciones decimales" . quadibloc . Archivado desde el original el 16 de julio de 2018 . Consultado el 16 de julio de 2018 .