Rombo

Cuadrilátero en el que todos los lados tienen la misma longitud

Para otros usos, consulte Rombo (desambiguación) .

Rombo
Dos rombos
Tipo	cuadrilátero , paralelogramo , cometa
Aristas y vértices	4
Símbolo de Schläfli	{} + {} {2 α }
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Diedro (D 2 ), [2], (* 22), orden 4
Área	${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}}$ (la mitad del producto de las diagonales)
Polígono dual	rectángulo
Propiedades	convexo , isotoxal

El rombo tiene un cuadrado como caso especial, y es un caso especial de cometa y paralelogramo .

En la geometría euclidiana plana , un rombo (plural rombos o rombos ) es un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen todos la misma longitud. Otro nombre es cuadrilátero equilátero , ya que equilátero significa que todos sus lados tienen la misma longitud. El rombo a menudo se llama diamante , por el palo de los diamantes en las cartas que se asemeja a la proyección de un diamante octaédrico , o un rombo , aunque el primero a veces se refiere específicamente a un rombo con un ángulo de 60 ° (que algunos autores llaman calisson porel dulce francés ^[1] - ver también Polyiamond ), y este último a veces se refiere específicamente a un rombo con un ángulo de 45 °.

Cada rombo es simple (no se interseca automáticamente) y es un caso especial de un paralelogramo y una cometa . Un rombo con ángulos rectos es un cuadrado . ^{[2] [3]}

Etimología

La palabra "rombo" viene del griego ῥόμβος ( RHOMBOS ), es decir, algo que giros, ^[4] que se deriva del verbo ῥέμβω ( rhembō ), que significa "vuelta y vuelta". ^[5] La palabra fue utilizada tanto por Euclides como por Arquímedes , quienes usaron el término "rombo sólido" para un bicono , dos conos circulares rectos que comparten una base común. ^[6]

La superficie a la que nos referimos hoy como rombo es una sección transversal del bicono en un plano a través de los vértices de los dos conos.

Caracterizaciones

Un cuadrilátero simple (que no se interseca automáticamente ) es un rombo si y solo si es uno de los siguientes: ^{[7] [8]}

• un paralelogramo en el que una diagonal biseca un ángulo interior
• un paralelogramo en el que al menos dos lados consecutivos tienen la misma longitud
• un paralelogramo en el que las diagonales son perpendiculares (un paralelogramo ortodiagonal )
• un cuadrilátero con cuatro lados de igual longitud (por definición)
• un cuadrilátero en el que las diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí
• un cuadrilátero en el que cada diagonal biseca dos ángulos interiores opuestos
• un cuadrilátero ABCD que posee un punto P en su plano tal que los cuatro triángulos ABP , BCP , CDP y DAP son todos congruentes ^[9]
• un cuadrilátero ABCD en el que los círculos de los triángulos ABC , BCD , CDA y DAB tienen un punto común ^[10]

Propiedades básicas

Cada rombo tiene dos diagonales que conectan pares de vértices opuestos y dos pares de lados paralelos. Usando triángulos congruentes , se puede probar que el rombo es simétrico en cada una de estas diagonales. De ello se deduce que cualquier rombo tiene las siguientes propiedades:

• Los ángulos opuestos de un rombo tienen la misma medida.
• Las dos diagonales de un rombo son perpendiculares ; es decir, un rombo es un cuadrilátero ortodiagonal .
• Sus diagonales bisecan ángulos opuestos.

La primera propiedad implica que todo rombo es un paralelogramo . Por tanto, un rombo tiene todas las propiedades de un paralelogramo : por ejemplo, los lados opuestos son paralelos; los ángulos adyacentes son suplementarios ; las dos diagonales se bisecan entre sí; cualquier línea que atraviese el punto medio biseca el área; y la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (la ley del paralelogramo ). Así que denota el lado común como una y las diagonales como p y q , en cada rombo

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

No todo paralelogramo es un rombo, aunque cualquier paralelogramo con diagonales perpendiculares (la segunda propiedad) es un rombo. En general, cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares, una de las cuales es un eje de simetría, es una cometa . Cada rombo es una cometa y cualquier cuadrilátero que sea a la vez una cometa y un paralelogramo es un rombo.

Un rombo es un cuadrilátero tangencial . ^[11] Es decir, tiene un círculo inscrito que es tangente a los cuatro lados.

Un rombo. Cada ángulo marcado con un punto negro es un ángulo recto. La altura h es la distancia perpendicular entre dos lados no adyacentes, que es igual al diámetro del círculo inscrito. Las diagonales de longitudes p y q son los segmentos rojos de línea de puntos.

Diagonales

La longitud de las diagonales p = AC y q = BD se puede expresar en términos de la banda de rombo una y un vértice del ángulo α como

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

y

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

Estas fórmulas son una consecuencia directa de la ley de los cosenos .

Inradius

El inradio (el radio de un círculo inscrito en el rombo), denotada por r , se puede expresar en términos de las diagonales p y q como ^[11]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

o en términos de la longitud del lado una y cualquier ángulo del vértice α o β como

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

Área

Como para todos los paralelogramos , el área K de un rombo es el producto de su base y su altura ( h ). La base tiene simplemente cualquier longitud de lado a :

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

El área también se puede expresar como la base al cuadrado por el seno de cualquier ángulo:

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

o en términos de altura y ángulo de vértice :

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

o como la mitad del producto de las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

o como el semiperímetro multiplicado por el radio del círculo inscrito en el rombo (en radio):

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

Otra forma, en común con los paralelogramos, es considerar dos lados adyacentes como vectores, formando un bivector , por lo que el área es la magnitud del bivector (la magnitud del producto vectorial de los dos vectores), que es el determinante de los dos. Coordenadas cartesianas de los vectores: K = x ₁ y ₂ - x ₂ y ₁ . ^[12]

Propiedades duales

El polígono dual de un rombo es un rectángulo : ^[13]

• Un rombo tiene todos los lados iguales, mientras que un rectángulo tiene todos los ángulos iguales.
• Un rombo tiene ángulos opuestos iguales, mientras que un rectángulo tiene lados opuestos iguales.
• Un rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un rectángulo tiene una circunferencia .
• Un rombo tiene un eje de simetría a través de cada par de ángulos de vértice opuestos, mientras que un rectángulo tiene un eje de simetría a través de cada par de lados opuestos.
• Las diagonales de un rombo se cruzan en ángulos iguales, mientras que las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud.
• La figura formada uniendo los puntos medios de los lados de un rombo es un rectángulo y viceversa.

Ecuación cartesiana

Los lados de un rombo centrados en el origen, con diagonales cada una cayendo sobre un eje, constan de todos los puntos ( x, y ) que satisfacen

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

Los vértices están en y Este es un caso especial de superelipse , con exponente 1.${\displaystyle (\pm a,0)}$${\displaystyle (0,\pm b).}$

Otras propiedades

• Uno de los cinco tipos de celosía 2D es la celosía rómbica, también llamada celosía rectangular centrada .
• Los rombos idénticos pueden enlosar el plano 2D de tres formas diferentes, incluido, para el rombo de 60 °, el mosaico rhombille .

Como mosaicos cuadrados topológicos		Como baldosas rhombille de 30-60 grados

• Los análogos tridimensionales de un rombo incluyen la bipirámide y el bicono .
• Varios poliedros tienen caras rómbicas, como el dodecaedro rómbico y el dodecaedro trapezorómbico .

Algunos poliedros con todas las caras rómbicas.

Poliedros isoédricos		Poliedros no isoédricos
Rombos idénticos	Rombos dorados idénticos		Dos tipos de rombos	Tres tipos de rombos
Dodecaedro rómbico	Triacontaedro rómbico	Icosaedro rómbico	Eneacontaedro rómbico	Romboedro

Como las caras de un poliedro

Un romboedro (también llamado hexaedro rómbico) es una figura tridimensional como un cuboide (también llamado paralelepípedo rectangular), excepto que sus 3 pares de caras paralelas son hasta 3 tipos de rombos en lugar de rectángulos.

El dodecaedro rómbico es un poliedro convexo con 12 rombos congruentes como caras .

El triacontaedro rómbico es un poliedro convexo con 30 rombos dorados (rombos cuyas diagonales están en la proporción áurea ) como caras.

El gran rómbica triacontaedro es un no convexo isohedral , isotoxal poliedro con 30 intersección caras rómbicas.

El hexcontaedro rómbico es una estelación del triacontaedro rómbico. Es no convexo con 60 caras rómbicas doradas con simetría icosaédrica .

El eneacontaedro rómbico es un poliedro compuesto por 90 caras rómbicas, con tres, cinco o seis rombos que se encuentran en cada vértice. Tiene 60 rombos anchos y 30 delgados.

El dodecaedro trapezo-rómbico es un poliedro convexo con 6 caras rómbicas y 6 trapezoidales .

El icosaedro rómbico es un poliedro compuesto por 20 caras rómbicas, de las cuales tres, cuatro o cinco se encuentran en cada vértice. Tiene 10 caras en el eje polar con 10 caras siguiendo el ecuador.

Ver también

• Merkel-Raute
• Rombo de Michaelis , en anatomía humana
• Romboide , ya sea un paralelepípedo o un paralelogramo que no es ni un rombo ni un rectángulo
• Antena rómbica
• Ajedrez rómbico
• Bandera del Departamento de Santander Norte de Colombia, que contiene cuatro estrellas en forma de rombo
• Superellipse (incluye un rombo con esquinas redondeadas)

Referencias

1. http://books.google.com/books?id=2F_0DwAAQBAJ&pg=PA28
2. Nota:La definición original de Euclides y la definición de rombo de algunos diccionarios de inglés excluyen los cuadrados, pero los matemáticos modernos prefieren la definición inclusiva.
3. Weisstein, Eric W. "Cuadrado" . MathWorld . uso inclusivo
4. ῥόμβος Archivado el 8 de noviembre de 2013 en la Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
5. ρέμβω Archivado el 8 de noviembre de 2013 en la Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
6. "El origen del rombo" . Archivado desde el original el 2 de abril de 2015 . Consultado el 25 de enero de 2005 .
7. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, " La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición archivado el 26 de febrero de 2020 en la Wayback Machine ", Publicación de la era de la información, 2008, págs. 55-56.
8. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry Archivado el 1 de septiembre de 2019 en la Wayback Machine , Asociación Matemática de América, 2010, p. 53.
9. Paris Pamfilos (2016), "Una caracterización del rombo", Forum Geometricorum 16 , págs. 331–336, [1] Archivado el 23 de octubre de 2016 en la Wayback Machine.
10. "IMOmath," 26ª Olimpiada Matemática Brasileña 2004 " " (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de octubre de 2016 . Consultado el 6 de enero de 2020 .
11. Weisstein, Eric W. "Rhombus" . MathWorld .
12. WildLinAlg episodio 4 Archivado el 5 de febrero de 2017 en Wayback Machine , Norman J Wildberger, Univ. de Nueva Gales del Sur, 2010, conferencia a través de youtube
13. de Villiers, Michael, "Polígonos circunscritos equiangulares cíclicos y equiláteros", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, 102-107.

enlaces externos

Busque rombo en Wikcionario, el diccionario gratuito.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Rhombi .

• Paralelogramo y Rombo - Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Definición de rombo, referencia abierta matemática con subprograma interactivo.
• Área de rombo, referencia matemática abierta : muestra tres formas diferentes de calcular el área de un rombo, con un subprograma interactivo