En matemáticas , la función delta de Dirac ( δ función ) es una función generalizada o distribución introducido por el físico Paul Dirac . Se llama función, aunque no es una función en el nivel que uno esperaría, es decir, no es una función R → C , sino una función en el espacio de funciones de prueba . Se utiliza para modelar la densidad de una masa puntual idealizada o carga puntual como una función igual a cero en todas partes excepto cero y cuya integral sobre toda la línea real es igual a uno.[1] [2] [3] Como no existe ninguna función que tenga estas propiedades, los cálculos realizados por los físicos teóricos les parecieron a los matemáticos una tontería hasta que Laurent Schwartz introdujo las distribucionespara formalizar y validar los cálculos. Como distribución, la función delta de Dirac es un funcional lineal que asigna cada función a su valor en cero. [4] [5] La función delta de Kronecker , que generalmente se define en un dominio discreto y toma valores 0 y 1, es un análogo discreto de la función delta de Dirac.
En ingeniería y procesamiento de señales , la función delta, también conocida como símbolo de impulso unitario , [6] puede considerarse a través de su transformada de Laplace , como proveniente de los valores límite de una función analítica compleja de una variable compleja. La convolución de una señal (teórica) con un delta de Dirac se puede considerar como una estimulación, que incluye todas las frecuencias. Esto conduce a una resonancia con la señal, haciendo que la señal teórica sea "real" (es decir, causal). Las reglas formales obedecidas por esta función son parte del cálculo operacional , un juego de herramientas estándar de física e ingeniería. En muchas aplicaciones, el delta de Dirac se considera una especie de límite (un límite débil ) de una secuencia de funciones que tiene un pico alto en el origen (en teoría de distribuciones, este es un límite verdadero). Las funciones de aproximación de la secuencia son, por tanto, funciones delta "aproximadas" o "nacientes".
La motivación y visión general La gráfica de la función delta se piensa generalmente de la siguiente manera todo el x eje x y el positivo y eje y. [7] : 174 El delta de Dirac se utiliza para modelar una función de pico alto y estrecho (un impulso ) y otras abstracciones similares , como una carga puntual , una masa puntual o un punto electrónico . Por ejemplo, para calcular la dinámica del golpe de una bola de billar , se puede aproximar la fuerza del impacto mediante una función delta. Al hacerlo, no solo se simplifican las ecuaciones, sino que también se puede calcular el movimiento de la pelota considerando solo el impulso total de la colisión sin un modelo detallado de toda la transferencia de energía elástica a niveles subatómicos (por ejemplo) .
Para ser específico, suponga que una bola de billar está en reposo. En el momentoes golpeado por otra bola, impartiéndole un impulso P , en. El intercambio de cantidad de movimiento no es realmente instantáneo, ya que está mediado por procesos elásticos a nivel molecular y subatómico, pero a efectos prácticos es conveniente considerar esa transferencia de energía como efectivamente instantánea. Por tanto, la fuerza es. (Las unidades de están .)
Para modelar esta situación de manera más rigurosa, suponga que la fuerza, en cambio, se distribuye uniformemente en un pequeño intervalo de tiempo. . Es decir,
Entonces, el impulso en cualquier momento t se encuentra por integración:
Ahora, la situación del modelo de una transferencia instantánea de impulso requiere tomar el límite como , donación
Aquí las funciones se consideran aproximaciones útiles a la idea de transferencia instantánea de cantidad de movimiento.
La función delta nos permite construir un límite idealizado de estas aproximaciones. Desafortunadamente, el límite real de las funciones (en el sentido de convergencia puntual )es cero en todas partes excepto en un solo punto, donde es infinito. Para entender correctamente la función delta, deberíamos insistir en que la propiedad
que vale para todos , debería seguir manteniéndose en el límite. Entonces, en la ecuación, se entiende que el límite siempre se toma fuera de la integral .
En matemáticas aplicadas, como hemos hecho aquí, la función delta a menudo se manipula como una especie de límite (un límite débil ) de una secuencia de funciones, cada miembro de las cuales tiene un pico alto en el origen: por ejemplo, una secuencia de Distribuciones gaussianas centradas en el origen con varianza que tiende a cero.
A pesar de su nombre, la función delta no es realmente una función, al menos no una habitual con dominio y rango en números reales . Por ejemplo, los objetos f ( x ) = δ ( x ) y g ( x ) = 0 son iguales en todas partes excepto en x = 0 pero tienen integrales que son diferentes. De acuerdo con la teoría de la integración de Lebesgue , si f y g son funciones tales que f = g casi en todas partes , entonces f es integrable si y solo si g es integrable y las integrales de f y g son idénticas. Un enfoque riguroso para considerar la función delta de Dirac como un objeto matemático por derecho propio requiere la teoría de medidas o la teoría de distribuciones .
Historia
Joseph Fourier presentó lo que ahora se llama el teorema de la integral de Fourier en su tratado Théorie analytique de la chaleur en la forma: [8]
lo que equivale a la introducción de la función δ en la forma: [9]
Más tarde, Augustin Cauchy expresó el teorema usando exponenciales: [10] [11]
Cauchy señaló que en algunas circunstancias el orden de integración en este resultado es significativo (contraste con el teorema de Fubini ). [12] [13]
Como se justifica usando la teoría de distribuciones , la ecuación de Cauchy se puede reorganizar para parecerse a la formulación original de Fourier y exponer la función δ como
donde la función δ se expresa como
Una interpretación rigurosa de la forma exponencial y las diversas limitaciones de la función f necesarias para su aplicación se extendió a lo largo de varios siglos. Los problemas con una interpretación clásica se explican a continuación: [14]
- El mayor inconveniente de la transformación de Fourier clásica es una clase bastante estrecha de funciones (originales) para las que se puede calcular de manera efectiva. Es decir, es necesario que estas funciones disminuyan lo suficientemente rápido a cero (en la vecindad del infinito) para asegurar la existencia de la integral de Fourier. Por ejemplo, la transformada de Fourier de funciones tan simples como los polinomios no existe en el sentido clásico. La extensión de la transformación clásica de Fourier a las distribuciones amplió considerablemente la clase de funciones que podían transformarse y esto eliminó muchos obstáculos.
Otros desarrollos incluyeron la generalización de la integral de Fourier, "comenzando con la revolucionaria teoría L 2 de Plancherel (1910), continuando con las obras de Wiener y Bochner (alrededor de 1930) y culminando con la fusión en la teoría de distribuciones de L. Schwartz (1945) ... ", [15] y conduce al desarrollo formal de la función delta de Dirac.
Una fórmula infinitesimal para una función delta de impulso unitario infinitesimalmente alto (versión infinitesimal de la distribución de Cauchy ) aparece explícitamente en un texto de 1827 de Augustin Louis Cauchy . [16] Siméon Denis Poisson consideró la cuestión en relación con el estudio de la propagación de ondas, al igual que Gustav Kirchhoff algo más tarde. Kirchhoff y Hermann von Helmholtz también introdujeron el impulso unitario como un límite de los gaussianos , que también correspondía a la noción de Lord Kelvin de una fuente de calor puntual. A finales del siglo XIX, Oliver Heaviside utilizó series formales de Fourier para manipular el impulso unitario. [17] La función delta de Dirac como tal fue introducida como una "notación conveniente" por Paul Dirac en su influyente libro de 1930 The Principles of Quantum Mechanics . [2] Lo llamó la "función delta" ya que la usó como un análogo continuo del delta de Kronecker discreto .
Definiciones
El delta de Dirac se puede pensar libremente como una función en la línea real que es cero en todas partes excepto en el origen, donde es infinito,
y que también está obligado a satisfacer la identidad
- [18]
Esta es simplemente una caracterización heurística . El delta de Dirac no es una función en el sentido tradicional ya que ninguna función definida en los números reales tiene estas propiedades. [2] La función delta de Dirac se puede definir rigurosamente como una distribución o como una medida .
Como medida
Una forma de capturar rigurosamente la noción de la función delta de Dirac es definir una medida , llamada medida de Dirac , que acepta un subconjunto A de la línea real R como argumento y devuelve δ ( A ) = 1 si 0 ∈ A , y δ ( A ) = 0 en caso contrario. [19] Si la función delta se conceptualiza como modelar un punto de masa idealizado a 0, entonces δ ( A ) representa la masa contenida en el conjunto A . Entonces se puede definir la integral contra δ como la integral de una función contra esta distribución de masa. Formalmente, la integral de Lebesgue proporciona el dispositivo analítico necesario. La integral de Lebesgue con respecto a la medida δ satisface
para todas las funciones continuas con soporte compacto f . La medida δ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ; de hecho, es una medida singular . En consecuencia, la medida delta no tiene derivada Radon-Nikodym (con respecto a la medida de Lebesgue) - ninguna función verdadera para la cual la propiedad
sostiene. [20] Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de la notación , y no una integral estándar ( Riemann o Lebesgue ).
Como medida de probabilidad en R , la medida delta se caracteriza por su función de distribución acumulativa , que es la función de paso unitario [21]
Esto significa que H ( x ) es la integral de la función del indicador acumulativo 1 (−∞, x ] con respecto a la medida δ ; es decir,
siendo esta última la medida de este intervalo; más formalmente, δ ((−∞, x ]) . Así, en particular, la integral de la función delta contra una función continua puede entenderse correctamente como una integral de Riemann-Stieltjes : [22]
Todos los momentos superiores de δ son cero. En particular, la función característica y la función generadora de momentos son ambas iguales a uno.
Como distribucion
En la teoría de distribuciones , una función generalizada no se considera una función en sí misma, sino sólo en relación con la forma en que afecta a otras funciones cuando se "integra" contra ellas. [23] : 41 De acuerdo con esta filosofía, para definir la función delta correctamente, es suficiente decir cuál es la "integral" de la función delta contra una función de prueba suficientemente "buena" φ . Las funciones de prueba también se conocen como funciones de respuesta . Si la función delta ya se entiende como una medida, entonces la integral de Lebesgue de una función de prueba contra esa medida proporciona la integral necesaria.
Un espacio típico de funciones de prueba consta de todas las funciones suaves en R con soporte compacto que tienen tantas derivadas como sea necesario. Como distribución, el delta de Dirac es un funcional lineal en el espacio de funciones de prueba y está definido por [24]
( 1 )
para cada función de prueba .
Para que δ sea correctamente una distribución, debe ser continua en una topología adecuada en el espacio de las funciones de prueba. En general, para que un funcional lineal S en el espacio de funciones de prueba defina una distribución, es necesario y suficiente que, para cada entero positivo N, haya un entero M N y una constante C N tal que para cada función de prueba φ , uno tiene la desigualdad [25]
Con el δ distribución, uno tiene una desigualdad tal (con C N = 1) con M N = 0 para todos los N . Por tanto, δ es una distribución de orden cero. Es, además, una distribución con soporte compacto (el soporte es {0}).
La distribución delta también se puede definir de varias formas equivalentes. Por ejemplo, es la derivada distributiva de la función escalón de Heaviside . Esto significa que, para cada función de prueba φ , uno tiene
Intuitivamente, si se permitiera la integración por partes , entonces la última integral debería simplificarse a
y de hecho, una forma de integración por partes está permitida para la integral de Stieltjes, y en ese caso uno tiene
En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a una distribución por integración. Por el contrario, la ecuación ( 1 ) define una integral de Daniell en el espacio de todas las funciones continuas con soporte compacto φ que, según el teorema de representación de Riesz , se puede representar como la integral de Lebesgue de φ con respecto a alguna medida de radón .
Generalmente, cuando se usa el término " función delta de Dirac ", es en el sentido de distribuciones en lugar de medidas, y la medida de Dirac se encuentra entre varios términos para la noción correspondiente en la teoría de medidas. Algunas fuentes también pueden utilizar el término distribución delta de Dirac .
Generalizaciones
La función delta se puede definir en el espacio euclidiano n- dimensional R n como la medida tal que
para cada función continua con soporte compacto f . Como medida, la función delta n- dimensional es la medida del producto de las funciones delta unidimensionales en cada variable por separado. Así, formalmente, con x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) , uno tiene [6]
( 2 )
La función delta también se puede definir en el sentido de distribuciones exactamente como antes en el caso unidimensional. [26] Sin embargo, a pesar de su uso generalizado en contextos de ingeniería, ( 2 ) debe manipularse con cuidado, ya que el producto de las distribuciones solo puede definirse en circunstancias bastante limitadas. [27]
La noción de una medida de Dirac tiene sentido en cualquier conjunto. [19] Por lo tanto, si X es un conjunto, x 0 ∈ X es un punto marcado y Σ es cualquier álgebra sigma de subconjuntos de X , entonces la medida definida en los conjuntos A ∈ Σ por
es la medida delta o unidad de masa concentrada en x 0 .
Otra generalización común de la función delta es a una variedad diferenciable donde la mayoría de sus propiedades como distribución también pueden explotarse debido a la estructura diferenciable . La función delta en una variedad M centrada en el punto x 0 ∈ M se define como la siguiente distribución:
( 3 )
para todas las funciones valores reales-lisas soporte compacto varphi en M . [28] Un caso especial común de esta construcción es aquel en el que M es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R n .
En un espacio X de Hausdorff localmente compacto , la medida delta de Dirac concentrada en un punto x es la medida de radón asociada con la integral de Daniell ( 3 ) en funciones continuas con soporte compacto φ . [29] En este nivel de generalidad, el cálculo como tal ya no es posible, sin embargo, se dispone de una variedad de técnicas de análisis abstracto. Por ejemplo, el mapeoes una incrustación continua de X en el espacio de medidas finitas de radón en X , equipado con su topología vaga . Por otra parte, el casco convexo de la imagen de X bajo esta incrustación es densa en el espacio de medidas de probabilidad de X . [30]
Propiedades
Escala y simetría
La función delta satisface la siguiente propiedad de escala para un escalar α distinto de cero: [31]
y entonces
( 4 )
Prueba:
En particular, la función delta es una distribución uniforme , en el sentido de que
que es homogéneo de grado -1.
Propiedades algebraicas
El producto distributivo de δ con x es igual a cero:
Por el contrario, si xf ( x ) = xg ( x ) , donde f y g son distribuciones, entonces
para alguna constante c . [32]
Traducción
La integral del delta de Dirac retardado en el tiempo es [33] : 276
En ocasiones, esto se denomina propiedad de tamizado [34] o propiedad de muestreo . [35] : 15 La función delta se dice que "tamizar" el valor a t = T . [36] : 40
De ello se deduce que el efecto de convolucionar una función f ( t ) con el delta de Dirac retardado en el tiempoes retardar f ( t ) en la misma cantidad:
Esto se mantiene bajo la condición precisa de que f sea una distribución templada (ver la discusión de la transformada de Fourier más abajo ). Como caso especial, por ejemplo, tenemos la identidad (entendida en el sentido de distribución)
Composición con función
De manera más general, la distribución delta puede estar compuesta con una función suave g ( x ) de tal manera que se cumpla la fórmula familiar de cambio de variables, que
siempre que g sea una función continuamente diferenciable con g ′ en ninguna parte cero. [37] Es decir, existe una forma única de asignar significado a la distribuciónde modo que esta identidad sea válida para todas las funciones de prueba con soporte compacto f . Por lo tanto, el dominio debe dividirse para excluir el punto g ′ = 0. Esta distribución satisface δ ( g ( x )) = 0 si g no es cero en ninguna parte, y de lo contrario, si g tiene una raíz real en x 0 , entonces
Por lo tanto, es natural definir la composición δ ( g ( x )) para funciones continuamente diferenciables g por
donde la suma se extiende sobre todas las raíces (es decir, todas las diferentes) de g ( x ), que se supone que son simples . [37] Así, por ejemplo
En la forma integral, la propiedad de escala generalizada se puede escribir como
Propiedades en n dimensiones
La distribución delta en un espacio n -dimensional satisface la siguiente propiedad de escala en su lugar,
de modo que δ es una distribución homogénea de grado - n .
Bajo cualquier reflexión o rotación ρ, la función delta es invariante,
Como en el caso de una variable, es posible definir la composición de δ con una función bi-Lipschitz [38] g : R n → R n de forma única de modo que la identidad
para todas las funciones con soporte compacto f .
Usando la fórmula de coarea de la teoría de la medida geométrica , también se puede definir la composición de la función delta con una inmersión de un espacio euclidiano a otro de diferente dimensión; el resultado es un tipo de corriente . En el caso especial de una función continuamente diferenciable g : R n → R tal que el gradiente de g no es cero en ninguna parte, se cumple la siguiente identidad [39]
donde la integral de la derecha está sobre g −1 (0), la superficie ( n - 1) -dimensional definida por g ( x ) = 0 con respecto a la medida de contenido de Minkowski . Esto se conoce como integral de capa simple .
De manera más general, si S es una hipersuperficie suave de R n , entonces podemos asociar a S la distribución que integra cualquier función suave g con soporte compacto sobre S :
donde σ es la medida hipersuperficie asociado a S . Esta generalización se asocia con la teoría del potencial de los potenciales de capa simples en S . Si D es un dominio en R n con límite uniforme S , entonces δ S es igual a la derivada normal de la función indicadora de D en el sentido de distribución,
donde n es la normal externa. [40] [41] Para una prueba, consulte, por ejemplo, el artículo sobre la función delta de superficie .
Transformada de Fourier
La función delta es una distribución templada y, por lo tanto, tiene una transformada de Fourier bien definida . Formalmente, se encuentra [42]
Hablando con propiedad, la transformada de Fourier de una distribución se define imponiendo la autoadincidencia de la transformada de Fourier bajo el emparejamiento de dualidadde distribuciones templadas con funciones de Schwartz . Por lo tanto se define como la distribución templada única que satisface
para todas las funciones de Schwartz . Y de hecho se sigue de esto que
Como resultado de esta identidad, la convolución de la función delta con cualquier otra distribución templada S es simplemente S :
Es decir que δ es un elemento de identidad para la convolución en distribuciones templadas y, de hecho, el espacio de distribuciones con soporte compacto bajo convolución es un álgebra asociativa con identidad de la función delta. Esta propiedad es fundamental en el procesamiento de señales , ya que la convolución con una distribución templada es un sistema lineal invariante en el tiempo , y la aplicación del sistema lineal invariante en el tiempo mide su respuesta al impulso . La respuesta al impulso se puede calcular con cualquier grado de precisión deseado eligiendo una aproximación adecuada para δ , y una vez que se conoce, caracteriza el sistema por completo. Consulte la teoría del sistema LTI § Respuesta de impulso y convolución .
La transformada de Fourier inversa de la distribución templada f ( ξ ) = 1 es la función delta. Formalmente, esto se expresa
y más rigurosamente, se sigue desde
para todas las funciones de Schwartz f .
En estos términos, la función delta proporciona una declaración sugestiva de la propiedad de ortogonalidad del núcleo de Fourier en R . Formalmente, uno tiene
Esto es, por supuesto, una abreviatura de la afirmación de que la transformada de Fourier de la distribución templada
es
lo que de nuevo sigue imponiendo la autoadincidencia de la transformada de Fourier.
Mediante la continuación analítica de la transformada de Fourier, se encuentra que la transformada de Laplace de la función delta es [43]
Derivados distributivos
La derivada distributiva de la distribución delta de Dirac es la distribución δ ′ definida en funciones de prueba suaves con soporte compacto φ por [44]
La primera igualdad aquí es una especie de integración por partes, porque si δ fuera una función verdadera, entonces
La k -ésima derivada de δ se define de manera similar como la distribución dada en las funciones de prueba por
En particular, δ es una distribución infinitamente diferenciable.
La primera derivada de la función delta es el límite de distribución de los cocientes de diferencia: [45]
Más propiamente, uno tiene
donde τ h es el operador de traslación, definido en funciones por τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) , y en una distribución S por
En la teoría del electromagnetismo , la primera derivada de la función delta representa un dipolo magnético puntual situado en el origen. Por consiguiente, se denomina función dipolo o doblete . [46]
La derivada de la función delta satisface una serie de propiedades básicas, que incluyen:
- [47]
La última de estas propiedades se puede demostrar fácilmente aplicando la definición de derivada distributiva, el teorema de Liebnitz y la linealidad del producto interno: [48]
Además, la convolución de δ ′ con una función suave f soportada de forma compacta es
que se sigue de las propiedades de la derivada distributiva de una convolución.
Mayores dimensiones
De manera más general, en un conjunto abierto U en el espacio euclidiano n- dimensional R n , la distribución delta de Dirac centrada en un punto a ∈ U está definida por [49]
para todos varphi ∈ S ( T ) , el espacio de todas lisa compacta funciones soportado en U . Si α = ( α 1 , ..., α n ) es cualquier índice múltiple y ∂ α denota el operador derivado parcial mixto asociado , entonces la α- ésima derivada ∂ α δ a de δ a viene dada por [49]
Es decir, la derivada α- ésima de δ a es la distribución cuyo valor en cualquier función de prueba φ es la derivada α- ésima de φ en a (con el signo positivo o negativo apropiado).
Las primeras derivadas parciales de la función delta se consideran capas dobles a lo largo de los planos de coordenadas. De manera más general, la derivada normal de una capa simple apoyada en una superficie es una capa doble apoyada en esa superficie y representa un monopolo magnético laminar. Las derivadas superiores de la función delta se conocen en física como multipolares .
Las derivadas superiores entran en las matemáticas de forma natural como los bloques de construcción para la estructura completa de distribuciones con apoyo puntual. Si S es cualquier distribución en U admitida en el conjunto { a } que consta de un solo punto, entonces hay un entero my coeficientes c α tales que [50]
Representaciones de la función delta
La función delta puede verse como el límite de una secuencia de funciones
donde η ε ( x ) a veces se denomina función delta naciente. Este límite se entiende en un sentido débil: o que
( 5 )
para todas las funciones continuas f con soporte compacto , o que este límite sea válido para todas las funciones suaves f con soporte compacto. La diferencia entre estos dos modos ligeramente diferentes de convergencia débil es a menudo sutil: el primero es la convergencia en la topología vaga de las medidas y el segundo es la convergencia en el sentido de distribuciones .
Aproximaciones a la identidad
Normalmente, una función delta naciente η ε se puede construir de la siguiente manera. Sea η una función absolutamente integrable en R de la integral total 1, y defina
En n dimensiones, se usa en su lugar la escala
Entonces, un simple cambio de variables muestra que η ε también tiene integral 1. Se puede mostrar que ( 5 ) se cumple para todas las funciones continuas con soporte compacto f , [51] y entonces η ε converge débilmente a δ en el sentido de las medidas.
Los η ε construidos de esta manera se conocen como una aproximación a la identidad . [52] Esta terminología se debe a que el espacio L 1 ( R ) de funciones absolutamente integrables se cierra bajo la operación de convolución de funciones: f ∗ g ∈ L 1 ( R ) siempre que f y g están en L 1 ( R ). Sin embargo, no hay identidad en L 1 ( R ) para el producto de convolución: ningún elemento h tal que f ∗ h = f para todo f . Sin embargo, la secuencia η ε se aproxima a tal identidad en el sentido de que
Este límite se cumple en el sentido de convergencia media (convergencia en L 1 ). Se necesitan más condiciones sobre η ε , por ejemplo, que sea un suavizador asociado a una función con soporte compacto, [53] para asegurar la convergencia puntual en casi todas partes .
Si el η = η 1 inicial es en sí mismo suave y compacto, entonces la secuencia se llama un suavizador . El suavizador estándar se obtiene eligiendo η para que sea una función de aumento adecuadamente normalizada , por ejemplo
En algunas situaciones, como el análisis numérico , es deseable una aproximación lineal por partes a la identidad. Esto se puede obtener tomando η 1 como una función de sombrero . Con esta elección de η 1 , uno tiene
que son todos continuos y con un soporte compacto, aunque no son suaves y, por lo tanto, no suavizan.
Consideraciones probabilísticas
En el contexto de la teoría de la probabilidad , es natural imponer la condición adicional de que el η 1 inicial en una aproximación a la identidad debe ser positivo, ya que dicha función representa una distribución de probabilidad . La convolución con una distribución de probabilidad es a veces favorable porque no da como resultado un sobreimpulso o subimpulso, ya que la salida es una combinación convexa de los valores de entrada y, por lo tanto, se encuentra entre el máximo y el mínimo de la función de entrada. Tomando η 1 como cualquier distribución de probabilidad, y dejando η ε ( x ) = η 1 ( x / ε ) / ε como arriba, dará lugar a una aproximación a la identidad. En general, esto converge más rápidamente a una función delta si, además, η tiene media 0 y pequeños momentos superiores. Por ejemplo, si η 1 es la distribución uniforme en [−1/2, 1/2] , también conocida como función rectangular , entonces: [54]
Otro ejemplo es con la distribución de semicírculo de Wigner
Esto es continuo y con un soporte compacto, pero no es un apaciguador porque no es suave.
Semigrupos
Las funciones delta nacientes a menudo surgen como semigrupos de convolución . [55] : 748 Esto equivale a la restricción adicional de que la convolución de η ε con η δ debe satisfacer
para todo ε , δ > 0 . Los semigrupos de convolución en L 1 que forman una función delta naciente son siempre una aproximación a la identidad en el sentido anterior, sin embargo, la condición de semigrupo es una restricción bastante fuerte.
En la práctica, los semigrupos que se aproximan a la función delta surgen como soluciones fundamentales o funciones de Green a ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas motivadas físicamente . En el contexto de las matemáticas aplicadas , los semigrupos surgen como resultado de un sistema lineal invariante en el tiempo . De manera abstracta, si A es un operador lineal que actúa sobre funciones de x , entonces surge un semigrupo de convolución al resolver el problema del valor inicial
en el que el límite se entiende como de costumbre en el sentido débil. Establecer η ε ( x ) = η ( ε , x ) da la función delta naciente asociada.
Algunos ejemplos de semigrupos de convolución físicamente importantes que surgen de una solución tan fundamental incluyen los siguientes.
- El núcleo de calor
El núcleo de calor , definido por
representa la temperatura en un alambre infinito en el tiempo t > 0, si una unidad de energía térmica se almacena en el origen del alambre en el momento t = 0. Este semigrupo evoluciona de acuerdo con la ecuación de calor unidimensional :
En la teoría de la probabilidad , η ε ( x ) es una distribución normal de varianza ε y media 0. Representa la densidad de probabilidad en el tiempo t = ε de la posición de una partícula que comienza en el origen siguiendo un movimiento browniano estándar . En este contexto, la condición de semigrupo es entonces una expresión de la propiedad de Markov del movimiento browniano.
En el espacio euclidiano de dimensiones superiores R n , el núcleo de calor es
y tiene la misma interpretación física, mutatis mutandis . También representa una función delta naciente en el sentido de que η ε → δ en el sentido de distribución como ε → 0 .
- El núcleo de Poisson
El núcleo de Poisson
es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el semiplano superior. [56] Representa el potencial electrostático en una placa semi-infinita cuyo potencial a lo largo del borde se mantiene fijo en la función delta. El Poisson núcleo también está estrechamente relacionada con la distribución de Cauchy y el kernel de Gauss Epanechnikov y funciones. [57] : 81 Este semigrupo evoluciona según la ecuación
donde el operador se define rigurosamente como el multiplicador de Fourier
Integrales oscilatorias
En áreas de la física como la propagación de ondas y la mecánica de ondas , las ecuaciones involucradas son hiperbólicas y, por lo tanto, pueden tener soluciones más singulares. Como resultado, las funciones delta nacientes que surgen como soluciones fundamentales de los problemas de Cauchy asociados son generalmente integrales oscilatorias . Un ejemplo, que proviene de una solución de la ecuación de Euler-Tricomi de la dinámica de los gases transónicos , [58] es la función de Airy reescalada
Aunque se usa la transformada de Fourier, es fácil ver que esto genera un semigrupo en algún sentido; no es absolutamente integrable y, por lo tanto, no puede definir un semigrupo en el sentido fuerte anterior. Muchas funciones delta nacientes construidas como integrales oscilatorias solo convergen en el sentido de distribuciones (un ejemplo es el núcleo de Dirichlet a continuación), más que en el sentido de medidas.
Otro ejemplo es el problema de Cauchy para la ecuación de onda en R 1 + 1 : [59]
La solución u representa el desplazamiento desde el equilibrio de una cuerda elástica infinita, con una perturbación inicial en el origen.
Otras aproximaciones a la identidad de este tipo incluyen la función sinc (ampliamente utilizada en electrónica y telecomunicaciones)
y la función de Bessel
Descomposición de ondas planas
Un enfoque para el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal
donde L es un operador diferencial en R n , es buscar primero una solución fundamental, que es una solución de la ecuación
Cuando L es particularmente simple, este problema a menudo se puede resolver usando la transformada de Fourier directamente (como en el caso del kernel de Poisson y el kernel de calor ya mencionados). Para operadores más complicados, a veces es más fácil considerar primero una ecuación de la forma
donde h es una función de onda plana , lo que significa que tiene la forma
para algún vector ξ. Tal ecuación se puede resolver (si los coeficientes de L son funciones analíticas ) por el teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (si los coeficientes de L son constantes) por cuadratura. Entonces, si la función delta se puede descomponer en ondas planas, entonces, en principio, se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales.
Tal descomposición de la función delta en ondas planas fue parte de una técnica general introducida por primera vez esencialmente por Johann Radon , y luego desarrollada de esta forma por Fritz John ( 1955 ). [60] Elija k para que n + k sea un número entero par, y para un número real s , ponga
Entonces δ se obtiene aplicando una potencia del Laplaciano a la integral con respecto a la esfera unitaria medida dω de g ( x · ξ ) para ξ en la esfera unitaria S n −1 :
El laplaciano aquí se interpreta como una derivada débil, por lo que esta ecuación se considera que significa que, para cualquier función de prueba φ ,
El resultado se deriva de la fórmula del potencial newtoniano (la solución fundamental de la ecuación de Poisson). Esta es esencialmente una forma de la fórmula de inversión para la transformada de radón , porque recupera el valor de φ ( x ) de sus integrales sobre hiperplanos. Por ejemplo, si n es impar y k = 1 , entonces la integral del lado derecho es
donde Rφ ( ξ , p ) es la transformada de radón de φ :
Una expresión equivalente alternativa de la descomposición de ondas planas, de Gelfand y Shilov (1966-1968 , I, §3.10), es
para n pares, y
por n impar.
Granos de Fourier
En el estudio de las series de Fourier , una cuestión importante consiste en determinar si y en qué sentido la serie de Fourier asociada a una función periódica converge a la función. El n º suma parcial de la serie de Fourier de una función f del período de 2 π se define por convolución (en el intervalo [-π, π] ) con el kernel Dirichlet :
Por lo tanto,
dónde
Un resultado fundamental de la serie elemental de Fourier establece que el núcleo de Dirichlet tiende a un múltiplo de la función delta cuando N → ∞ . Esto se interpreta en el sentido de distribución, que
para cada función suave con soporte compacto f . Por lo tanto, formalmente uno tiene
en el intervalo [−π, π] .
A pesar de esto, el resultado no es válido para todas las funciones continuas soportadas de forma compacta : es decir, D N no converge débilmente en el sentido de las medidas. La falta de convergencia de la serie de Fourier ha llevado a la introducción de una variedad de métodos de sumabilidad para producir convergencia. El método de suma de Cesàro conduce al núcleo de Fejér [61]
Los granos de Fejér tienden a la función delta en un sentido más fuerte que [62]
para cada función continua con soporte compacto f . La implicación es que la serie de Fourier de cualquier función continua es Cesàro sumable al valor de la función en cada punto.
Teoría del espacio de Hilbert
La distribución delta de Dirac es un funcional lineal ilimitado densamente definido en el espacio de Hilbert L 2 de funciones cuadradas integrables . De hecho, las funciones de soporte suaves y compactas son densas en L 2 , y la acción de la distribución delta en tales funciones está bien definida. En muchas aplicaciones, es posible identificar subespacios de L 2 y dar una topología más fuerte en la que la función delta define un funcional lineal acotado .
- Espacios de Sobolev
El teorema de incrustación de Sobolev para espacios de Sobolev en la línea real R implica que cualquier función f integrable al cuadrado tal que
es automáticamente continuo y satisface en particular
Por tanto, δ es un funcional lineal acotado en el espacio de Sobolev H 1 . De manera equivalente, δ es un elemento del espacio dual continuo H −1 de H 1 . Más generalmente, en n dimensiones, uno tiene δ ∈ H - s ( R n ) siempre que s > n / 2 .
Espacios de funciones holomorfas
En el análisis complejo , la función delta entra a través de la fórmula integral de Cauchy , que afirma que si D es un dominio en el plano complejo con un límite uniforme, entonces
para todas las funciones holomorfas F en D que son continuas sobre el cierre de D . Como resultado, la función delta δ z está representada en esta clase de funciones holomórficas por la integral de Cauchy:
Por otra parte, dejar H 2 (∂ D ) ser el espacio de Hardy que consiste en el cierre en L 2 (∂ D ) de todas las funciones holomorfas en D hasta continua al límite de D . Entonces, las funciones en H 2 (∂ D ) se extienden de forma única a las funciones holomórficas en D , y la fórmula integral de Cauchy sigue siendo válida. En particular para z ∈ D , la función delta δ z es un funcional lineal continuo en H 2 (∂ D ). Este es un caso especial de la situación en varias variables complejas en las que, para dominios suaves D , el núcleo de Szegő juega el papel de la integral de Cauchy. [63] : 357
Resoluciones de la identidad
Dado un conjunto completo de funciones de base ortonormal { φ n } en un espacio de Hilbert separable, por ejemplo, los vectores propios normalizados de un operador autoadjunto compacto , cualquier vector f puede expresarse como
Los coeficientes {α n } se encuentran como
que puede estar representado por la notación:
una forma de la notación bra-ket de Dirac. [64] Adoptando esta notación, la expansión de f toma la forma diádica : [65]
Dejando que denote el operador de identidad en el espacio de Hilbert, la expresión
se llama resolución de la identidad . Cuando el espacio de Hilbert es el espacio L 2 ( D ) de funciones cuadradas integrables en un dominio D , la cantidad:
es un operador integral, y la expresión de f se puede reescribir
El lado derecho converge af en el sentido L 2 . No es necesario que se mantenga en un sentido puntual, incluso cuando f es una función continua. Sin embargo, es común abusar de la notación y escribir
resultando en la representación de la función delta: [66]
Con un espacio de Hilbert aparejado adecuado (Φ, L 2 ( D ), Φ *) donde Φ ⊂ L 2 ( D ) contiene todas las funciones suaves con soporte compacto, esta suma puede converger en Φ *, dependiendo de las propiedades de la base φ n . En la mayoría de los casos de interés práctico, la base ortonormal proviene de un operador integral o diferencial, en cuyo caso la serie converge en el sentido de distribución . [67]
Infinitesimal delta functions
Cauchy used an infinitesimal α to write down a unit impulse, infinitely tall and narrow Dirac-type delta function δα satisfying in a number of articles in 1827.[68] Cauchy defined an infinitesimal in Cours d'Analyse (1827) in terms of a sequence tending to zero. Namely, such a null sequence becomes an infinitesimal in Cauchy's and Lazare Carnot's terminology.
Non-standard analysis allows one to rigorously treat infinitesimals. The article by Yamashita (2007) contains a bibliography on modern Dirac delta functions in the context of an infinitesimal-enriched continuum provided by the hyperreals. Here the Dirac delta can be given by an actual function, having the property that for every real function F one has as anticipated by Fourier and Cauchy.
Peine de Dirac
A so-called uniform "pulse train" of Dirac delta measures, which is known as a Dirac comb, or as the Shah distribution, creates a sampling function, often used in digital signal processing (DSP) and discrete time signal analysis. The Dirac comb is given as the infinite sum, whose limit is understood in the distribution sense,
which is a sequence of point masses at each of the integers.
Up to an overall normalizing constant, the Dirac comb is equal to its own Fourier transform. This is significant because if is any Schwartz function, then the periodization of is given by the convolution
In particular,
is precisely the Poisson summation formula.[69] More generally, this formula remains to be true if is a tempered distribution of rapid descent or, equivalently, if is a slowly growing, ordinary function within the space of tempered distributions.
Teorema de Sokhotski-Plemelj
The Sokhotski–Plemelj theorem, important in quantum mechanics, relates the delta function to the distribution p.v. 1/x, the Cauchy principal value of the function 1/x, defined by
Sokhotsky's formula states that[70]
Here the limit is understood in the distribution sense, that for all compactly supported smooth functions f,
Relación con el delta de Kronecker
The Kronecker delta δij is the quantity defined by
for all integers i, j. This function then satisfies the following analog of the sifting property: if is any doubly infinite sequence, then
Similarly, for any real or complex valued continuous function f on R, the Dirac delta satisfies the sifting property
This exhibits the Kronecker delta function as a discrete analog of the Dirac delta function.[71]
Aplicaciones
Probability theory
In probability theory and statistics, the Dirac delta function is often used to represent a discrete distribution, or a partially discrete, partially continuous distribution, using a probability density function (which is normally used to represent absolutely continuous distributions). For example, the probability density function f(x) of a discrete distribution consisting of points x = {x1, ..., xn}, with corresponding probabilities p1, ..., pn, can be written as
As another example, consider a distribution which 6/10 of the time returns a standard normal distribution, and 4/10 of the time returns exactly the value 3.5 (i.e. a partly continuous, partly discrete mixture distribution). The density function of this distribution can be written as
The delta function is also used to represent the resulting probability density function of a random variable that is transformed by continuous differentiable function. If Y = g(X) is a continuous differentiable function, then the density of Y can be written as
The delta function is also used in a completely different way to represent the local time of a diffusion process (like Brownian motion). The local time of a stochastic process B(t) is given by
and represents the amount of time that the process spends at the point x in the range of the process. More precisely, in one dimension this integral can be written
where 1[x−ε, x+ε] is the indicator function of the interval [x−ε, x+ε].
Quantum mechanics
The delta function is expedient in quantum mechanics. The wave function of a particle gives the probability amplitude of finding a particle within a given region of space. Wave functions are assumed to be elements of the Hilbert space L2 of square-integrable functions, and the total probability of finding a particle within a given interval is the integral of the magnitude of the wave function squared over the interval. A set {} of wave functions is orthonormal if they are normalized by
where is the Kronecker delta. A set of orthonormal wave functions is complete in the space of square-integrable functions if any wave function can be expressed as a linear combination of the {} with complex coefficients:
with . Complete orthonormal systems of wave functions appear naturally as the eigenfunctions of the Hamiltonian (of a bound system) in quantum mechanics that measures the energy levels, which are called the eigenvalues. The set of eigenvalues, in this case, is known as the spectrum of the Hamiltonian. In bra–ket notation, as above, this equality implies the resolution of the identity:
Here the eigenvalues are assumed to be discrete, but the set of eigenvalues of an observable may be continuous rather than discrete. An example is the position observable, Qψ(x) = xψ(x). The spectrum of the position (in one dimension) is the entire real line, and is called a continuous spectrum. However, unlike the Hamiltonian, the position operator lacks proper eigenfunctions. The conventional way to overcome this shortcoming is to widen the class of available functions by allowing distributions as well: that is, to replace the Hilbert space of quantum mechanics by an appropriate rigged Hilbert space.[72] In this context, the position operator has a complete set of eigen-distributions, labeled by the points y of the real line, given by
The eigenfunctions of position are denoted by in Dirac notation, and are known as position eigenstates.
Similar considerations apply to the eigenstates of the momentum operator, or indeed any other self-adjoint unbounded operator P on the Hilbert space, provided the spectrum of P is continuous and there are no degenerate eigenvalues. In that case, there is a set Ω of real numbers (the spectrum), and a collection φy of distributions indexed by the elements of Ω, such that
That is, φy are the eigenvectors of P. If the eigenvectors are normalized so that
in the distribution sense, then for any test function ψ,
where
That is, as in the discrete case, there is a resolution of the identity
where the operator-valued integral is again understood in the weak sense. If the spectrum of P has both continuous and discrete parts, then the resolution of the identity involves a summation over the discrete spectrum and an integral over the continuous spectrum.
The delta function also has many more specialized applications in quantum mechanics, such as the delta potential models for a single and double potential well.
Structural mechanics
The delta function can be used in structural mechanics to describe transient loads or point loads acting on structures. The governing equation of a simple mass–spring system excited by a sudden force impulse I at time t = 0 can be written
where m is the mass, ξ the deflection and k the spring constant.
As another example, the equation governing the static deflection of a slender beam is, according to Euler–Bernoulli theory,
where EI is the bending stiffness of the beam, w the deflection, x the spatial coordinate and q(x) the load distribution. If a beam is loaded by a point force F at x = x0, the load distribution is written
As integration of the delta function results in the Heaviside step function, it follows that the static deflection of a slender beam subject to multiple point loads is described by a set of piecewise polynomials.
Also a point moment acting on a beam can be described by delta functions. Consider two opposing point forces F at a distance d apart. They then produce a moment M = Fd acting on the beam. Now, let the distance d approach the limit zero, while M is kept constant. The load distribution, assuming a clockwise moment acting at x = 0, is written
Point moments can thus be represented by the derivative of the delta function. Integration of the beam equation again results in piecewise polynomial deflection.
Ver también
- Atom (measure theory)
- Delta potential
- Dirac measure
- Fundamental solution
- Green's function
- Laplacian of the indicator
Notas
- ^ Arfken & Weber 2000, p. 84
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enlaces externos
- Media related to Dirac distribution at Wikimedia Commons
- "Delta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- KhanAcademy.org video lesson
- The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
- Video Lectures – Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
- The Dirac delta measure is a hyperfunction
- We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
- Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.