Número deficiente

En teoría de números , un número deficiente o defectuoso es un número n para el cual la suma de los divisores de "n" es menor que 2 n . De manera equivalente, es un número para el que la suma de los divisores propios (o suma alícuota ) es menor que n . Por ejemplo, los divisores propios de 8 son 1, 2 y 4, y su suma es menor que 8, por lo que 8 es deficiente.

Demostración, con varillas Cuisenaire , de la deficiencia del número 8

Denotando por σ ( n ) la suma de divisores, el valor 2 n - σ ( n ) se llama deficiencia del número . En términos de la suma de alícuotas s ( n ), la deficiencia es n - s ( n ).

Ejemplos de

Los primeros números deficientes son

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (secuencia A005100 en la OEIS )

Como ejemplo, considere el número 21. Sus divisores propios son 1, 3 y 7, y su suma es 11. Como 11 es menor que 21, el número 21 es deficiente. Su deficiencia es 2 × 21 - 32 = 10.

Propiedades

Dado que las sumas alícuotas de los números primos son iguales a 1, todos los números primos son deficientes. De manera más general, todos los números impares con uno o dos factores primos distintos son deficientes. De ello se deduce que hay infinitos números impares deficientes. También hay un número infinito incluso números deficientes, ya que todas las potencias de dos son ( $1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 x -1 = 2 x - 1$ ).

De manera más general, todos los poderes principales ${\ Displaystyle p ^ {k}}$ son deficientes porque sus únicos divisores adecuados son ${\ Displaystyle 1, p, p ^ {2}, \ dots, p ^ {k-1}}$ cual suma a ${\ Displaystyle {\ frac {p ^ {k} -1} {p-1}}}$ , que es como mucho ${\ Displaystyle p ^ {k} -1}$ .

Todos los divisores propios de números deficientes son deficientes. Además, todos los divisores propios de números perfectos son deficientes. ^{[ cita requerida ]}

Existe al menos un número deficiente en el intervalo ${\ Displaystyle [n, n + (\ log n) ^ {2}]}$ para todo lo suficientemente grande n . ^[1]

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números abundantes , primitivos abundantes , altamente abundantes , sobreabundantes , colosalmente abundantes , altamente compuestos , superiores altamente compuestos , extraños y perfectos por debajo de 100 en relación con los números deficientes y compuestos.

Estrechamente relacionados con los números deficientes están los números perfectos con σ ( n ) = 2 n , y los números abundantes con σ ( n )> 2 n . Los números naturales fueron clasificados por primera vez como deficientes, perfectos o abundantes por Nicomachus en su Introductio Arithmetica (circa 100 EC).

Ver también

Referencias

^ Sándor et al (2006) p.108

Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .

enlaces externos

El glosario principal: número deficiente
Weisstein, Eric W. "Número deficiente" . MathWorld .
número deficiente en PlanetMath .

[HBI108-1] Sándor et al (2006) p.108

[1]