La integral es el número armónico de Euler, por lo que la fórmula anterior también se puede escribir
Una consecuencia es la siguiente generalización de la relación de recurrencia:
Una representación integral debida a Dirichlet es: [4]
La representación integral de Gauss puede manipularse para dar el inicio de la expansión asintótica de . [5]
Esta fórmula también es una consecuencia de la primera integral de Binet para la función gamma. La integral puede reconocerse como una transformada de Laplace .
La segunda integral de Binet para la función gamma da una fórmula diferente para que también da los primeros términos de la expansión asintótica: [6]
De la definición de y la representación integral de la función Gamma, se obtiene
Nota: esto también es igual a debido a la definición de la función digamma: .
Fórmula de la serie
La fórmula del producto de Euler para la función gamma, combinada con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, produce la siguiente expresión para la función digamma, válida en el plano complejo fuera de los enteros negativos (Abramowitz y Stegun 6.3.16): [1]
Equivalentemente,
Evaluación de sumas de funciones racionales
La identidad anterior se puede utilizar para evaluar sumas del formulario
donde p ( n ) y Q ( n ) son los polinomios de n .
Realizando una fracción parcial en u n en el campo complejo, en el caso de que todas las raíces de q ( n ) sean raíces simples,
Para que la serie converja,
de lo contrario, la serie será mayor que la serie armónica y, por lo tanto, divergerá. Por eso
y
Con la expansión en serie de la función poligámica de rango superior, se puede dar una fórmula generalizada como
Serie con coeficientes de Gregory, números de Cauchy y polinomios de Bernoulli del segundo tipo
Existen varias series para el digamma que contienen coeficientes racionales solo para los argumentos racionales. En particular, la serie con coeficientes de Gregory G n es
donde ψ n ( a ) son los polinomios de Bernoulli del segundo tipo definidos por la ecuación generadora
Puede generalizarse a
donde los polinomios N n, r ( a ) vienen dados por la siguiente ecuación generadora
de modo que N n, 1 ( a ) = ψ n ( a ) . [10] Expresiones similares con el logaritmo de la función gamma involucran estas fórmulas [10]
y
dónde y .
Fórmula de reflexión
La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la de la función gamma :
Fórmula y caracterización de recurrencia
La función digamma satisface la relación de recurrencia
Por lo tanto, se puede decir que "telescopio" 1 / x , ya que uno tiene
donde Δ es el operador de diferencia directa . Esto satisface la relación de recurrencia de una suma parcial de la serie armónica , lo que implica la fórmula
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .
De manera más general, uno tiene
por . Otra expansión de la serie es:
,
dónde son los números de Bernoulli. Esta serie diverge para todo z y se conoce como la serie Stirling .
De hecho, ψ es la única solución de la ecuación funcional
que es monótono en R + y satisface F (1) = - γ . Este hecho se deriva inmediatamente de la unicidad de la función Γ dada su ecuación de recurrencia y restricción de convexidad. Esto implica la útil ecuación de diferencias:
Algunas sumas finitas que involucran la función digamma
Existen numerosas fórmulas de suma finita para la función digamma. Fórmulas de suma básica, como
se deben a Gauss. [12] [13] Fórmulas más complicadas, como
se deben a obras de ciertos autores modernos (véase, por ejemplo, el Apéndice B en Blagouchine (2014) [14] ).
Teorema de digamma de Gauss
Para los números enteros positivos r y m ( r < m ), la función digamma se puede expresar en términos de la constante de Euler y un número finito de funciones elementales
que se cumple, debido a su ecuación de recurrencia, para todos los argumentos racionales.
Expansión asintótica
La función digamma tiene la expansión asintótica
donde B k es el número k- ésimo de Bernoulli y ζ es la función zeta de Riemann . Los primeros términos de esta expansión son:
Aunque la suma infinita no converge para z , cualquier suma parcial finita se vuelve cada vez más precisa a medida que aumenta z .
La expansión se puede encontrar aplicando la fórmula de Euler-Maclaurin a la suma [15]
La expansión también se puede derivar de la representación integral que proviene de la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma. En expansióncomo una serie geométrica y la sustitución de una representación integral de los números de Bernoulli conduce a la misma serie asintótica que la anterior. Además, expandir solo un número finito de términos de la serie da una fórmula con un término de error explícito:
Desigualdades
Cuando x > 0 , la función
es completamente monótono y, en particular, positivo. Esto es una consecuencia del teorema de Bernstein sobre funciones monótonas aplicado a la representación integral que proviene de la primera integral de Binet para la función gamma. Además, por la desigualdad de convexidad, el integrando en esta representación está acotado arriba por . como consecuencia
también es completamente monótono. De ello se deduce que, para todo x > 0 ,
Esto recupera un teorema de Horst Alzer. [16] Alzer también demostró que, para s ∈ (0, 1) ,
Los límites relacionados fueron obtenidos por Elezovic, Giordano y Pecaric, quienes demostraron que, para x > 0 ,
dónde es la constante de Euler-Mascheroni . [17] Las constantes que aparecen en estos límites son las mejores posibles. [18]
El teorema del valor medio implica el siguiente análogo de la desigualdad de Gautschi : si x > c , donde c ≈ 1.461 es la raíz real positiva única de la función digamma, y si s > 0 , entonces
Además, la igualdad es válida si y solo si s = 1 . [19]
Inspirados por la desigualdad armónica del valor medio para la función gamma clásica, Horzt Alzer y Graham Jameson demostraron, entre otras cosas, una desigualdad armónica del valor medio para la función digamma:
por
La igualdad es válida si y solo si . [20]
Computación y aproximación
La expansión asintótica proporciona una manera fácil de calcular ψ ( x ) cuando la parte real de x es grande. Para calcular ψ ( x ) para x pequeña , la relación de recurrencia
se puede utilizar para cambiar el valor de x a un valor más alto. Beal [21] sugiere usar la recurrencia anterior para cambiar x a un valor mayor que 6 y luego aplicar la expansión anterior con términos de corte por encima de x 14 , lo que produce "precisión más que suficiente" (al menos 12 dígitos excepto cerca de los ceros) .
Cuando x llega al infinito, ψ ( x ) se acerca arbitrariamente tanto a ln ( x - 1/2) como a ln x . Bajando de x + 1 a x , ψ disminuye por 1 / x , ln ( x - 1/2) disminuye por ln ( x + 1/2) / ( x - 1/2) , que es más de 1 / x y ln x disminuye en ln (1 + 1 / x) , que es menor que 1 / x . De esto vemos que para cualquier x positivo mayor que 1/2 ,
o, para cualquier x positivo ,
La exp exponencial ψ ( x ) es aproximadamente x - 1/2 para x grande , pero se acerca a x en x pequeña , acercándose a 0 en x = 0 .
Para x <1 , podemos calcular los límites basados en el hecho de que entre 1 y 2, ψ ( x ) ∈ [- γ , 1 - γ ] , entonces
o
De la serie asintótica anterior para ψ , se puede derivar una serie asintótica para exp (- ψ ( x )) . La serie coincide bien con el comportamiento general, es decir, se comporta asintóticamente como debería para argumentos grandes, y también tiene un cero de multiplicidad ilimitada en el origen.
Esto es similar a una expansión de Taylor de exp (- ψ (1 / y )) en y = 0 , pero no converge. [22] (La función no es analítica en el infinito.) Existe una serie similar para exp ( ψ ( x )) que comienza con
Si se calcula la serie asintótica para ψ ( x +1/2) , resulta que no hay potencias impares de x (no hay término x −1 ). Esto conduce a la siguiente expansión asintótica, que ahorra términos de cálculo de orden uniforme.
Valores especiales
La función digamma tiene valores en forma cerrada para números racionales, como resultado del teorema digamma de Gauss . Algunos se enumeran a continuación:
Además, tomando la derivada logarítmica de o dónde tiene un valor real, se puede deducir fácilmente que
Aparte del teorema digamma de Gauss, no se conoce una fórmula cerrada de este tipo para la parte real en general. Tenemos, por ejemplo, en la unidad imaginaria la aproximación numérica
Raíces de la función digamma
Las raíces de la función digamma son los puntos de silla de la función gamma de valor complejo. Por tanto, todos descansan sobre el eje real . El único en el eje real positivo es el mínimo único de la función gamma de valor real en R + en x 0 =1.461 632 144 968 362 341 26 ... . Todos los demás ocurren solo entre los polos en el eje negativo:
x 1 =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...
x 2 =-1.573 498 473 162 390 458 77 ...
x 3 =-2.610 720 868 444 144 650 00 ...
x 4 =-3.635 293 366 436 901 097 83 ...
Ya en 1881, Charles Hermite observó [23] que
se mantiene asintóticamente. Una mejor aproximación de la ubicación de las raíces viene dada por
y usando un término adicional se vuelve aún mejor
que surgen de la fórmula de reflexión a través de
y sustituyendo ψ ( x n ) por su expansión asintótica no convergente. El segundo término correcto de esta expansión es 1/2 n , donde el dado funciona bien para aproximar raíces con n pequeña .
Se puede dar otra mejora de la fórmula de Hermite: [8]
Con respecto a los ceros, las siguientes identidades de suma infinita fueron probadas recientemente por István Mez sum y Michael Hoffman [8]
En general, la función
puede ser determinado y es estudiado en detalle por los autores citados.
Los siguientes resultados [8]
también es cierto.
Aquí γ es la constante de Euler-Mascheroni .
Regularización
La función digamma aparece en la regularización de integrales divergentes
esta integral se puede aproximar mediante una serie armónica general divergente, pero el siguiente valor se puede adjuntar a la serie
Ver también
Función de poligamma
Función trigamma
Expansiones de Chebyshev de la función digamma en Wimp, Jet (1961). "Aproximaciones polinomiales a transformadas integrales" . Matemáticas. Comp . 15 (74): 174-178. doi : 10.1090 / S0025-5718-61-99221-3 .
Referencias
^ a bAbramowitz, M .; Stegun, IA, eds. (1972). "Función 6,3 psi (Digamma)". . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (10ª ed.). Nueva York: Dover. págs. 258-259.
^Weisstein, Eric W. "Función Digamma" . MathWorld .
^Pairman, Eleanor (1919). Tablas de las funciones Digamma y Trigamma . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 5.
↑ a b Whittaker y Watson, 12.3.
↑ Whittaker y Watson, 31/12.
^ Whittaker y Watson, 12.32, ejemplo.
^"NIST. Biblioteca digital de funciones matemáticas. DLMF, 5.9" .
^ a b c dMező, István; Hoffman, Michael E. (2017). "Ceros de la función digamma y su análogo de la función G de Barnes ". Transformaciones integrales y funciones especiales . 28 (11): 846–858. doi : 10.1080 / 10652469.2017.1376193 . S2CID 126115156 .
^Nörlund, NE (1924). Vorlesungen über Differenzenrechnung . Berlín: Springer.
^ a b c d e f gBlagouchine, Ia. V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones Zeta" (PDF) . INTEGERS: La revista electrónica de teoría de números combinatorios . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código bibliográfico : 2016arXiv160602044B .
^ a bBlagouchine, Ia. V. (2016). "Dos series de expansiones para el logaritmo de la función gamma que involucran números de Stirling y que contienen solo coeficientes racionales para ciertos argumentos relacionados con π −1 ". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 442 : 404–434. arXiv : 1408.3902 . Código bibliográfico : 2014arXiv1408.3902B . doi : 10.1016 / J.JMAA.2016.04.032 . S2CID 119661147 .
^ R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications , Dunod, París, 1966.
^ HM Srivastava y J. Choi. Serie asociada con Zeta y funciones relacionadas , Kluwer Academic Publishers, Países Bajos, 2001.
^Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Un teorema para la evaluación de forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas". Revista de teoría de números . 148 : 537–592. arXiv : 1401,3724 . doi : 10.1016 / j.jnt.2014.08.009 .
^Bernardo, José M. (1976). "Cálculo del algoritmo AS 103 psi (función digamma)" (PDF) . Estadísticas aplicadas . 25 : 315–317. doi : 10.2307 / 2347257 . JSTOR 2347257 .
^ H. Alzer, Sobre algunas desigualdades para las funciones gamma y psi , Math. Comp. 66 (217) (1997) 373–389.
^ N. Elezovic, C. Giordano y J. Pecaric, Los mejores límites en la desigualdad de Gautschi , Math. Desigual. Apl. 3 (2000), 239-252.
^ F. Qi y B.-N. Guo, Desigualdades agudas para la función psi y números armónicos , arXiv: 0902.2524.
^ A. Laforgia, P. Natalini, Funciones exponenciales, gamma y poligamma: pruebas simples de desigualdades clásicas y nuevas , J. Math. Anal. Apl. 407 (2013) 495–504.
^Alzer, Horst; Jameson, Graham (2017). "Una desigualdad media armónica para la función digamma y resultados relacionados" (PDF) . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 70 (201): 203-209. doi : 10.4171 / RSMUP / 137-10 . ISSN 0041-8994 . LCCN 50046633 . OCLC 01761704 . S2CID 41966777 .
^Beal, Matthew J. (2003). Algoritmos variacionales para inferencia bayesiana aproximada (PDF) (tesis doctoral). La Unidad de Neurociencia Computacional Gatsby, University College London. págs. 265-266.
^ Si convergiera a una función f ( y ) entonces ln ( f ( y ) / y ) tendría la misma serie de Maclaurin que ln (1 / y ) - φ (1 / y ) . Pero esto no converge porque la serie dada anteriormente para φ ( x ) no converge.
^Hermite, Charles (1881). "Sur l'intégrale Eulérienne de seconde espéce". Journal für die reine und angewandte Mathematik (90): 332–338.
enlaces externos
Secuencia OEIS A020759 (Expansión decimal de (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2) donde Gamma (x) denota la función Gamma) —psi (1/2)