La raíz digital (también suma digital repetida ) de un número natural en una base dada es el valor (de un solo dígito) obtenido por un proceso iterativo de suma de dígitos , en cada iteración utilizando el resultado de la iteración anterior para calcular una suma de dígitos. El proceso continúa hasta que se alcanza un número de un solo dígito.
Definicion formal
Dejar ser un número natural. Para base, definimos la suma de dígitos ser el siguiente:
dónde es el número de dígitos en el número en base , y
es el valor de cada dígito del número. Un numero naturales una raíz digital si es un punto fijo para, que ocurre si .
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para, independientemente de la base. Esto es porque si, luego
y por lo tanto
porque . Si, luego trivialmente
Por lo tanto, las únicas raíces digitales posibles son los números naturales. , y no hay más ciclos que los puntos fijos de .
Ejemplo
En base 12 , 8 es la raíz digital aditiva del número de base 10 3110, como para
Este proceso muestra que 3110 es 1972 en base 12 . Ahora para
muestra que 19 es 17 en base 12 . Y como 8 es un número de 1 dígito en base 12 ,
Fórmulas directas
Podemos definir la raíz del dígito directamente para la base de las siguientes formas:
Fórmula de congruencia
La fórmula en base es:
o,
En base 10 , la secuencia correspondiente es (secuencia A010888 en la OEIS ).
La raíz digital es el módulo de valor porque y por lo tanto así que independientemente de la posición, el valor es el mismo - - razón por la cual se pueden agregar dígitos de manera significativa. Concretamente, para un número de tres dígitos
- .
Obtener el valor modular con respecto a otros números , uno puede tomar sumas ponderadas , donde el peso en el-th dígito corresponde al valor de modulo . En base 10 , esto es más simple para 2, 5 y 10, donde los dígitos más altos desaparecen (ya que 2 y 5 dividen 10), lo que corresponde al hecho familiar de que la divisibilidad de un número decimal con respecto a 2, 5 y 10 se puede verificar con el último dígito (los números pares terminan en 0, 2, 4, 6 u 8).
También es de destacar el módulo : desde y por lo tanto tomando la suma alterna de dígitos se obtiene el valor módulo.
Usando la función de piso
Ayuda a ver la raíz digital de un entero positivo como la posición que ocupa con respecto al mayor múltiplo de menos que el número en sí. Por ejemplo, en la base 6, la raíz digital de 11 es 2, lo que significa que 11 es el segundo número después de. Asimismo, en base 10 la raíz digital de 2035 es 1, lo que significa que. Si un número produce una raíz digital de exactamente, entonces el número es un múltiplo de .
Con esto en mente, la raíz digital de un entero positivo se puede definir mediante la función de suelo , como
Propiedades
- La raíz digital de en base es la raíz digital de la suma de la raíz digital de y la raíz digital de . Esta propiedad se puede utilizar como una especie de suma de comprobación , para comprobar que una suma se ha realizado correctamente.
- La raíz digital de en base es congruente con la diferencia de la raíz digital de y la raíz digital de modulo .
- La raíz digital de en base como sigue:
- La raíz digital del producto de números de un solo dígito distintos de cero en base viene dado por el cuadrado védico en la base.
- La raíz digital de en base es la raíz digital del producto de la raíz digital de y la raíz digital de .
Persistencia aditiva
La persistencia aditiva cuenta cuántas veces debemos sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital.
Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 en base 10 es 2: primero encontramos que 2 + 7 + 1 + 8 = 18, luego que 1 + 8 = 9.
No hay límite para la persistencia aditiva de un número en una base numérica. . Prueba: para un número dado, la persistencia del número que consta de repeticiones del dígito 1 es 1 más alto que el de . Los números más pequeños de persistencia aditiva 0, 1, ... en base 10 son:
- 0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999 , ... (secuencia A006050 en la OEIS )
El siguiente número en la secuencia (el número más pequeño de persistencia aditiva 5) es 2 × 10 2 × (10 22 - 1) / 9 - 1 (es decir, 1 seguido de 22222222222222222222222 nueves). Para cualquier base fija, la suma de los dígitos de un número es proporcional a su logaritmo ; por lo tanto, la persistencia aditiva es proporcional al logaritmo iterado . [1]
Ejemplo de programación
El siguiente ejemplo implementa la suma de dígitos descrita en la definición anterior para buscar raíces digitales y persistencias aditivas en Python .
def suma_digital ( x : int , b : int ) -> int : total = 0 mientras que x > 0 : total = total + ( x % b ) x = x // b devuelve el totaldef raíz_digital ( x : int , b : int ) -> int : visto = conjunto () mientras que x no está en visto : visto . sumar ( x ) x = suma_dígitos ( x , b ) devolver xdef persistencia_aditiva ( x : int , b : int ) -> int : visto = conjunto () mientras que x no está en visto : visto . add ( x ) x = digit_sum ( x , b ) return len ( visto ) - 1
En la cultura popular
Las raíces digitales se utilizan en la numerología occidental , pero ciertos números que se considera que tienen un significado oculto (como el 11 y el 22) no siempre se reducen por completo a un solo dígito.
Las raíces digitales forman una mecánica importante en el juego de aventuras de novela visual Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors .
Ver también
Referencias
- ^ Meimaris, Antonios (2015). Sobre la persistencia aditiva de un número en base p . Preimpresión.
- Averbach, Bonnie ; Chein, Orin (27 de mayo de 1999), Solución de problemas a través de las matemáticas recreativas , Dover Books on Mathematics (ed. Reimpreso), Mineola, NY: Courier Dover Publications, págs. 125-127 , ISBN 0-486-40917-1( copia en línea , p. 125, en Google Books )
- Ghannam, Talal (4 de enero de 2011), El misterio de los números: revelado a través de su raíz digital , Publicaciones CreateSpace, págs. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, archivado desde el original el 29 de marzo de 2016 , consultado el 11 de febrero de 2016( copia en línea , p. 68, en Google Books )
- Hall, FM (1980), Introducción al álgebra abstracta , 1 (2ª ed.), Cambridge, Reino Unido: CUP Archive, p. 101, ISBN 978-0-521-29861-2( copia en línea , p. 101, en Google Books )
- O'Beirne, TH (13 de marzo de 1961), "Puzzles and Paradoxes", New Scientist , Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN 0262-4079( copia en línea , p. 53, en Google Books )
- Rouse Ball, WW ; Coxeter, HSM (6 de mayo de 2010), Recreaciones y ensayos matemáticos , Dover Recreational Mathematics (13a ed.), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2( copia en línea en Google Books )
enlaces externos
- Patrones de raíces digitales usando MS Excel
- Weisstein, Eric W. "Raíz digital" . MathWorld .