Geometría diferencial

Rama de las matemáticas que se ocupa de funciones y estructuras geométricas en variedades diferenciables.

Un triángulo inmerso en un plano en forma de silla de montar (un paraboloide hiperbólico ), así como dos líneas ultraparalelas divergentes .

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Plano Zona Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Zona
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por período AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400 a 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Gromov
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La geometría diferencial es una disciplina matemática que utiliza las técnicas de cálculo diferencial , cálculo integral , álgebra lineal y álgebra multilineal para estudiar problemas de geometría . La teoría de las curvas y superficies planas y espaciales en el espacio euclidiano tridimensional formó la base para el desarrollo de la geometría diferencial durante los siglos XVIII y XIX.

Desde finales del siglo XIX, la geometría diferencial se ha convertido en un campo que se ocupa de manera más general de las estructuras geométricas en variedades diferenciables . La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial y los aspectos geométricos de la teoría de ecuaciones diferenciales . La geometría diferencial de superficies captura muchas de las ideas y técnicas clave endémicas de este campo.

Historia del desarrollo

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La geometría diferencial surgió y se desarrolló como resultado y en conexión con el análisis matemático de curvas y superficies. ^{[1] El} análisis matemático de curvas y superficies se había desarrollado para responder algunas de las preguntas persistentes y sin respuesta que aparecían en el cálculo , como las razones de las relaciones entre formas y curvas complejas, series y funciones analíticas. Estas preguntas sin respuesta indicaban relaciones más profundas y ocultas.

Cuando las curvas, superficies encerradas por las curvas y puntos en las curvas se encontró que eran cuantitativamente, y, en general, relacionados por las formas matemáticas, el estudio formal de la naturaleza de las curvas y superficies se convirtió en un campo de estudio por derecho propio, con Monge s' en 1795, y especialmente, con la publicación de Gauss de su artículo, titulado 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', en Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores en 1827. ^[2]

Aplicado inicialmente al espacio euclidiano, las exploraciones posteriores llevaron al espacio no euclidiano y a los espacios métricos y topológicos.

Ramas

Geometría de Riemann

Artículo principal: geometría riemanniana

La geometría de Riemann estudia las variedades de Riemann , variedades suaves con una métrica de Riemann . Este es un concepto de distancia expresado por medio de una forma bilineal simétrica definida positiva suave definida en el espacio tangente en cada punto. La geometría de Riemann generaliza la geometría euclidiana a espacios que no son necesariamente planos, aunque todavía se parecen al espacio euclidiano en cada punto infinitesimalmente, es decir, en el primer orden de aproximación . Varios conceptos basados ​​en la longitud, como la longitud del arco de las curvas , el área de las regiones planas y todos los volúmenes de sólidos poseen análogos naturales en la geometría riemanniana. La noción de una derivada direccional de una función del cálculo multivariable se extiende en la geometría de Riemann a la noción de una derivada covariante de un tensor . Muchos conceptos y técnicas de análisis y ecuaciones diferenciales se han generalizado al contexto de las variedades de Riemann.

Un difeomorfismo que preserva la distancia entre variedades de Riemann se llama isometría . Esta noción también se puede definir localmente , es decir, para pequeñas vecindades de puntos. Dos curvas regulares cualesquiera son localmente isométricas. Sin embargo, el Theorema Egregium de Carl Friedrich Gauss mostró que para las superficies, la existencia de una isometría local impone fuertes condiciones de compatibilidad en sus métricas: las curvaturas gaussianas en los puntos correspondientes deben ser las mismas. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemannes un invariante puntual importante asociado con una variedad de Riemann que mide qué tan cerca está de ser plano. Una clase importante de variedades de Riemann son los espacios simétricos de Riemann , cuya curvatura no es necesariamente constante. Estos son los análogos más cercanos al plano y espacio "ordinarios" considerados en la geometría euclidiana y no euclidiana .

Geometría pseudo-riemanniana

La geometría pseudo-riemanniana generaliza la geometría riemanniana al caso en el que el tensor métrico no necesita ser definido positivo . Un caso especial de esto es una variedad de Lorentz , que es la base matemática de la teoría de la relatividad general de la gravedad de Einstein .

Geometría de Finsler

Artículo principal: colector Finsler

La geometría de Finsler tiene las variedades de Finsler como principal objeto de estudio. Esta es una variedad diferencial con una métrica de Finsler , es decir, una norma de Banach definida en cada espacio tangente. Las variedades de Riemann son casos especiales de las variedades de Finsler más generales. Una estructura de Finsler en un colector M es una función F  : T M → [0, ∞) tal que:

1. F ( x , my ) = m F ( x , y ) para todo ( x , y ) en T M y todo m ≥0 ,
2. F es infinitamente diferenciable en T M ∖ {0} ,
3. El hessiano vertical de F ² es definido positivo.

Geometría simpléctica

Artículo principal: geometría simpléctica

La geometría simpléctica es el estudio de variedades simplécticas . Un colector casi simpléctico es una variedad diferenciable equipado con un suavemente variable no degenerado antisimétrica forma bilineal en cada espacio tangente, es decir, una 2- nondegenerate forma ω , llamada la forma simpléctica . Una variedad simpléctica es una variedad casi simpléctica para la cual la forma simpléctica ω es cerrada: d ω = 0 .

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas que conserva la forma simpléctica se denomina simplectomorfismo . Las formas bilineales asimétricas asimétricas no degeneradas solo pueden existir en espacios vectoriales de dimensión uniforme, por lo que las variedades simplécticas tienen necesariamente una dimensión uniforme. En la dimensión 2, una variedad simpléctica es solo una superficie dotada de una forma de área y un simplectomorfismo es un difeomorfismo que conserva el área. El espacio de fase de un sistema mecánico es una variedad simpléctica y aparecieron implícitamente en el trabajo de Joseph Louis Lagrange sobre la mecánica analítica y más tarde en el de Carl Gustav Jacobi y William Rowan Hamilton.'S formulaciones de la mecánica clásica .

En contraste con la geometría de Riemann, donde la curvatura proporciona una invariante local de las variedades de Riemann, el teorema de Darboux establece que todas las variedades simplécticas son localmente isomórficas. Los únicos invariantes de una variedad simpléctica son de naturaleza global y los aspectos topológicos juegan un papel destacado en la geometría simpléctica. El primer resultado en la topología simpléctica es probablemente el teorema de Poincaré-Birkhoff , conjeturado por Henri Poincaré y luego probado por GD Birkhoff en 1912. Afirma que si un mapa de preservación del área de un anillo retuerce cada componente del límite en direcciones opuestas, entonces el mapa tiene al menos dos puntos fijos. ^[3]

Geometría de contacto

Artículo principal: geometría de contacto

La geometría de contacto se ocupa de ciertas variedades de dimensión impar. Se acerca a la geometría simpléctica y, como esta última, se originó en cuestiones de la mecánica clásica. Una estructura de contacto en una variedad M (2 n + 1) -dimensional está dada por un campo hiperplano suave H en el haz tangente que está lo más lejos posible de estar asociado con los conjuntos de niveles de una función diferenciable en M (el término técnico es "distribución de hiperplano tangente completamente no integrable"). Cerca de cada punto p , una distribución de hiperplano está determinada por una forma 1 que no desaparece en ninguna parte ${\displaystyle \alpha }$, que es único hasta la multiplicación por una función que desaparece en ninguna parte:

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

Una forma 1 local en M es una forma de contacto si la restricción de su derivado exterior a H es una forma de dos no degenerada y, por lo tanto, induce una estructura simpléctica en H _p en cada punto. Si la distribución H se puede definir mediante una forma global unidireccional, entonces esta forma es contacto si y solo si la forma dimensional superior${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

es una forma de volumen en M , es decir, no desaparece en ninguna parte. Se cumple un análogo de contacto del teorema de Darboux: todas las estructuras de contacto en una variedad de dimensión impar son localmente isomórficas y pueden llevarse a una cierta forma normal local mediante una elección adecuada del sistema de coordenadas.

Geometría compleja y de Kähler

Ver también: geometría compleja

La geometría diferencial compleja es el estudio de variedades complejas . Una variedad casi compleja es una variedad real , dotada de un tensor de tipo (1, 1), es decir, un endomorfismo de conjunto de vectores (llamado estructura casi compleja )${\displaystyle M}$

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$, tal que ${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

De esta definición se deduce que una variedad casi compleja es de dimensión uniforme.

Una variedad casi compleja se llama compleja si , donde está relacionado un tensor de tipo (2, 1) , llamado tensor de Nijenhuis (o, a veces, torsión ). Una variedad casi compleja es compleja si y solo si admite un atlas de coordenadas holomórficas . Una estructura casi hermitiana viene dada por una estructura casi compleja J , junto con una métrica riemanniana g , que satisface la condición de compatibilidad${\displaystyle N_{J}=0}$${\displaystyle N_{J}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y)\,}$.

Una estructura casi hermitiana define naturalmente un diferencial de dos formas

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,}$.

Las siguientes dos condiciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

donde es la conexión de Levi-Civita de . En este caso, se denomina estructura de Kähler , y un colector de Kähler es un colector dotado de una estructura de Kähler. En particular, una variedad de Kähler es una variedad compleja y simpléctica . Una gran clase de variedades Kähler (la clase de variedades Hodge ) viene dada por todas las variedades proyectivas complejas suaves .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle (J,g)}$

Geometría CR

La geometría CR es el estudio de la geometría intrínseca de los límites de los dominios en variedades complejas .

Geometría conforme

La geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones que conservan ángulos (conforme) en un espacio.

Topología diferencial

La topología diferencial es el estudio de invariantes geométricos globales sin una forma métrica o simpléctica.

La topología diferencial comienza a partir de operaciones naturales como la derivada de Lie de los paquetes de vectores naturales y el diferencial de formas de De Rham . Además de los algebroides de Lie , también los algebroides de Courant comienzan a desempeñar un papel más importante.

Grupos de mentiras

Un grupo de Lie es un grupo en la categoría de variedades suaves. Además de las propiedades algebraicas, también disfruta de propiedades geométricas diferenciales. La construcción más obvia es la de un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la unidad dotada con el corchete de Lie entre campos vectoriales invariantes a la izquierda . Además de la teoría de la estructura, también existe el amplio campo de la teoría de la representación .

Teoría del calibre

Artículo principal: Teoría del calibre (matemáticas)

La teoría del calibre es el estudio de las conexiones de los haces de vectores y los haces principales, y surge de problemas de física matemática y teorías de calibre físico que sustentan el modelo estándar de la física de partículas . La teoría de la galga se ocupa del estudio de ecuaciones diferenciales para conexiones en haces, y los espacios de módulos geométricos resultantes de soluciones a estas ecuaciones, así como las invariantes que pueden derivarse de ellas. Estas ecuaciones surgen a menudo como las ecuaciones de Euler-Lagrange que describen las ecuaciones de movimiento de ciertos sistemas físicos en la teoría cuántica de campos , por lo que su estudio es de considerable interés en la física.

Paquetes y conexiones

El aparato de haces de vectores , haces principales y conexiones en haces juega un papel extraordinariamente importante en la geometría diferencial moderna. Una variedad suave siempre lleva un paquete de vectores naturales, el paquete tangente . En términos generales, esta estructura por sí sola es suficiente solo para desarrollar análisis sobre la variedad, mientras que hacer geometría requiere, además, alguna forma de relacionar los espacios tangentes en diferentes puntos, es decir, una noción de transporte paralelo . Un ejemplo importante lo proporcionan las conexiones afines . Para una superficie en R ³, los planos tangentes en diferentes puntos se pueden identificar utilizando un paralelismo natural inducido por el espacio euclidiano ambiental, que tiene una definición estándar bien conocida de métrica y paralelismo. En la geometría de Riemann , la conexión Levi-Civita tiene un propósito similar. (La conexión Levi-Civita define el paralelismo en el camino en términos de una métrica Riemanniana arbitraria dada en una variedad). De manera más general, los geómetras diferenciales consideran espacios con un conjunto de vectores y una conexión afín arbitraria que no está definida en términos de una métrica. En física, la variedad puede ser el continuo espacio-tiempo y los haces y conexiones están relacionados con varios campos físicos.

Intrínseco versus extrínseco

Desde principios y hasta mediados del siglo XIX, la geometría diferencial se estudió desde el punto de vista extrínseco : se consideró que las curvas y superficies se encontraban en un espacio euclidiano de mayor dimensión (por ejemplo, una superficie en un espacio ambiental de tres dimensiones). . Los resultados más simples son los de la geometría diferencial de curvas y la geometría diferencial de superficies . A partir de la obra de Riemann , la intrínsecaSe desarrolló un punto de vista en el que no se puede hablar de mover "fuera" del objeto geométrico porque se considera que está dado de forma autónoma. El resultado fundamental aquí es el teorema egregium de Gauss , en el sentido de que la curvatura de Gauss es una invariante intrínseca.

El punto de vista intrínseco es más flexible. Por ejemplo, es útil en la relatividad donde el espacio-tiempo no puede tomarse naturalmente como extrínseco (¿qué sería "fuera" del universo?). Sin embargo, hay un precio que pagar en complejidad técnica: las definiciones intrínsecas de curvatura y conexiones se vuelven mucho menos intuitivas visualmente.

Estos dos puntos de vista pueden conciliarse, es decir, la geometría extrínseca puede considerarse como una estructura adicional a la intrínseca. (Véase el teorema de incrustación de Nash .) En el formalismo del cálculo geométrico, tanto la geometría extrínseca como la intrínseca de una variedad se pueden caracterizar por una única forma unitaria valorada en bivector llamada operador de forma . ^[4]

Aplicaciones

Parte de una serie sobre
Tiempo espacial
Relatividad especial Relatividad general
Conceptos del espacio-tiempo Colector espacio-tiempo Principio de equivalencia Transformaciones de Lorentz Espacio Minkowski
Relatividad general Introducción a la relatividad general Matemáticas de la relatividad general Ecuaciones de campo de Einstein
Gravedad clásica Introducción a la gravitación Ley de Newton de la gravitación universal
Matemáticas relevantes Cuatro vectores Derivaciones de la relatividad Diagramas de espacio-tiempo Geometría diferencial Espacio-tiempo curvo Matemáticas de la relatividad general Topología del espacio-tiempo
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A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se aplica la geometría diferencial a otros campos de la ciencia y las matemáticas.

• En física , la geometría diferencial tiene muchas aplicaciones, que incluyen:
  • La geometría diferencial es el idioma en el que Albert Einstein 's teoría general de la relatividad se expresa. Según la teoría, el universo es una variedad suave equipada con una métrica pseudo-riemanniana, que describe la curvatura del espacio-tiempo . Comprender esta curvatura es esencial para el posicionamiento de los satélites en órbita alrededor de la Tierra. La geometría diferencial también es indispensable en el estudio de lentes gravitacionales y agujeros negros .
  • Las formas diferenciales se utilizan en el estudio del electromagnetismo .
  • Geometría diferencial tiene aplicaciones tanto a la mecánica de Lagrange y mecánica hamiltoniana . Las variedades simplécticas en particular se pueden utilizar para estudiar los sistemas hamiltonianos .
  • La geometría de Riemann y la geometría de contacto se han utilizado para construir el formalismo de la geometrotermodinámica que ha encontrado aplicaciones en la termodinámica de equilibrio clásica .
• En química y biofísica al modelar la estructura de la membrana celular bajo presión variable.
• En economía , la geometría diferencial tiene aplicaciones en el campo de la econometría . ^[5]
• El modelado geométrico (incluidos los gráficos por computadora ) y el diseño geométrico asistido por computadora se basan en ideas de geometría diferencial.
• En ingeniería , la geometría diferencial se puede aplicar para resolver problemas en el procesamiento de señales digitales . ^[6]
• En la teoría de control , la geometría diferencial se puede utilizar para analizar controladores no lineales, particularmente el control geométrico ^[7]
• En probabilidad , estadística y teoría de la información , se pueden interpretar varias estructuras como variedades de Riemann, lo que produce el campo de la geometría de la información , particularmente a través de la métrica de información de Fisher .
• En geología estructural , la geometría diferencial se utiliza para analizar y describir estructuras geológicas.
• En visión artificial , la geometría diferencial se utiliza para analizar formas. ^[8]
• En el procesamiento de imágenes , la geometría diferencial se utiliza para procesar y analizar datos en superficies no planas. ^[9]
• La prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré usando las técnicas de los flujos de Ricci demostró el poder del enfoque diferencial-geométrico de las preguntas en topología y destacó el importante papel que juegan sus métodos analíticos.
• En las comunicaciones inalámbricas , los colectores Grassmannian se utilizan para técnicas de formación de haces en múltiples sistemas de antenas . ^[10]

Ver también

• Geometría diferencial abstracta
• Geometría diferencial afín
• Análisis de fractales
• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Geometría diferencial discreta
• Gauss
• Glosario de topología y geometría diferencial
• Publicaciones importantes en geometría diferencial
• Publicaciones importantes en topología diferencial
• Geometría integral
• Lista de temas de geometría diferencial
• Geometría no conmutativa
• Geometría diferencial proyectiva
• Geometría diferencial sintética
• Geometría sistólica
• Teoría del calibre (matemáticas)

Referencias

1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Differential_geometry be
2. 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas' (traducción literal del latín: Investigaciones generales de superficies curvas), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores (literalmente, Perspectivas recientes, Real Sociedad de Ciencias de Gottingen). Volumen VI, págs. 99-146. Una traducción del trabajo, por AMHiltebeitel y JCMorehead, titulada "Investigaciones generales de superficies curvas" fue publicada en 1965 por Raven Press, Nueva York. Una versión digitalizada del mismo está disponible en http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/abr1255.0001.001 para descarga gratuita, para uso personal no comercial. En caso de obtener más información, se puede contactar con la biblioteca. Además, el artículo de Wikipedia sobre las obras de Gauss en el año 1827 se podía mirar.
3. La condición de conservación del área (o la condición de torsión) no se puede eliminar. Si uno intenta extender tal teorema a dimensiones más altas, probablemente adivinaría que un mapa de preservación de volumen de cierto tipo debe tener puntos fijos. Esto es falso en dimensiones superiores a 3.
4. Hestenes, David (2011). "La forma de la geometría diferencial en el cálculo geométrico" (PDF) . En Dorst, L .; Lasenby, J. (eds.). Guía de álgebra geométrica en práctica . Springer Verlag. págs. 393–410.También hay disponible un pdf ^{[ enlace muerto permanente ]} de una charla científica sobre el tema.
5. Marriott, Paul; Salmon, Mark, eds. (2000). Aplicaciones de la geometría diferencial a la econometría . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-65116-5.
6. Manton, Jonathan H. (2005). "Sobre el papel de la geometría diferencial en el procesamiento de señales". Actas. (ICASSP '05). Conferencia internacional IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales, 2005 . 5 . págs. 1021–1024. doi : 10.1109 / ICASSP.2005.1416480 . ISBN 978-0-7803-8874-1. S2CID  12265584 .
7. Bullo, Francesco; Lewis, Andrew (2010). Control geométrico de sistemas mecánicos: modelado, análisis y diseño de sistemas simples de control mecánico . Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-1968-7.
8. Micheli, Mario (mayo de 2008). La geometría diferencial de los colectores de formas de referencia: métricas, geodésicas y curvatura (PDF) (Ph.D.). Archivado desde el original (PDF) el 4 de junio de 2011.
9. Joshi, Anand A. (agosto de 2008). Métodos geométricos para procesamiento de imágenes y análisis de señales (PDF) (Ph.D.).
10. Amor, David J .; Heath, Robert W., Jr. (octubre de 2003). "Formación de haces Grassmannian para sistemas inalámbricos de múltiples entradas y múltiples salidas" (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 49 (10): 2735–2747. CiteSeerX 10.1.1.106.4187 . doi : 10.1109 / TIT.2003.817466 . Archivado desde el original (PDF) en 2008-10-02.  

Lectura adicional

• Ethan D. Bloch (27 de junio de 2011). Primer Curso de Topología Geométrica y Geometría Diferencial . Boston: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509 .
• Burke, William L. (1997). Geometría diferencial aplicada . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-26929-6. OCLC  53249854 .
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-212589-5. OCLC  1529515 .
• Frankel, Theodore (2004). La geometría de la física: una introducción (2ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC  51855212 .
• Elsa Abbena; Simon Salamon; Alfred Gray (2017). Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica (3ª ed.). Boca Raton: Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-1-351-99220-6. OCLC  1048919510 .
• Kreyszig, Erwin (1991). Geometría diferencial . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66721-8. OCLC  23384584 .
• Kühnel, Wolfgang (2002). Geometría diferencial: curvas - superficies - colectores (2ª ed.). Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3988-1. OCLC  61500086 .
• McCleary, John (1994). Geometría desde un punto de vista diferenciable . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-13311-4. OCLC  915912917 .
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (5 volúmenes) (3ª ed.). Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1. OCLC  179192286 .
• ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Visión frontal y análisis de imágenes de múltiples escalas: teoría y aplicaciones de la visión por computadora de múltiples escalas, escritas en Mathematica . Dordrecht: Académico Kluwer. ISBN 978-1-4020-1507-6. OCLC  52806205 .

Enlaces externos

Geometría diferencialen los proyectos hermanos de Wikipedia

• Medios de Wikimedia Commons
• Citas de Wikiquote

• "Geometría diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• B. Conrad. Folletos de geometría diferencial, Universidad de Stanford
• Curso en línea de geometría diferencial de Michael Murray, 1996 Archivado el 1 de agosto de 2013 en la Wayback Machine.
• Un curso moderno sobre curvas y superficies, Richard S Palais, 2003 Archivado el 9 de abril de 2019 en la Wayback Machine.
• Galería de superficies 3DXM de Richard Palais Archivado el 9 de abril de 2019 en la Wayback Machine.
• Notas de Balázs Csikós sobre geometría diferencial
• NJ Hicks, Notas sobre geometría diferencial, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Geometría diferencial, otoño de 2008