Ecuación diferencial de retardo

Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes utilizadas para simular el flujo de aire alrededor de una obstrucción
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Clasificación
Tipos Ordinario Parcial Diferencial-algebraico Integro-diferencial Fraccionario Lineal No lineal Por tipo de variable Variables dependientes e independientes Autónomo Complejo Acoplado / desacoplado Exacto Homogéneo  / No homogéneo Características Pedido Operador Notación
Relación con los procesos Diferencia (análogo discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solución
Existencia y singularidad Teorema de Picard-Lindelöf Teorema de existencia de Peano Teorema de existencia de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Temas generales Wronskian Retrato de fase Espacio de fase Estabilidad de Lyapunov  / Asintótica  / Exponencial Tasa de convergencia Serie  / Soluciones integrales Integracion numerica Función delta de Dirac
Métodos de solución Inspección Método de características Euler Fórmula de respuesta exponencial Diferencia finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volumen finito Galerkin Petrov – Galerkin Factor de integración Transformaciones integrales Teoría de la perturbación Runge – Kutta Separación de variables Coeficientes indeterminados Variación de parámetros
Personas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
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En matemáticas , las ecuaciones diferenciales de retardo ( DDE ) son un tipo de ecuación diferencial en la que la derivada de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Los DDE también se denominan sistemas de retardo de tiempo , sistemas con efectos secundarios o tiempo muerto, sistemas hereditarios, ecuaciones con argumentos desviados o ecuaciones en diferencias diferenciales. Pertenecen a la clase de sistemas con el estado funcional , es decir, ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que son de dimensión infinita, a diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias.(EDO) que tienen un vector de estado de dimensión finita. Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de los DDE: ^[1]

1. El efecto secundario es un problema aplicado: es bien sabido que, junto con las crecientes expectativas de rendimiento dinámico, los ingenieros necesitan que sus modelos se comporten más como el proceso real. Muchos procesos incluyen fenómenos de efectos secundarios en su dinámica interna. Además, los actuadores , sensores y redes de comunicación que ahora están involucrados en lazos de control de retroalimentación introducen tales retrasos. Por último, además de los retrasos reales, los retrasos de tiempo se utilizan con frecuencia para simplificar modelos de muy alto orden. Entonces, el interés por los DDE sigue creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control.
2. Los sistemas de retardo todavía son resistentes a muchos controladores clásicos : uno podría pensar que el enfoque más simple consistiría en reemplazarlos por algunas aproximaciones de dimensión finita. Desafortunadamente, ignorar los efectos que están adecuadamente representados por los DDE no es una alternativa general: en la mejor situación (retrasos constantes y conocidos), conduce al mismo grado de complejidad en el diseño del control. En el peor de los casos (retrasos variables en el tiempo, por ejemplo), es potencialmente desastroso en términos de estabilidad y oscilaciones.
3. La introducción voluntaria de retrasos puede beneficiar al sistema de control . ^[2]
4. A pesar de su complejidad, las DDE a menudo aparecen como modelos simples de dimensión infinita en el área muy compleja de las ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

Una forma general de la ecuación diferencial de retardo de tiempo para es${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$

donde representa la trayectoria de la solución en el pasado. En esta ecuación, es un operador funcional de a${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.\,}$

Ejemplos

• Retraso continuo

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,{\rm {d}}\mu (\tau )\right)}$

• Retraso discreto

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dotsc ,x(t-\tau _{m}))}$para .${\displaystyle \tau _{1}>\dotsb >\tau _{m}\geq 0}$

• Lineal con retrasos discretos

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dotsb +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

donde .${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$

• Ecuación del pantógrafo

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$

donde a , by λ son constantes y 0 <λ <1. Esta ecuación y algunas formas más generales llevan el nombre de los pantógrafos de los trenes. ^{[3] [4]}

Resolviendo DDEs

Los DDE se resuelven en su mayoría de forma escalonada con un principio llamado método de pasos. Por ejemplo, considere el DDE con un solo retraso

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$

con la condición inicial dada . Entonces la solución en el intervalo viene dada por cuál es la solución al problema de valor inicial no homogéneo${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [0,\tau ]}$${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau ))}$,

con . Esto se puede continuar para los intervalos sucesivos utilizando la solución del intervalo anterior como término no homogéneo. En la práctica, el problema del valor inicial a menudo se resuelve numéricamente.${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$

Ejemplo

Supongamos y . Entonces, el problema del valor inicial se puede resolver con la integración,${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$${\displaystyle \phi (t)=1}$

${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(s)\,{\rm {d}}s=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,{\rm {d}}s,}$

es decir, donde la condición inicial viene dada por . De manera similar, para el intervalo integramos y ajustamos la condición inicial,${\displaystyle x(t)=at+1}$${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )&{}+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(s)\,{\rm {d}}s=(a\tau +1)\\&{}+a\int _{s=\tau }^{t}a(s-\tau )+1\,{\rm {d}}s=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }as+1\,{\rm {d}}s,\end{aligned}}}$

es decir, ${\displaystyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {a(t-\tau )}{2}}+1\right).}$

Reducción a ODE

En algunos casos, las ecuaciones diferenciales se pueden representar en un formato que se parece a las ecuaciones diferenciales de retardo .

• Ejemplo 1 Considere una ecuación

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,{\rm {d}}\tau \right).}$

Introducir para obtener un sistema de EDO${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,{\rm {d}}\tau }$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}y(t)=x-\lambda y.}$

• Ejemplo 2 Una ecuación

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,{\rm {d}}\tau \right)}$

es equivalente a

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$

dónde

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,{\rm {d}}\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,{\rm {d}}\tau .}$

La ecuación característica

De manera similar a las EDO , muchas propiedades de las EDO lineales se pueden caracterizar y analizar utilizando la ecuación característica . ^[5] La ecuación característica asociada con el DDE lineal con retardos discretos

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dotsb +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

es

${\displaystyle {\rm {det}}(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0}$.

Las raíces λ de la ecuación característica se denominan raíces características o valores propios y el conjunto de soluciones a menudo se denomina espectro . Debido al exponencial en la ecuación característica, la DDE tiene, a diferencia del caso de la ODE, un número infinito de valores propios, lo que hace que el análisis espectral sea más complicado. Sin embargo, el espectro tiene algunas propiedades que pueden aprovecharse en el análisis. Por ejemplo, aunque hay un número infinito de valores propios, solo hay un número finito de valores propios a la derecha de cualquier línea vertical en el plano complejo. ^{[ cita requerida ]}

Esta ecuación característica es un problema propio no lineal y existen muchos métodos para calcular el espectro numéricamente. ^[6] En algunas situaciones especiales es posible resolver la ecuación característica de forma explícita. Considere, por ejemplo, el siguiente DDE:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=-x(t-1).}$

La ecuación característica es

${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.\,}$

Hay un número infinito de soluciones a esta ecuación para el complejo λ. Son dadas por

${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1)}$,

donde W _k es la k- ésima rama de la función W de Lambert .

Aplicaciones

• Dinámica de la diabetes ^[7]
• Epidemiología ^{[8] [9]}
• Dinámica de la población ^{[10] [11]}

Ver también

• Ecuación diferencial funcional

Referencias

1. Richard, Jean-Pierre (2003). "Time Delay Systems: una descripción general de algunos avances recientes y problemas abiertos". Automatica . 39 (10): 1667–1694. doi : 10.1016 / S0005-1098 (03) 00167-5 .
2. Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh; Murray, Richard M. (2010). "Implementación simple basada en retardo de controladores de tiempo continuo" . Actas de la Conferencia Estadounidense de Control de 2010 : 5781–5788. doi : 10.1109 / ACC.2010.5530439 .
3. Griebel, Thomas (1 de enero de 2017). "La ecuación del pantógrafo en cálculo cuántico" . Tesis de Maestría .
4. Ockendon, John Richard; Tayler, AB; Temple, George Frederick James (4 de mayo de 1971). "La dinámica de un sistema de recogida de corriente para una locomotora eléctrica" . Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . 322 (1551): 447–468. doi : 10.1098 / rspa.1971.0078 .
5. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y estabilización de sistemas de retardo . Avances en Diseño y Control. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. págs. 3-32. doi : 10.1137 / 1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0.
6. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y estabilización de sistemas de retardo . Avances en Diseño y Control. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. págs. 33–56. doi : 10.1137 / 1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0.
7. Makroglou, Atenea; Li, Jiaxu; Kuang, Yang (1 de marzo de 2006). "Modelos matemáticos y herramientas de software para el sistema regulador de glucosa-insulina y diabetes: una descripción general" . Matemática Numérica Aplicada . Artículos seleccionados, Tercera Conferencia Internacional sobre las Soluciones Numéricas de Volterra y Ecuaciones de Retardo. 56 (3): 559–573. doi : 10.1016 / j.apnum.2005.04.023 . ISSN 0168-9274 . 
8. Salpeter, Edwin E .; Salpeter, Shelley R. (15 de febrero de 1998). "Modelo matemático para la epidemiología de la tuberculosis, con estimaciones del número reproductivo y la función infección-retraso" . Revista Estadounidense de Epidemiología . 147 (4): 398–406. doi : 10.1093 / oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN 0002-9262 . 
9. Kajiwara, Tsuyoshi; Sasaki, Toru; Takeuchi, Yasuhiro (1 de agosto de 2012). "Construcción de funcionales de Lyapunov para ecuaciones diferenciales de retardo en virología y epidemiología" . Análisis no lineal: aplicaciones del mundo real . 13 (4): 1802–1826. doi : 10.1016 / j.nonrwa.2011.12.011 . ISSN 1468-1218 . 
10. Gopalsamy, K. (1992). Estabilidad y oscilaciones en las ecuaciones diferenciales de retardo de la dinámica de poblaciones . Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792315940.
11. Kuang, Y. (1993). Ecuaciones diferenciales de retardo con aplicaciones en dinámica de poblaciones . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0080960029.

Lectura adicional

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales de retardo . Matemática Numérica y Computación Científica. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Ecuaciones en diferencias diferenciales (PDF) . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. Nueva York, NY: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Sistemas lineales de variación de parámetros y retardo de tiempo: análisis, observación, filtrado y control . Avances en Demoras y Dinámicas. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Conductor, Rodney D. (1977). Ecuaciones diferenciales ordinarias y de retardo . Ciencias Matemáticas Aplicadas. Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Ecuaciones diferenciales de retardo aplicadas . Encuestas y Tutorías en las Ciencias Matemáticas Aplicadas. Nueva York, NY: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0387743714.

Enlaces externos

• Skip Thompson (ed.). "Ecuaciones diferenciales de retardo" . Scholarpedia .