En cálculo , el diferencial representa la parte principal del cambio en una función y = f ( x ) con respecto a los cambios en la variable independiente. El diferencial dy se define por
dónde es el derivado de f con respecto a x , y dx es un verdadero adicional variable de (de modo que dy es una función de x y dx ). La notación es tal que la ecuación
se sostiene, donde la derivada se representa en la notación de Leibniz dy / dx , y esto es consistente con considerar la derivada como el cociente de las diferenciales. También se escribe
El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de la aplicación y del nivel requerido de rigor matemático. El dominio de estas variables puede adquirir un significado geométrico particular si el diferencial se considera una forma diferencial particular , o un significado analítico si el diferencial se considera una aproximación lineal al incremento de una función. Tradicionalmente, las variables dx y dy se consideran muy pequeñas ( infinitesimales ), y esta interpretación se hace rigurosa en análisis no estándar .
Historia y uso
El diferencial fue introducido por primera vez a través de una definición intuitiva o heurística por Isaac Newton y desarrollado por Gottfried Leibniz , quien pensó en el diferencial dy como un cambio infinitamente pequeño (o infinitesimal ) en el valor y de la función, correspondiente a un cambio infinitamente pequeño dx en el argumento x de la función . Por esa razón, la tasa instantánea de cambio de y con respecto ax , que es el valor de la derivada de la función, se denota por la fracción
en lo que se llama la notación de Leibniz para derivadas. El cociente dy / dx no es infinitamente pequeño; más bien es un número real .
El uso de infinitesimales en esta forma fue ampliamente criticado, por ejemplo, por el famoso panfleto The Analyst del obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) definió el diferencial sin apelar al atomismo de los infinitesimales de Leibniz. [1] [2] En cambio, Cauchy, siguiendo a d'Alembert , invirtió el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: la derivada misma se convirtió en el objeto fundamental, definido como un límite de cocientes de diferencia, y las diferenciales se definieron luego en términos de eso. Es decir, uno era libre de definir el diferencial dy mediante una expresión
en el que dy y dx son simplemente nuevas variables que toman valores reales finitos, [3] no infinitesimales fijos como lo habían sido para Leibniz. [4]
Según Boyer (1959 , p. 12), el enfoque de Cauchy fue una mejora lógica significativa sobre el enfoque infinitesimal de Leibniz porque, en lugar de invocar la noción metafísica de infinitesimales, las cantidades dy y dx ahora podrían manipularse exactamente de la misma manera cualquier otra cantidad real de forma significativa. El enfoque conceptual general de Cauchy sobre los diferenciales sigue siendo el estándar en los tratamientos analíticos modernos, [5] aunque la última palabra sobre el rigor, una noción completamente moderna del límite, se debió en última instancia a Karl Weierstrass . [6]
En tratamientos físicos, como los aplicados a la teoría de la termodinámica , aún prevalece la visión infinitesimal. Courant y John (1999 , p. 184) reconcilian el uso físico de diferenciales infinitesimales con la imposibilidad matemática de ellos de la siguiente manera. Los diferenciales representan valores finitos distintos de cero que son más pequeños que el grado de precisión requerido para el propósito particular para el que están destinados. Así, los "infinitesimales físicos" no necesitan apelar a un infinitesimal matemático correspondiente para tener un sentido preciso.
Tras los desarrollos del siglo XX en el análisis matemático y la geometría diferencial , quedó claro que la noción de diferencial de una función podía extenderse de diversas formas. En el análisis real , es más deseable tratar directamente con el diferencial como la parte principal del incremento de una función. Esto conduce directamente a la noción de que el diferencial de una función en un punto es una funcional lineal de un incremento Δ x . Este enfoque permite desarrollar el diferencial (como un mapa lineal) para una variedad de espacios más sofisticados, dando lugar en última instancia a nociones como la derivada de Fréchet o Gateaux . Asimismo, en geometría diferencial , el diferencial de una función en un punto es una función lineal de un vector tangente (un "desplazamiento infinitamente pequeño"), que lo presenta como una especie de una forma: la derivada exterior de la función. En el cálculo no estándar , los diferenciales se consideran infinitesimales, que pueden colocarse sobre una base rigurosa (ver diferencial (infinitesimal) ).
Definición
El diferencial se define en los tratamientos modernos de cálculo diferencial de la siguiente manera. [7] El diferencial de una función f ( x ) de una única variable real x es la función df de dos variables reales independientes x y Δ x dada por
Se pueden suprimir uno o ambos argumentos, es decir, se puede ver df ( x ) o simplemente df . Si y = f ( x ), el diferencial también se puede escribir como dy . Dado que dx ( x , Δ x ) = Δ x , es convencional escribir dx = Δ x , de modo que se cumple la siguiente igualdad:
Esta noción de diferencial es ampliamente aplicable cuando una aproximación lineal se trató de una función, en la que el valor de la Δ incremento x es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, si f es una función diferenciable en x , entonces la diferencia en los valores de y
satisface
donde el error ε en la aproximación satisface ε / Δ x → 0 cuando Δ x → 0. En otras palabras, uno tiene la identidad aproximada
en el que el error se puede hacer tan pequeño como se desee en relación con Δ x limitando Δ x para que sea suficientemente pequeño; es decir,
como Δ x → 0. Por esta razón, el diferencial de una función se conoce como la parte principal (lineal) en el incremento de una función: el diferencial es una función lineal del incremento Δ x , y aunque el error ε puede ser no lineal, tiende a cero rápidamente mientras que Δ x tiende a cero.
Diferenciales en varias variables
Operador \ Función | ||
---|---|---|
Diferencial | 1: | 2: |
Derivada parcial | ||
Derivado total |
Siguiendo a Goursat (1904 , I, §15), para funciones de más de una variable independiente,
el diferencial parcial de y con respecto a cualquiera de las variables x 1 es la parte principal del cambio en y resultante de un cambio dx 1 en esa variable. Por tanto, el diferencial parcial es
involucrando la derivada parcial de y con respecto ax 1 . La suma de los diferenciales parciales con respecto a todas las variables independientes es el diferencial total
que es la parte principal del cambio en y resultante de cambios en las variables independientes x i .
Más precisamente, en el contexto del cálculo multivariable, siguiendo a Courant (1937b) , si f es una función diferenciable, entonces, según la definición de diferenciabilidad , el incremento
donde los términos de error ε i tienden a cero cuando los incrementos Δ x i tienden conjuntamente a cero. Luego, el diferencial total se define rigurosamente como
Dado que, con esta definición,
uno tiene
Como en el caso de una variable, la identidad aproximada se cumple
en el que el error total se puede hacer tan pequeño como se desee en relación con al limitar la atención a incrementos suficientemente pequeños.
Aplicación del diferencial total a la estimación del error
En la medición, el diferencial total se utiliza para estimar el error Δ f de una función f basándose en los errores Δ x , Δ y , ... de los parámetros x , y ,…. Suponiendo que el intervalo es lo suficientemente corto para que el cambio sea aproximadamente lineal:
- Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x
y que todas las variables son independientes, entonces para todas las variables,
Esto se debe a que la derivada f x con respecto al parámetro particular x da la sensibilidad de la función f a un cambio en x , en particular al error Δ x . Como se supone que son independientes, el análisis describe el peor de los casos. Se utilizan los valores absolutos de los errores de los componentes, porque después de un cálculo simple, la derivada puede tener un signo negativo. De este principio se derivan las reglas de error de suma, multiplicación, etc., por ejemplo:
- Sea f ( a , b ) = a × b ;
- Δ f = f a Δ a + f b Δ b ; evaluando los derivados
- Δ f = b Δ a + a Δ b ; dividiendo por f , que es a × b
- Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b
Es decir, en la multiplicación, el error relativo total es la suma de los errores relativos de los parámetros.
Para ilustrar cómo esto depende de la función considerada, considere el caso en el que la función es f ( a , b ) = a ln b . Entonces, se puede calcular que la estimación del error es
- Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )
con un factor ' ln b ' adicional que no se encuentra en el caso de un producto simple. Este factor adicional tiende a hacer que el error sea menor, ya que ln b no es tan grande como un simple b .
Diferenciales de orden superior
Los diferenciales de orden superior de una función y = f ( x ) de una sola variable x se pueden definir mediante: [8]
y en general,
De manera informal, esto motiva la notación de Leibniz para derivadas de orden superior
Cuando se permite que la propia variable independiente x dependa de otras variables, entonces la expresión se vuelve más complicada, ya que debe incluir también diferenciales de orden superior en la propia x . Así, por ejemplo,
Etcétera.
Se aplican consideraciones similares para definir diferenciales de funciones de orden superior de varias variables. Por ejemplo, si f es una función de dos variables x e y , a continuación,
dónde es un coeficiente binomial . En más variables, se cumple una expresión análoga, pero con una expansión multinomial apropiada en lugar de una expansión binomial. [9]
Los diferenciales de orden superior en varias variables también se vuelven más complicados cuando se permite que las propias variables independientes dependan de otras variables. Por ejemplo, para una función f de x y y que se permitió que dependa de variables auxiliares, uno tiene
Debido a esta infelicidad de la notación, el uso de diferenciales de orden superior fue duramente criticado por Hadamard 1935 , quien concluyó:
- Enfin, que signifie ou que représente l'égalité
- A mon avis, rien du tout.
Es decir: Finalmente, ¿qué se entiende o representa por la igualdad [...]? En mi opinión, nada en absoluto. A pesar de este escepticismo, los diferenciales de orden superior emergieron como una herramienta importante en el análisis. [10]
En estos contextos, el diferencial de n- ésimo orden de la función f aplicada a un incremento Δ x se define por
o una expresión equivalente, como
dónde es un n º diferencia hacia adelante con el incremento t Δ x .
Esta definición también tiene sentido si f es una función de varias variables (para simplificar, se toma aquí como un argumento vectorial). Entonces, el n- ésimo diferencial definido de esta manera es una función homogénea de grado n en el incremento vectorial Δ x . Además, la serie de Taylor de f en el punto x viene dada por
La derivada de Gateaux de orden superior generaliza estas consideraciones a espacios dimensionales infinitos.
Propiedades
Varias propiedades del diferencial se derivan de manera directa de las propiedades correspondientes de la derivada, la derivada parcial y la derivada total. Estos incluyen: [11]
- Linealidad : Para las constantes de un y b y diferenciables funciones f y g ,
- Regla del producto : para dos funciones diferenciables f y g ,
Una operación d con estas dos propiedades se conoce en álgebra abstracta como derivación . Implican la regla del Poder
Además, varias formas de la regla de la cadena se mantienen, en un nivel creciente de generalidad: [12]
- Si y = f ( u ) es una función diferenciable de la variable u y u = g ( x ) es una función diferenciable de x , entonces
- Si y = f ( x 1 , ..., x n ) y todas las variables x 1 , ..., x n dependen de otra variable t , entonces por la regla de la cadena para derivadas parciales , uno tiene
- Heurísticamente, la regla de la cadena para varias variables se puede entender dividiendo ambos lados de esta ecuación por la cantidad infinitamente pequeña dt .
- Se cumplen expresiones análogas más generales, en las que las variables intermedias x i dependen de más de una variable.
Formulación general
Se puede desarrollar una noción consistente de diferencial para una función f : R n → R m entre dos espacios euclidianos . Sea x , Δ x ∈ R n un par de vectores euclidianos . El incremento en la función f es
Si existe una matriz A de m × n tal que
en el que el vector ε → 0 como Δ x → 0, entonces f es por definición diferenciable en el punto x . La matriz A a veces se conoce como la matriz jacobiana , y la transformación lineal que asocia al incremento Δ x ∈ R n el vector A Δ x ∈ R m es, en esta configuración general, conocida como el diferencial df ( x ) de f en el punto x . Este es precisamente el derivado de Fréchet , y se puede hacer que la misma construcción funcione para una función entre cualquier espacio de Banach .
Otro punto de vista fructífero es definir el diferencial directamente como una especie de derivada direccional :
que es el enfoque ya adoptado para definir diferenciales de orden superior (y es más parecido a la definición establecida por Cauchy). Si t representa el tiempo y la posición x , entonces h representa una velocidad en lugar de un desplazamiento como lo hemos considerado hasta ahora. Esto produce otro refinamiento más de la noción de diferencial: que debería ser una función lineal de una velocidad cinemática. El conjunto de todas las velocidades a través de un punto dado del espacio se conoce como espacio tangente , por lo que df da una función lineal en el espacio tangente: una forma diferencial . Con esta interpretación, el diferencial de f se conoce como la derivada exterior y tiene una amplia aplicación en la geometría diferencial porque la noción de velocidades y el espacio tangente tiene sentido en cualquier variedad diferenciable . Si, además, el valor de salida de f también representa una posición (en un espacio euclidiano), entonces un análisis dimensional confirma que el valor de salida de df debe ser una velocidad. Si uno trata el diferencial de esta manera, entonces se conoce como el pushforward ya que "empuja" velocidades de un espacio fuente en velocidades en un espacio objetivo.
Otros enfoques
Aunque la noción de tener un incremento infinitesimal dx no está bien definida en el análisis matemático moderno , existe una variedad de técnicas para definir el diferencial infinitesimal de modo que el diferencial de una función pueda manejarse de una manera que no entre en conflicto con la notación de Leibniz. . Éstas incluyen:
- Definiendo el diferencial como una especie de forma diferencial , específicamente la derivada exterior de una función. Los incrementos infinitesimales luego se identifican con vectores en el espacio tangente en un punto. Este enfoque es popular en geometría diferencial y campos relacionados, porque se generaliza fácilmente a asignaciones entre variedades diferenciables .
- Diferenciales como elementos nilpotentes de anillos conmutativos . Este enfoque es popular en geometría algebraica . [13]
- Diferenciales en modelos suaves de teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que las ideas de la teoría topos se utilizan para ocultar los mecanismos mediante los cuales se introducen infinitesimales nilpotentes. [14]
- Diferenciales como infinitesimales en sistemas numéricos hiperrealistas , que son extensiones de los números reales que contienen infinitesimales invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque de análisis no estándar del que fue pionero Abraham Robinson . [15]
Ejemplos y aplicaciones
Los diferenciales pueden usarse eficazmente en el análisis numérico para estudiar la propagación de errores experimentales en un cálculo y, por lo tanto, la estabilidad numérica general de un problema ( Courant 1937a ). Suponga que la variable x representa el resultado de un experimento y que y es el resultado de un cálculo numérico aplicado ax . La pregunta es hasta qué punto los errores en la medición de x influyen en el resultado del cálculo de y . Si se conoce la x dentro de Δ x de su valor verdadero, entonces el teorema de Taylor da la siguiente estimación sobre el error Δ y en el cálculo de y :
donde ξ = x + θ Δ x para algunos 0 < θ <1 . Si Δ x es pequeño, entonces el término de segundo orden es despreciable, de modo que Δ y es, para propósitos prácticos, bien aproximado por dy = f ' ( x ) Δ x .
El diferencial suele ser útil para reescribir una ecuación diferencial
en la forma
en particular cuando se quiere separar las variables .
Notas
- ↑ Para un relato histórico detallado del diferencial, ver Boyer 1959 , especialmente la página 275 para la contribución de Cauchy sobre el tema. Un relato abreviado aparece en Kline 1972 , Capítulo 40.
- ↑ Cauchy negó explícitamente la posibilidad de cantidades infinitesimales e infinitas reales ( Boyer 1959 , págs. 273-275), y adoptó el punto de vista radicalmente diferente de que "una cantidad variable se vuelve infinitamente pequeña cuando su valor numérico disminuye indefinidamente de tal manera que converger a cero "( Cauchy 1823 , p. 12; traducción de Boyer 1959 , p. 273).
- ^ Boyer , 1959 , p. 275
- ^ Boyer , 1959 , p. 12: "Los diferenciales así definidos son sólo nuevas variables , y no infinitesimales fijos ..."
- ↑ Courant 1937a , II, §9: "Aquí observamos simplemente de pasada que es posible utilizar esta representación aproximada del incremento Δ y mediante la expresión lineal hf ( x ) para construir una definición lógicamente satisfactoria de un" diferencial ", como hizo Cauchy en particular ".
- ^ Boyer , 1959 , p. 284
- ^ Véanse, por ejemplo, los influyentes tratados de Courant 1937a , Kline 1977 , Goursat 1904 y Hardy 1905 . Las fuentes terciarias para esta definición también incluyen a Tolstov 2001 e Itô 1993 , §106.
- ^ Cauchy 1823 . Véase también, por ejemplo, Goursat 1904 , I, §14.
- ↑ Goursat 1904 , I, §14
- ↑ En particular, a la holomorfia de dimensión infinita ( Hille y Phillips 1974 ) y al análisis numérico a través del cálculo de diferencias finitas .
- ↑ Goursat 1904 , I, §17
- ^ Goursat 1904 , I, §§14,16
- ^ Eisenbud y Harris 1998 .
- ^ Ver Kock 2006 y Moerdijk & Reyes 1991 .
- ^ Ver Robinson 1996 y Keisler 1986 .
Referencias
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- Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal , archivado desde el original el 4 de mayo de 2009 , consultado el 19 de agosto de 2009.
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- Courant, Richard (1937b), Cálculo diferencial e integral. Vol. II , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons (publicado en 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559.
- Courant, Richard ; John, Fritz (1999), Introducción al cálculo y análisis Volumen 1 , Clásicos en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554
- Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), La geometría de los esquemas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
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- Robinson, Abraham (1996), análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
- Tolstov, GP (2001) [1994], "Diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
enlaces externos
- Diferencial de una función en el proyecto de demostraciones Wolfram