En matemáticas , un operador diferencial es un operador definido en función del operador de diferenciación . Es útil, primero como una cuestión de notación, considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra función (al estilo de una función de orden superior en informática ).
Este artículo considera principalmente los operadores lineales , que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarz .
Definición
Suponga que hay un mapa desde un espacio funcional a otro espacio funcional y una función así que eso es la imagen de es decir, . Un operador diferencial se representa como una combinación lineal, generada finitamente por y sus derivados que contienen mayor grado como
donde el conjunto de números enteros no negativos, , se llama índice múltiple , llamado longitud, son funciones en algún dominio abierto en el espacio n -dimensional y. La derivada anterior es una como funciones o, a veces, distribuciones o hiperfunciones y o algunas veces, .
Notaciones
El operador diferencial más común es la acción de tomar derivada . Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:
- , , y .
Al tomar, más altos n º derivadas de orden, el operador también puede ser escrito:
- , , , o .
La derivada de una función f de un argumento x a veces se da como una de las siguientes:
El uso y la creación de la notación D se le atribuye a Oliver Heaviside , quien consideró operadores diferenciales de la forma
en su estudio de ecuaciones diferenciales .
Uno de los operadores diferenciales más frecuentes es el operador laplaciano , definido por
Otro operador diferencial es el operador Θ, u operador theta , definido por [1]
Esto a veces también se denomina operador de homogeneidad , porque sus funciones propias son los monomios en z :
En n variables el operador de homogeneidad viene dado por
Como en una variable, los espacios propios de Θ son los espacios de polinomios homogéneos .
Por escrito, siguiendo una convención matemática común, el argumento de un operador diferencial generalmente se coloca en el lado derecho del propio operador. A veces se usa una notación alternativa: Se denota el resultado de aplicar el operador a la función del lado izquierdo del operador y del lado derecho del operador, y la diferencia obtenida al aplicar el operador diferencial a las funciones de ambos lados mediante flechas de la siguiente manera:
Esta notación de flechas bidireccionales se utiliza con frecuencia para describir la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica.
Del
El operador diferencial del, también llamado operador nabla , es un operador diferencial vectorial importante . Aparece con frecuencia en física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell . En coordenadas cartesianas tridimensionales , del se define:
Del define el gradiente y se utiliza para calcular la curvatura , divergencia y laplacian de varios objetos.
Adjunto de un operador
Dado un operador diferencial lineal T
el adjunto de este operador se define como el operador tal que
donde la notación se utiliza para el producto escalar o el producto interno . Por tanto, esta definición depende de la definición del producto escalar.
Adjunto formal en una variable
En el espacio funcional de funciones cuadradas integrables en un intervalo real ( a , b ) , el producto escalar se define por
donde la línea sobre f ( x ) denota el conjugado complejo de f ( x ). Si además se añade la condición de que f o g desaparece para y , también se puede definir el adjunto de T por
Esta fórmula no depende explícitamente de la definición del producto escalar. Por lo tanto, a veces se elige como una definición del operador adjunto. Cuándose define de acuerdo con esta fórmula, se llama el adjunto formales de T .
Un operador (formalmente) autoadjunto es un operador igual a su propio adjunto (formal).
Varias variables
Si Ω es un dominio en R n , y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L 2 (Ω) por dualidad de manera análoga:
para todas las funciones suaves L 2 f , g . Dado que las funciones suaves son densas en L 2 , esto define el adjunto en un subconjunto denso de L 2 : P * es un operador densamente definido .
Ejemplo
El operador Sturm-Liouville es un ejemplo bien conocido de operador formal autoadjunto. Este operador diferencial lineal de segundo orden L se puede escribir en la forma
Esta propiedad se puede probar utilizando la definición adjunta formal anterior.
Este operador es fundamental para la teoría de Sturm-Liouville, donde se consideran las funciones propias (análogas a los vectores propios ) de este operador.
Propiedades de los operadores diferenciales
La diferenciación es lineal , es decir,
donde f y g son funciones y a es una constante.
Cualquier polinomio en D con coeficientes de función también es un operador diferencial. También podemos componer operadores diferenciales por la regla
Por lo tanto, se requiere cierto cuidado: en primer lugar, cualquier coeficiente de función en el operador D 2 debe ser diferenciable tantas veces como requiera la aplicación de D 1 . Para obtener un anillo de tales operadores debemos asumir derivadas de todos los órdenes de los coeficientes utilizados. En segundo lugar, este anillo no será conmutativo : un operador gD no es lo mismo en general que Dg . De hecho tenemos por ejemplo la relación básica en mecánica cuántica :
El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, por el contrario, conmutativo. Se puede caracterizar de otra manera: consta de los operadores invariantes de traducción.
Los operadores diferenciales también obedecen al teorema de desplazamiento .
Varias variables
Se pueden realizar las mismas construcciones con derivadas parciales , diferenciando respecto a diferentes variables dando lugar a operadores que conmutan (ver simetría de segundas derivadas ).
Anillo de operadores diferenciales polinomiales
Anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados
Si R es un anillo, dejemos ser el anillo polinomial no conmutativo sobre R en la variable D y X, e I el ideal de dos lados generado por DX-XD-1, entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales univariantes sobre R es el anillo cociente. Este es un anillo simple no conmutativo . Cada elemento se puede escribir de una manera única como una combinación R-lineal de monomios de la forma. Es compatible con un análogo de la división euclidiana de polinomios .
Módulos diferenciales sobre (para la derivación estándar) se puede identificar con módulos sobre .
Anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariados
Si R es un anillo, dejemos ser el anillo polinomial no conmutativo sobre R en las variables, y yo el ideal bilateral generado por los elementos
para todos dónde es el delta de Kronecker , entonces el anillo de los operadores diferenciales polinomiales multivariados sobre R es el anillo del cociente.
Este es un anillo simple no conmutativo . Todos los elementos se pueden escribir de una manera única como una combinación R-lineal de monomios de la forma.
Descripción independiente de coordenadas
En geometría diferencial y geometría algebraica , a menudo es conveniente tener una descripción independiente de coordenadas de los operadores diferenciales entre dos conjuntos de vectores . Sean E y F dos haces de vectores sobre una variedad M diferenciable . Un mapeo lineal R de las secciones P : Γ ( E ) → Γ ( F ) se dice que es un operador diferencial lineal de k -ésimo orden si factoriza a través del haz de chorros J k ( E ). En otras palabras, existe un mapeo lineal de paquetes de vectores
tal que
donde j k : Γ ( E ) → Γ ( J k ( E )) es la prolongación que asocia a cualquier sección de E su k -jet .
Esto solo significa que para una sección s dada de E , el valor de P ( s ) en un punto x ∈ M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de k -ésimo orden de s en x . En particular, esto implica que P ( s ) ( x ) está determinado por el germen de s en x , que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que lo contrario también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.
Relación con el álgebra conmutativa
Una descripción equivalente, pero puramente algebraica, de los operadores diferenciales lineales es la siguiente: un mapa lineal R P es un operador diferencial lineal de k -ésimo orden, si para cualquier función suave k + 1 tenemos
Aquí el soporte se define como el conmutador
Esta caracterización de los operadores diferenciales lineales muestra que son mapeos particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa , lo que permite ver el concepto como parte del álgebra conmutativa .
Ejemplos de
- En aplicaciones a las ciencias físicas, operadores como el operador de Laplace juegan un papel importante en el establecimiento y resolución de ecuaciones diferenciales parciales .
- En topología diferencial, los operadores de derivada exterior y derivada de Lie tienen un significado intrínseco.
- En álgebra abstracta , el concepto de derivación permite generalizaciones de operadores diferenciales, que no requieren el uso de cálculo. Con frecuencia, estas generalizaciones se emplean en geometría algebraica y álgebra conmutativa . Véase también jet (matemáticas) .
- En el desarrollo de funciones holomórficas de una variable compleja z = x + i y , a veces se considera que una función compleja es una función de dos variables reales x e y . Se utilizan las derivadas de Wirtinger , que son operadores diferenciales parciales:
Este enfoque también se utiliza para estudiar funciones de varias variables complejas y funciones de una variable motora .
Historia
El paso conceptual de escribir un operador diferencial como algo independiente se atribuye a Louis François Antoine Arbogast en 1800. [2]
Ver también
- Operador de diferencia
- Operador delta
- Operador elíptico
- Curl (matemáticas)
- Cálculo fraccional
- Operador diferencial invariante
- Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas
- Sistema lagrangiano
- Teoría espectral
- Operador de energía
- Operador de impulso
- Operador DBAR
Referencias
- ^ EW Weisstein. "Operador Theta" . Consultado el 12 de junio de 2009 .
- ^ James Gasser (editor), A Boole Anthology: Estudios recientes y clásicos en la lógica de George Boole (2000), p. 169; Libros de Google .
enlaces externos
- Medios relacionados con los operadores diferenciales en Wikimedia Commons
- "Operador diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]