Matriz de densidad

Matriz que describe un sistema cuántico en estado puro o mixto, una mezcla estadística de estados cuánticos

Parte de una serie sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia Libros de texto
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Regla nacida Longitud de onda de Compton Coherencia Decoherencia Complementariedad Nivel de energía Entrelazamiento Hamiltoniano Principio de incertidumbre Estado fundamental Amplitud de probabilidad Distribución de probabilidad Interferencia Medición Medida débil No localidad Observable Operador Cuántico Fluctuación cuántica Número cuántico Ruido cuántico Estado cuántico Sistema cuántico Teletransportación cuántica Qubit Girar Superposición Estado de vacío cuántico Simetría Ruptura de simetría (espontánea) Estado de vacío Propagación de onda Función de onda Colapso de la función de onda Dualidad onda-partícula Ola de materia Barrera de potencial rectangular Espacio fock
Efectos Efecto Zeeman Efecto Stark Efecto Aharonov-Bohm Cuantización de Landau Efecto Hall cuántico Efecto Quantum Zeno Túneles cuánticos Efecto fotoeléctrico Efecto Casimir
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Imágenes dinámicas ( Heisenberg ; Interacción ; Schrödinger ) Matriz Espacio de fase Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integración funcional
Interpretaciones Descripción general Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
Temas avanzados Hipótesis de termalización del estado propio Recocido cuántico Caos cuántico Computación cuántica Geometría cuántica Matriz de densidad Teoría cuántica de campos Mecánica cuántica fraccional Gravedad cuántica Ciencia de la información cuántica Aprendizaje automático cuántico Teoría de la perturbación (mecánica cuántica) Mecánica cuántica relativista Teoría de la dispersión Teoría del vacío superfluido Conversión descendente paramétrica espontánea Mecánica estadística cuántica
Científicos Aharonov campana Blackett Bloch Bohm Bohr Nació Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli Cordero Landó Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Reid Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
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En mecánica cuántica , una matriz de densidad es una matriz que describe el estado cuántico de un sistema físico. Permite el cálculo de las probabilidades de los resultados de cualquier medición realizada en este sistema, utilizando la regla de Born . Es una generalización de los vectores de estado o funciones de onda más habituales: mientras que solo pueden representar estados puros , las matrices de densidad también pueden representar estados mixtos . Los estados mixtos surgen en la mecánica cuántica en dos situaciones diferentes: primero, cuando la preparación del sistema no se conoce completamente y, por lo tanto, se debe tratar con un conjunto estadísticode posibles preparaciones y, en segundo lugar, cuando se quiere describir una parte de un entrelazamiento cuántico , que no puede describirse mediante estados puros.

Las matrices de densidad son, por tanto, herramientas cruciales en áreas de la mecánica cuántica que tratan con estados mixtos, como la mecánica estadística cuántica , los sistemas cuánticos abiertos , la decoherencia cuántica y la información cuántica .

Definición y motivación

La matriz de densidad es una representación de un operador lineal llamado operador de densidad . La matriz de densidad se obtiene del operador de densidad mediante la elección de la base en el espacio subyacente. En la práctica, los términos matriz de densidad y operador de densidad a menudo se usan indistintamente.

En el lenguaje del operador, un operador de densidad para un sistema es un semi-definida positiva , hermitiana operador de traza uno que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema. ^{[1] [2] [3]} Esta definición se puede motivar considerando una situación en la que un estado puro se prepara con probabilidad , lo que se conoce como conjunto . La probabilidad de obtener un resultado de medición al medir proyectores viene dada por ^{[4] : 99}${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi _{m}}$

${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|\Pi _{m}|\psi _{j}\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|\right)\right],}$

lo que hace que el operador

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

una representación conveniente del estado de este conjunto. Es fácil comprobar que este operador es positivo semidefinido, hermitiano y tiene traza uno. A la inversa, del teorema espectral se deduce que cada operador con estas propiedades puede escribirse como para algunos estados y coeficientes que no son negativos y suman uno. ^{[5] [4] : 102} Sin embargo, esta representación no será única, como lo muestra el teorema de Schrödinger-HJW .${\displaystyle \textstyle \sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

Otra motivación para la definición de operadores de densidad proviene de considerar mediciones locales en estados entrelazados. Sea un estado entrelazado puro en el espacio compuesto de Hilbert . La probabilidad de obtener un resultado de medición cuando se miden proyectores solo en el espacio de Hilbert viene dada por ^{[4] : 107}${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi _{m}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$

${\displaystyle p(m)=\langle \Psi |\Pi _{m}\otimes I|\Psi \rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\right],}$

donde denota la traza parcial sobre el espacio de Hilbert . Esto hace que el operador ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$

${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}|\Psi \rangle \langle \Psi |}$

una herramienta conveniente para calcular las probabilidades de estas mediciones locales. Se conoce como la matriz de densidad reducida del subsistema 1. Es fácil comprobar que este operador tiene todas las propiedades de un operador de densidad. Por el contrario, el teorema de Schrödinger-HJW implica que todos los operadores de densidad se pueden escribir como para algún estado .${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}|\Psi \rangle \langle \Psi |}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Estados puros y mixtos

Un estado cuántico puro es un estado que no puede escribirse como una mezcla probabilística o una combinación convexa de otros estados cuánticos. ^[3] Hay varias caracterizaciones equivalentes de estados puros en el lenguaje de los operadores de densidad. ^{[6] : 73} Un operador de densidad representa un estado puro si y solo si:

• se puede escribir como un producto externo de un vector de estado consigo mismo, es decir,${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$

• es una proyección , en particular de rango uno.
• es idempotente , es decir,

${\displaystyle \rho =\rho ^{2}}$.

• tiene pureza uno, es decir,

${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1}$.

Es importante enfatizar la diferencia entre una mezcla probabilística de estados cuánticos y su superposición . Si un sistema físico está preparado para estar en estado o , con la misma probabilidad, puede describirse mediante el estado mixto ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

donde y se asumen ortogonales y de dimensión 2, por simplicidad. Por otro lado, una superposición cuántica de estos dos estados con amplitudes de probabilidad iguales da como resultado el estado puro con matriz de densidad. ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

A diferencia de la mezcla probabilística, esta superposición puede mostrar interferencia cuántica . ^{[4] : 81}

En la representación de la esfera de Bloch de un qubit , cada punto de la esfera unitaria representa un estado puro. Todas las demás matrices de densidad corresponden a puntos en el interior.

Geométricamente, el conjunto de operadores de densidad es un conjunto convexo y los estados puros son los puntos extremos de ese conjunto. El caso más simple es el de un espacio de Hilbert bidimensional, conocido como qubit . Un estado arbitrario para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que proporcionan una base para las matrices autoadjuntas: ^{[7] : 126}${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Los puntos con representan estados puros, mientras que los estados mixtos están representados por puntos en el interior. Esto se conoce como la imagen esférica de Bloch del espacio de estados qubit.${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

Ejemplo: polarización de la luz

La bombilla de luz incandescente  (1) emite fotones polarizados completamente aleatorios  (2) con matriz de densidad de estado mixto:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}$.

Después de pasar por el polarizador de plano vertical  (3), los fotones restantes están todos polarizados verticalmente  (4) y tienen una matriz de densidad de estado puro:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}$.

Un ejemplo de estados puros y mixtos es la polarización de la luz . Un fotón individual puede describirse como que tiene polarización circular derecha o izquierda , descrita por los estados cuánticos ortogonales o una superposición de los dos: puede estar en cualquier estado (con ), correspondiente a polarización lineal , circular o elíptica . Considere ahora un fotón polarizado verticalmente, descrito por el estado . Si lo pasamos a través de un polarizador circular que permite o solo luz polarizada, o solo${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\displaystyle |V\rangle =(|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$luz polarizada, la mitad de los fotones se absorben en ambos casos. Esto puede hacer que parezca que la mitad de los fotones están en estado y la otra mitad en estado , pero esto no es correcto: si pasamos por un polarizador lineal no hay absorción de ningún tipo, pero si pasamos el estado o la mitad de los fotones están absorbido.${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$

La luz no polarizada (como la luz de una bombilla incandescente ) no se puede describir como ningún estado de la forma (polarización lineal, circular o elíptica). A diferencia de la luz polarizada, pasa a través de un polarizador con una pérdida de intensidad del 50% cualquiera que sea la orientación del polarizador; y no se puede polarizar haciéndolo pasar a través de ninguna placa de ondas . Sin embargo, la luz no polarizada puede describirse como un conjunto estadístico, por ejemplo, como cada fotón que tiene polarización o polarización con probabilidad 1/2. El mismo comportamiento ocurriría si cada fotón tuviera polarización vertical o polarización horizontal.${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$${\displaystyle |H\rangle }$con probabilidad 1/2. Estos dos conjuntos son completamente indistinguibles experimentalmente y, por lo tanto, se consideran el mismo estado mixto. Para este ejemplo de luz no polarizada, el operador de densidad es igual a ^{[6] : 75}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|R\rangle \langle R|+{\frac {1}{2}}|L\rangle \langle L|={\frac {1}{2}}|H\rangle \langle H|+{\frac {1}{2}}|V\rangle \langle V|={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

También hay otras formas de generar luz no polarizada: una posibilidad es introducir incertidumbre en la preparación del fotón, por ejemplo, haciéndolo pasar por un cristal birrefringente de superficie rugosa, de modo que partes ligeramente distintas del haz de luz adquieran polarizaciones distintas. Otra posibilidad es utilizar estados entrelazados: una desintegración radiactiva puede emitir dos fotones que viajan en direcciones opuestas, en el estado cuántico . El estado conjunto de los dos fotones juntos es puro, pero la matriz de densidad para cada fotón individualmente, que se encuentra tomando el trazo parcial de la matriz de densidad conjunta, está completamente mezclada. ^{[4] : 106}${\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Conjuntos y purificaciones equivalentes

Artículo principal: teorema de Schrödinger-HJW

Un operador de densidad dado no determina de forma única qué conjunto de estados puros lo origina; en general, hay infinitos conjuntos diferentes que generan la misma matriz de densidad. ^[8] No se pueden distinguir por ninguna medida. ^[9] Los conjuntos equivalentes se pueden caracterizar completamente: sea ​​un conjunto. Luego, para cualquier matriz compleja tal que (una isometría parcial ), el conjunto definido por${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

dará lugar al mismo operador de densidad, y todos los conjuntos equivalentes son de esta forma.

Un hecho estrechamente relacionado es que un operador de densidad dado tiene infinitas purificaciones diferentes , que son estados puros que generan el operador de densidad cuando se toma una traza parcial. Dejar

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

ser el operador de densidad generado por el conjunto , con estados no necesariamente ortogonales. Entonces para todas las isometrías parciales tenemos que${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

es una purificación de , donde es una base ortogonal, y además todas las purificaciones de son de esta forma.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle |a_{j}\rangle }$${\displaystyle \rho }$

Medida

Sea un observable del sistema, y ​​suponga que el conjunto está en un estado mixto tal que cada uno de los estados puros ocurre con probabilidad . Entonces el operador de densidad correspondiente es igual a${\displaystyle A}$${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

El valor esperado de la medición se puede calcular extendiendo desde el caso de estados puros:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

donde denota rastro . Por lo tanto, la expresión familiar para estados puros se reemplaza por${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

para estados mixtos. ^{[6] : 73}

Además, si tiene resolución espectral${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

donde es el operador de proyección en el espacio propio correspondiente al valor propio , el operador de densidad posterior a la medición viene dado por ^{[10] [11]}${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

cuando se obtiene el resultado i . En el caso de que no se conozca el resultado de la medición, el conjunto se describe mediante

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Si se supone que las probabilidades de los resultados de la medición son funciones lineales de los proyectores , entonces deben estar dadas por la traza del proyector con un operador de densidad. El teorema de Gleason muestra que en los espacios de Hilbert de dimensión 3 o más grandes, el supuesto de linealidad puede ser reemplazado por un supuesto de no contextualidad . ^[12] Esta restricción en la dimensión también puede eliminarse asumiendo la no contextualidad para los POVM , ^{[13] [14]} pero esto ha sido criticado por estar físicamente desmotivado. ^[15]${\displaystyle P_{i}}$

Entropía

La entropía de von Neumann de una mezcla se puede expresar en términos de los valores propios de o en términos de la traza y el logaritmo del operador de densidad . Dado que es un operador semi-definido positivo, tiene una descomposición espectral tal que , donde están los vectores ortonormales , y . Entonces la entropía de un sistema cuántico con matriz de densidad es${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Esta definición implica que la entropía de von Neumann de cualquier estado puro es cero. ^{[16] : 217} Si hay estados que tienen soporte en subespacios ortogonales, entonces la entropía de von Neumann de una combinación convexa de estos estados,${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

viene dada por las entropías de von Neumann de los estados y la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad :${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Cuando los estados no tienen soportes ortogonales, la suma del lado derecho es estrictamente mayor que la entropía de von Neumann de la combinación convexa . ^{[4] : 518}${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle \rho }$

Dado un operador de densidad y una medida proyectiva como en la sección anterior, el estado definido por la combinación convexa${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

que se puede interpretar como el estado producido al realizar la medición pero sin registrar qué resultado ocurrió, ^{[7] : 159} tiene una entropía de von Neumann mayor que la de , excepto si . Sin embargo, es posible que el producido por una medición generalizada , o POVM , tenga una entropía de von Neumann más baja que . ^{[4] : 514}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\rho '}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho }$

La ecuación de von Neumann para la evolución del tiempo

Ver también: Teorema de Liouville (hamiltoniano) § Ecuación cuántica de Liouville

Así como la ecuación de Schrödinger describe cómo evolucionan los estados puros en el tiempo, la ecuación de von Neumann (también conocida como ecuación de Liouville-von Neumann ) describe cómo evoluciona un operador de densidad en el tiempo. La ecuación de von Neumann dicta que ^{[17] [18] [19]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=[H,\rho ]~,}$

donde los corchetes denotan un conmutador .

Tenga en cuenta que esta ecuación solo se cumple cuando se considera que el operador de densidad está en la imagen de Schrödinger , aunque a primera vista esta ecuación parece emular la ecuación de movimiento de Heisenberg en la imagen de Heisenberg , con una diferencia de signo crucial:

${\displaystyle i\hbar {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\left[H,A^{(H)}\right]~,}$

¿Dónde está algún operador de imagen de Heisenberg ? pero en esta imagen, la matriz de densidad no depende del tiempo , y el signo relativo asegura que la derivada del valor esperado en el tiempo sea la misma que en la imagen de Schrödinger . ^[3]${\displaystyle A^{(H)}(t)}$${\displaystyle \langle A\rangle }$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuación de von Neumann se puede resolver fácilmente para producir

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Para un hamiltoniano más general, si es el propagador de la función de onda en algún intervalo, entonces la evolución temporal de la matriz de densidad en ese mismo intervalo viene dada por${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

Funciones de Wigner y analogías clásicas

Artículo principal: Formulación de espacio de fase

El operador de matriz de densidad también se puede realizar en el espacio de fase . Bajo el mapa de Wigner , la matriz de densidad se transforma en la función de Wigner equivalente ,

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

La ecuación para la evolución temporal de la función de Wigner, conocida como ecuación de Moyal , es entonces la transformada de Wigner de la ecuación de von Neumann anterior,

${\displaystyle {\frac {\partial W(q,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(q,p,t),H(q,p)\}\},}$

donde es el hamiltoniano, y es el corchete de Moyal , la transformada del conmutador cuántico .${\displaystyle H(q,p)}$${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

La ecuación de evolución para la función de Wigner es entonces análoga a la de su límite clásico, la ecuación de Liouville de la física clásica . En el límite de la constante de Planck de desaparición , se reduce a la función de densidad de probabilidad clásica de Liouville en el espacio de fase .${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle W(q,p,t)}$

Aplicaciones de ejemplo

Las matrices de densidad son una herramienta básica de la mecánica cuántica y aparecen al menos ocasionalmente en casi cualquier tipo de cálculo mecánico-cuántico. Algunos ejemplos específicos en los que las matrices de densidad son especialmente útiles y comunes son los siguientes:

• La mecánica estadística utiliza matrices de densidad, principalmente para expresar la idea de que un sistema se prepara a una temperatura distinta de cero. La construcción de una matriz de densidad utilizando un conjunto canónico da un resultado de la forma , donde es la temperatura inversa y es el hamiltoniano del sistema. La condición de normalización de que la traza de sea ​​igual a 1 define la función de partición como . Si el número de partículas involucradas en el sistema no es seguro, entonces se puede aplicar un gran conjunto canónico , donde los estados sumados para hacer la matriz de densidad se extraen de un espacio de Fock . ^{[20] : 174}${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (k_{B}T)^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• La teoría de la decoherencia cuántica generalmente involucra sistemas cuánticos no aislados que desarrollan entrelazamientos con otros sistemas, incluidos los aparatos de medición. Las matrices de densidad facilitan mucho la descripción del proceso y el cálculo de sus consecuencias. La decoherencia cuántica explica por qué un sistema que interactúa con un entorno pasa de ser un estado puro, exhibiendo superposiciones, a un estado mixto, una combinación incoherente de alternativas clásicas. Esta transición es fundamentalmente reversible, ya que el estado combinado del sistema y el entorno sigue siendo puro, pero a todos los efectos prácticos es irreversible, ya que el entorno es un sistema cuántico muy grande y complejo, y no es factible revertir su interacción. Por tanto, la decoherencia es muy importante para explicar el límite clásicode la mecánica cuántica, pero no puede explicar el colapso de la función de onda, ya que todas las alternativas clásicas todavía están presentes en el estado mixto, y el colapso de la función de onda selecciona solo una de ellas. ^[21]
• De manera similar, en la computación cuántica , la teoría de la información cuántica , los sistemas cuánticos abiertos y otros campos donde la preparación del estado es ruidosa y puede ocurrir la decoherencia, se utilizan con frecuencia matrices de densidad. El ruido a menudo se modela a través de un canal de despolarización o un canal de amortiguación de amplitud . La tomografía cuántica es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de las mediciones cuánticas, se calcula una matriz de densidad consistente con esos resultados de medición. ^{[22] [23]}
• Al analizar un sistema con muchos electrones, como un átomo o una molécula , una primera aproximación imperfecta pero útil es tratar los electrones como no correlacionados o teniendo cada uno una función de onda independiente de una sola partícula. Este es el punto de partida habitual cuando se construye el determinante de Slater en el método Hartree-Fock . Si hay electrones que llenan las funciones de onda de una sola partícula , entonces la colección de electrones juntos puede caracterizarse por una matriz de densidad .${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle N}$${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

C * - formulación algebraica de estados

Ahora se acepta generalmente que la descripción de la mecánica cuántica en la que todos los operadores autoadjuntos representan observables es insostenible. ^{[24] [25]} Por esta razón, observables se identifican con los elementos de un extracto C * -algebra A (que es uno sin una representación distingue como un álgebra de operadores) y estados son positivos funcionales lineales en A . Sin embargo, al utilizar la construcción GNS , podemos recuperar espacios de Hilbert que realizan A como una subálgebra de operadores.

Geométricamente, un estado puro en un C * álgebra A es un estado que es un punto extremo del conjunto de todos los estados en una . Por propiedades de la construcción GNS estos estados corresponden a representaciones irreducibles de A .

Los estados del álgebra C * de los operadores compactos K ( H ) corresponden exactamente a los operadores de densidad y, por lo tanto, los estados puros de K ( H ) son exactamente los estados puros en el sentido de la mecánica cuántica.

Se puede ver que la formulación C * -algebraica incluye tanto sistemas clásicos como cuánticos. Cuando el sistema es clásico, el álgebra de observables se convierte en un álgebra C * abeliana. En ese caso, los estados se convierten en medidas de probabilidad, como se señaló en la introducción.

Historia

El formalismo de matrices y operadores de densidad fue introducido en 1927 por John von Neumann ^[26] e independientemente, pero de forma menos sistemática, por Lev Landau ^[27] y más tarde en 1946 por Felix Bloch . ^[28] Von Neumann introdujo la matriz de densidad para desarrollar tanto la mecánica estadística cuántica como una teoría de las medidas cuánticas. El nombre matriz de densidad en sí se relaciona con su correspondencia clásica con una medida de probabilidad de espacio de fase (distribución de probabilidad de posición y momento) en la mecánica estadística clásica , que fue introducida por Wigner en 1932. ^[1]

Por el contrario, la motivación que inspiró a Landau fue la imposibilidad de describir un subsistema de un sistema cuántico compuesto por un vector de estado. ^[27]

Ver también

• Transición de electrones atómicos
• Teoría funcional de la densidad
• Relaciones Green-Kubo
• Función de Green (teoría de muchos cuerpos)
• Ecuación de Lindblad
• Distribución de cuasi-probabilidad de Wigner

Notas y referencias

1. Fano, U. (1957). "Descripción de Estados en Mecánica Cuántica por Matriz de Densidad y Técnicas de Operador". Reseñas de Física Moderna . 29 (1): 74–93. Código Bibliográfico : 1957RvMP ... 29 ... 74F . doi : 10.1103 / RevModPhys.29.74 .
2. Holevo, Alexander S. (2001). Estructura estadística de la teoría cuántica . Apuntes de clases de física. Saltador. ISBN 3-540-42082-7. OCLC  318268606 .
3. Hall, Brian C. (2013). "Sistemas y subsistemas, múltiples partículas". Teoría cuántica para matemáticos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 267 . págs. 419–440. doi : 10.1007 / 978-1-4614-7116-5_19 . ISBN 978-1-4614-7115-8.
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