Función delta de Dirac

En matemáticas , la función delta de Dirac ( δ función ) es una función generalizada o distribución , una función en el espacio de las funciones de prueba . Fue introducido por el físico Paul Dirac . Se llama una función, aunque no es una función R → C .

Representación esquemática de la función delta de Dirac mediante una línea coronada por una flecha. La altura de la flecha suele estar destinada a especificar el valor de cualquier constante multiplicativa, lo que dará el área bajo la función. La otra convención es escribir el área junto a la punta de la flecha.

El delta de Dirac funciona como límite como ${\displaystyle a\to 0}$(en el sentido de distribuciones ) de la secuencia de distribuciones normales centradas en cero ${\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}}$

Se utiliza para modelar la densidad de una masa puntual idealizada o carga puntual como una función igual a cero en todas partes excepto cero y cuya integral sobre toda la línea real es igual a uno. ^{[1] [2] [3]} Ninguna función tiene estas propiedades, de modo que los cálculos realizados por los físicos teóricos les parecían absurdos a los matemáticos hasta que Laurent Schwartz introdujo las distribuciones para formalizar y validar los cálculos. Como distribución, la función delta de Dirac es un funcional lineal que asigna cada función a su valor en cero. ^{[4] [5]} La función delta de Kronecker , que generalmente se define en un dominio discreto y toma valores 0 y 1, es un análogo discreto de la función delta de Dirac.

En ingeniería y procesamiento de señales , la función delta, también conocida como símbolo de impulso unitario , ^[6] puede considerarse a través de su transformada de Laplace , como proveniente de los valores límite de una función analítica compleja de una variable compleja. La convolución de una señal (teórica) con un delta de Dirac se puede considerar como una estimulación que incluye todas las frecuencias. Esto conduce a una resonancia con la señal, haciendo que la señal teórica sea "real" (es decir, causal). Las reglas formales obedecidas por esta función son parte del cálculo operacional , un juego de herramientas estándar de física e ingeniería. En muchas aplicaciones, el delta de Dirac se considera una especie de límite (un límite débil ) de una secuencia de funciones que tiene un pico alto en el origen (en teoría de distribuciones, este es un límite verdadero). Las funciones de aproximación de la secuencia son, por tanto, funciones delta "aproximadas" o "nacientes".

Motivación y visión general

El gráfico de la función delta se piensa generalmente de la siguiente manera todo el x eje x y el positivo y eje y. ^{[7] : 174} El delta de Dirac se utiliza para modelar una función de pico alto y estrecho (un impulso ) y otras abstracciones similares , como una carga puntual , una masa puntual o un punto electrónico . Por ejemplo, para calcular la dinámica del golpe de una bola de billar , se puede aproximar la fuerza del impacto mediante una función delta. Al hacerlo, no solo se simplifican las ecuaciones, sino que también se puede calcular el movimiento de la pelota considerando solo el impulso total de la colisión sin un modelo detallado de toda la transferencia de energía elástica a niveles subatómicos (por ejemplo) .

Para ser específico, suponga que una bola de billar está en reposo. En el momento${\displaystyle t=0}$es golpeado por otra bola, impartiéndole un impulso P , en${\displaystyle {\text{kg m}}/{\text{s}}}$. El intercambio de cantidad de movimiento no es realmente instantáneo, ya que está mediado por procesos elásticos a nivel molecular y subatómico, pero a efectos prácticos es conveniente considerar esa transferencia de energía como efectivamente instantánea. Por tanto, la fuerza es${\displaystyle P\delta (t)}$. (Las unidades de${\displaystyle \delta (t)}$ están ${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}}$.)

Para modelar esta situación de manera más rigurosa, suponga que la fuerza, en cambio, se distribuye uniformemente en un pequeño intervalo de tiempo. ${\displaystyle \Delta t}$. Es decir,

${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq \Delta t,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Entonces, el impulso en cualquier momento t se encuentra por integración:

${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t>\Delta t\\Pt/\Delta t&0<t\leq \Delta t\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Ahora, la situación del modelo de una transferencia instantánea de impulso requiere tomar el límite como ${\displaystyle \Delta t\to 0}$, donación

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t\leq 0.\end{cases}}}$

Aquí las funciones ${\displaystyle F_{\Delta t}}$ se consideran aproximaciones útiles a la idea de transferencia instantánea de cantidad de movimiento.

La función delta nos permite construir un límite idealizado de estas aproximaciones. Desafortunadamente, el límite real de las funciones (en el sentido de convergencia puntual )${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$es cero en todas partes excepto en un solo punto, donde es infinito. Para entender correctamente la función delta, deberíamos insistir en que la propiedad

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$

que vale para todos ${\displaystyle \Delta t>0}$, debería seguir manteniéndose en el límite. Entonces, en la ecuación${\textstyle F(t)=P\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$, se entiende que el límite siempre se toma fuera de la integral .

En matemáticas aplicadas, como hemos hecho aquí, la función delta a menudo se manipula como una especie de límite (un límite débil ) de una secuencia de funciones, cada miembro de las cuales tiene un pico alto en el origen: por ejemplo, una secuencia de Distribuciones gaussianas centradas en el origen con varianza que tiende a cero.

A pesar de su nombre, la función delta no es realmente una función, al menos no una habitual con dominio y rango en números reales . Por ejemplo, los objetos f ( x ) = δ ( x ) y g ( x ) = 0 son iguales en todas partes excepto en x = 0 pero tienen integrales que son diferentes. De acuerdo con la teoría de la integración de Lebesgue , si f y g son funciones tales que f = g casi en todas partes , entonces f es integrable si y solo si g es integrable y las integrales de f y g son idénticas. Un enfoque riguroso para considerar la función delta de Dirac como un objeto matemático por derecho propio requiere la teoría de medidas o la teoría de distribuciones .

Historia

Joseph Fourier presentó lo que ahora se llama el teorema de la integral de Fourier en su tratado Théorie analytique de la chaleur en la forma: ^[8]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$

lo que equivale a la introducción de la función δ en la forma: ^[9]

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$

Más tarde, Augustin Cauchy expresó el teorema usando exponenciales: ^{[10] [11]}

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp.}$

Cauchy señaló que en algunas circunstancias el orden de integración en este resultado es significativo (contraste con el teorema de Fubini ). ^{[12] [13]}

Como se justifica usando la teoría de distribuciones , la ecuación de Cauchy se puede reorganizar para parecerse a la formulación original de Fourier y exponer la función δ como

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\ dp\right)f(\alpha )\ d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\ d\alpha ,\end{aligned}}}$

donde la función δ se expresa como

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\ dp\ .}$

Una interpretación rigurosa de la forma exponencial y las diversas limitaciones de la función f necesarias para su aplicación se extendió a lo largo de varios siglos. Los problemas con una interpretación clásica se explican a continuación: ^[14]

El mayor inconveniente de la transformación de Fourier clásica es una clase bastante estrecha de funciones (originales) para las que se puede calcular de manera efectiva. Es decir, es necesario que estas funciones disminuyan lo suficientemente rápido a cero (en la vecindad del infinito) para asegurar la existencia de la integral de Fourier. Por ejemplo, la transformada de Fourier de funciones tan simples como los polinomios no existe en el sentido clásico. La extensión de la transformación clásica de Fourier a las distribuciones amplió considerablemente la clase de funciones que podían transformarse y esto eliminó muchos obstáculos.

Otros desarrollos incluyeron la generalización de la integral de Fourier, "comenzando con la revolucionaria teoría L ^{2 de} Plancherel (1910), continuando con las obras de Wiener y Bochner (alrededor de 1930) y culminando con la fusión en la teoría de distribuciones de L. Schwartz (1945) ... ", ^[15] y conduce al desarrollo formal de la función delta de Dirac.

Una fórmula infinitesimal para una función delta de impulso unitario infinitesimalmente alto (versión infinitesimal de la distribución de Cauchy ) aparece explícitamente en un texto de 1827 de Augustin Louis Cauchy . ^[16] Siméon Denis Poisson consideró la cuestión en relación con el estudio de la propagación de ondas, al igual que Gustav Kirchhoff algo más tarde. Kirchhoff y Hermann von Helmholtz también introdujeron el impulso unitario como un límite de los gaussianos , que también correspondía a la noción de Lord Kelvin de una fuente de calor puntual. A finales del siglo XIX, Oliver Heaviside utilizó series formales de Fourier para manipular el impulso unitario. ^[17] La función delta de Dirac como tal fue introducida como una "notación conveniente" por Paul Dirac en su influyente libro de 1930 The Principles of Quantum Mechanics . ^[2] Lo llamó la "función delta" ya que la usó como un análogo continuo del delta de Kronecker discreto .

Definiciones

El delta de Dirac se puede pensar libremente como una función en la línea real que es cero en todas partes excepto en el origen, donde es infinito,

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

y que también está obligado a satisfacer la identidad

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$^[18]

Esta es simplemente una caracterización heurística . El delta de Dirac no es una función en el sentido tradicional ya que ninguna función definida en los números reales tiene estas propiedades. ^[19] La función delta de Dirac se puede definir rigurosamente como una distribución o como una medida .

Como medida

Una forma de capturar rigurosamente la noción de la función delta de Dirac es definir una medida , llamada medida de Dirac , que acepta un subconjunto A de la línea real R como argumento y devuelve δ ( A ) = 1 si 0 ∈ A , y δ ( A ) = 0 en caso contrario. ^[20] Si la función delta se conceptualiza como modelar un punto de masa idealizado a 0, entonces δ ( A ) representa la masa contenida en el conjunto A . Entonces se puede definir la integral contra δ como la integral de una función contra esta distribución de masa. Formalmente, la integral de Lebesgue proporciona el dispositivo analítico necesario. La integral de Lebesgue con respecto a la medida δ satisface

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)}$

para todas las funciones continuas con soporte compacto f . La medida δ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ; de hecho, es una medida singular . En consecuencia, la medida delta no tiene derivada Radon-Nikodym (con respecto a la medida de Lebesgue) - ninguna función verdadera para la cual la propiedad

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)}$

sostiene. ^[21] Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de la notación , y no una integral estándar ( Riemann o Lebesgue ).

Como medida de probabilidad en R , la medida delta se caracteriza por su función de distribución acumulativa , que es la función de paso unitario . ^[22]

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

Esto significa que H ( x ) es la integral de la función del indicador acumulativo 1 _{(−∞, x ]} con respecto a la medida δ ; es decir,

${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x],}$

siendo esta última la medida de este intervalo; más formalmente, δ ((−∞, x ]) . Así, en particular, la integral de la función delta contra una función continua puede entenderse correctamente como una integral de Riemann-Stieltjes : ^[23]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$

Todos los momentos superiores de δ son cero. En particular, la función característica y la función generadora de momentos son ambas iguales a uno.

Como distribucion

En la teoría de distribuciones , una función generalizada no se considera una función en sí misma, sino sólo en relación con la forma en que afecta a otras funciones cuando se "integra" contra ellas. ^[24] De acuerdo con esta filosofía, para definir correctamente la función delta, basta con decir cuál es la "integral" de la función delta frente a una función de prueba  φ suficientemente "buena" . Las funciones de prueba también se conocen como funciones de respuesta . Si la función delta ya se entiende como una medida, entonces la integral de Lebesgue de una función de prueba contra esa medida proporciona la integral necesaria.

Un espacio típico de funciones de prueba consta de todas las funciones suaves en R con soporte compacto que tienen tantas derivadas como sea necesario. Como distribución, el delta de Dirac es un funcional lineal en el espacio de funciones de prueba y está definido por ^[25]

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

( 1 )

para cada función de prueba ${\displaystyle \varphi }$.

Para que δ sea ​​correctamente una distribución, debe ser continua en una topología adecuada en el espacio de las funciones de prueba. En general, para que un funcional lineal S en el espacio de funciones de prueba defina una distribución, es necesario y suficiente que, para cada entero positivo N, haya un entero M _N y una constante C _N tal que para cada función de prueba φ , uno tiene la desigualdad ^[26]

${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|.}$

Con el δ distribución, uno tiene una desigualdad tal (con C _N = 1) con M _N = 0 para todos los N . Por tanto, δ es una distribución de orden cero. Es, además, una distribución con soporte compacto (el soporte es {0}).

La distribución delta también se puede definir de varias formas equivalentes. Por ejemplo, es la derivada distributiva de la función escalón de Heaviside . Esto significa que, para cada función de prueba φ , uno tiene

${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx.}$

Intuitivamente, si se permitiera la integración por partes , entonces la última integral debería simplificarse a

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,dx,}$

y de hecho, una forma de integración por partes está permitida para la integral de Stieltjes, y en ese caso uno tiene

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$

En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a una distribución por integración. Por el contrario, la ecuación ( 1 ) define una integral de Daniell en el espacio de todas las funciones continuas con soporte compacto φ que, según el teorema de representación de Riesz , se puede representar como la integral de Lebesgue de φ con respecto a alguna medida de radón .

Generalmente, cuando se usa el término " función delta de Dirac ", es en el sentido de distribuciones en lugar de medidas, y la medida de Dirac se encuentra entre varios términos para la noción correspondiente en la teoría de medidas. Algunas fuentes también pueden utilizar el término distribución delta de Dirac .

Generalizaciones

La función delta se puede definir en el espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ como la medida tal que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} )}$

para cada función continua con soporte compacto f . Como medida, la función delta n- dimensional es la medida del producto de las funciones delta unidimensionales en cada variable por separado. Así, formalmente, con x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , uno tiene ^[6]

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

( 2 )

La función delta también se puede definir en el sentido de distribuciones exactamente como antes en el caso unidimensional. ^[27] Sin embargo, a pesar de su uso generalizado en contextos de ingeniería, ( 2 ) debe manipularse con cuidado, ya que el producto de las distribuciones solo puede definirse en circunstancias bastante limitadas. ^{[28] [29]}

La noción de una medida de Dirac tiene sentido en cualquier conjunto. ^[30] Por lo tanto, si X es un conjunto, x ₀ ∈ X es un punto marcado y Σ es cualquier álgebra sigma de subconjuntos de X , entonces la medida definida en los conjuntos A ∈ Σ por

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$

es la medida delta o unidad de masa concentrada en x ₀ .

Otra generalización común de la función delta es a una variedad diferenciable donde la mayoría de sus propiedades como distribución también pueden explotarse debido a la estructura diferenciable . La función delta en una variedad M centrada en el punto x ₀ ∈ M se define como la siguiente distribución:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

( 3 )

para todas las funciones valores reales-lisas soporte compacto varphi en M . ^[31] Un caso especial común de esta construcción es aquel en el que M es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ .

En un espacio X de Hausdorff localmente compacto , la medida delta de Dirac concentrada en un punto x es la medida de radón asociada con la integral de Daniell ( 3 ) en funciones continuas con soporte compacto φ . ^[32] En este nivel de generalidad, el cálculo como tal ya no es posible, sin embargo, se encuentran disponibles una variedad de técnicas de análisis abstracto. Por ejemplo, el mapeo${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$es una incrustación continua de X en el espacio de medidas finitas de radón en X , equipado con su topología vaga . Por otra parte, el casco convexo de la imagen de X bajo esta incrustación es densa en el espacio de medidas de probabilidad de X . ^[33]

Propiedades

Escala y simetría

La función delta satisface la siguiente propiedad de escala para un escalar α distinto de cero: ^[34]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$

y entonces

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

( 4 )

Prueba:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (\alpha x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{|a|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/a)^{2}}\qquad {\text{since }}a{\text{ is a dummy variable, we set }}a=\alpha b\\&=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|\alpha b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/(\alpha b))^{2}}\\&=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|\alpha |}}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)\end{aligned}}}$$

En particular, la función delta es una distribución uniforme , en el sentido de que

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$

que es homogéneo de grado -1.

Propiedades algebraicas

El producto distributivo de δ con x es igual a cero:

${\displaystyle x\delta (x)=0.}$

Por el contrario, si xf ( x ) = xg ( x ) , donde f y g son distribuciones, entonces

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$

para alguna constante c . ^[35]

Traducción

La integral del delta de Dirac retardado en el tiempo es ^[36]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,dt=f(T).}$

En ocasiones, esto se denomina propiedad de tamizado ^[37] o propiedad de muestreo . ^[38] La función delta se dice que es "tamizar" el valor a t = T . ^[39]

De ello se deduce que el efecto de convolucionar una función f ( t ) con el delta de Dirac retardado en el tiempo${\displaystyle \delta _{T}(t)=\delta (t-T)}$es retardar f ( t ) en la misma cantidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$

Esto se mantiene bajo la condición precisa de que f sea ​​una distribución templada (ver la discusión de la transformada de Fourier más abajo ). Como caso especial, por ejemplo, tenemos la identidad (entendida en el sentido de distribución)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$

Composición con función

De manera más general, la distribución delta puede estar compuesta con una función suave g ( x ) de tal manera que se cumpla la fórmula familiar de cambio de variables, que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,du}$

siempre que g sea ​​una función continuamente diferenciable con g ′ en ninguna parte cero. ^[40] Es decir, existe una forma única de asignar significado a la distribución${\displaystyle \delta \circ g}$de modo que esta identidad sea válida para todas las funciones de prueba con soporte compacto f . Por lo tanto, el dominio debe dividirse para excluir el punto g ′ = 0. Esta distribución satisface δ ( g ( x )) = 0 si g no es cero en ninguna parte, y de lo contrario, si g tiene una raíz real en x ₀ , entonces

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

Por lo tanto, es natural definir la composición δ ( g ( x )) para funciones continuamente diferenciables g por

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

donde la suma se extiende sobre todas las raíces (es decir, todas las diferentes) de g ( x ), que se supone que son simples . Así, por ejemplo

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$

En la forma integral, la propiedad de escala generalizada se puede escribir como

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$

Propiedades en n dimensiones

La distribución delta en un espacio n -dimensional satisface la siguiente propiedad de escala en su lugar,

${\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,}$

de modo que δ es una distribución homogénea de grado - n .

Bajo cualquier reflexión o rotación ρ, la función delta es invariante,

${\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.}$

Como en el caso de una variable, es posible definir la composición de δ con una función bi-Lipschitz Es posible un mayor refinamiento, es decir, a las inmersiones , aunque estas requieren una fórmula de cambio de variables más complicada. g : R ⁿ → R ^{n de} forma única de modo que la identidad

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u} }$

para todas las funciones con soporte compacto f .

Usando la fórmula de coarea de la teoría de la medida geométrica , también se puede definir la composición de la función delta con una inmersión de un espacio euclidiano a otro de diferente dimensión; el resultado es un tipo de corriente . En el caso especial de una función continuamente diferenciable g : R ⁿ → R tal que el gradiente de g no es cero en ninguna parte, se cumple la siguiente identidad ^[41]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )}$

donde la integral de la derecha está sobre g ⁻¹ (0), la superficie ( n - 1) -dimensional definida por g ( x ) = 0 con respecto a la medida de contenido de Minkowski . Esto se conoce como integral de capa simple .

De manera más general, si S es una hipersuperficie suave de R ⁿ , entonces podemos asociar a S la distribución que integra cualquier función suave g con soporte compacto sobre S :

${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )}$

donde σ es la medida hipersuperficie asociado a S . Esta generalización se asocia con la teoría del potencial de los potenciales de capa simples en S . Si D es un dominio en R ⁿ con límite uniforme S , entonces δ _S es igual a la derivada normal de la función indicadora de D en el sentido de distribución,

${\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;d\sigma (\mathbf {s} ),}$

donde n es la normal externa. ^{[42] [43]} Para una prueba, consulte, por ejemplo, el artículo sobre la función delta de superficie .

Transformada de Fourier

La función delta es una distribución templada y, por lo tanto, tiene una transformada de Fourier bien definida . Formalmente, se encuentra ^[44]

${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1.}$

Hablando con propiedad, la transformada de Fourier de una distribución se define imponiendo la autoadincidencia de la transformada de Fourier bajo el emparejamiento de dualidad${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$de distribuciones templadas con funciones de Schwartz . Por lo tanto${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$ se define como la distribución templada única que satisface

${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$

para todas las funciones de Schwartz ${\displaystyle \varphi }$. Y de hecho se sigue de esto que${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

Como resultado de esta identidad, la convolución de la función delta con cualquier otra distribución templada S es simplemente S :

${\displaystyle S*\delta =S.}$

Es decir que δ es un elemento de identidad para la convolución en distribuciones templadas y, de hecho, el espacio de distribuciones con soporte compacto bajo convolución es un álgebra asociativa con identidad de la función delta. Esta propiedad es fundamental en el procesamiento de señales , ya que la convolución con una distribución templada es un sistema lineal invariante en el tiempo , y la aplicación del sistema lineal invariante en el tiempo mide su respuesta al impulso . La respuesta al impulso se puede calcular con cualquier grado de precisión deseado eligiendo una aproximación adecuada para δ , y una vez que se conoce, caracteriza el sistema por completo. Consulte la teoría del sistema LTI § Respuesta de impulso y convolución .

La transformada de Fourier inversa de la distribución templada f ( ξ ) = 1 es la función delta. Formalmente, esto se expresa

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$

y más rigurosamente, se sigue desde

${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$

para todas las funciones de Schwartz f .

En estos términos, la función delta proporciona una declaración sugestiva de la propiedad de ortogonalidad del núcleo de Fourier en R . Formalmente, uno tiene

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$

Esto es, por supuesto, una abreviatura de la afirmación de que la transformada de Fourier de la distribución templada

${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$

es

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$

lo que de nuevo sigue imponiendo la autoadincidencia de la transformada de Fourier.

Mediante la continuación analítica de la transformada de Fourier, se encuentra que la transformada de Laplace de la función delta es ^[45]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$

Derivados distributivos

La derivada distributiva de la distribución delta de Dirac es la distribución δ ′ definida en funciones de prueba suave con soporte compacto φ por ^[46]

${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$

La primera igualdad aquí es una especie de integración por partes, porque si δ fuera una función verdadera, entonces

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.}$

La k -ésima derivada de δ se define de manera similar como la distribución dada en las funciones de prueba por

${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$

En particular, δ es una distribución infinitamente diferenciable.

La primera derivada de la función delta es el límite de distribución de los cocientes de diferencia: ^[47]

${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$

Más propiamente, uno tiene

${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$

donde τ _h es el operador de traslación, definido en funciones por τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) , y en una distribución S por

${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$

En la teoría del electromagnetismo , la primera derivada de la función delta representa un dipolo magnético puntual situado en el origen. Por consiguiente, se denomina función dipolo o doblete . ^[48]

La derivada de la función delta satisface una serie de propiedades básicas, que incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}$^[49]

La última de estas propiedades se puede demostrar fácilmente aplicando la definición de la derivada distributiva, el teorema de Liebnitz y la linealidad del producto interno: ^[50]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

Además, la convolución de δ ′ con una función suave f soportada de forma compacta es

${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$

que se sigue de las propiedades de la derivada distributiva de una convolución.

Mayores dimensiones

De manera más general, en un conjunto abierto U en el espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ , la distribución delta de Dirac centrada en un punto a ∈ U está definida por ^[51]

${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$

para todos varphi ∈ S ( T ) , el espacio de todas lisa compacta funciones soportado en U . Si α = ( α ₁ , ..., α _n ) es cualquier índice múltiple y ∂ ^α denota el operador derivado parcial mixto asociado , entonces la α- ésima derivada ∂ ^α δ _a de δ _a viene dada por ^[51]

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}{\text{ for all }}\varphi \in S(U).}$

Es decir, la derivada α- ésima de δ _a es la distribución cuyo valor en cualquier función de prueba φ es la derivada α- ésima de φ en a (con el signo positivo o negativo apropiado).

Las primeras derivadas parciales de la función delta se consideran capas dobles a lo largo de los planos de coordenadas. De manera más general, la derivada normal de una capa simple apoyada en una superficie es una capa doble apoyada en esa superficie y representa un monopolo magnético laminar. Las derivadas superiores de la función delta se conocen en física como multipolares .

Las derivadas superiores entran en las matemáticas de forma natural como los bloques de construcción para la estructura completa de distribuciones con apoyo puntual. Si S es cualquier distribución en U admitida en el conjunto { a } que consta de un solo punto, entonces hay un entero my coeficientes c _α tales que ^{[51] [52]}

${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$

Representaciones de la función delta

La función delta puede verse como el límite de una secuencia de funciones

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$

donde η _ε ( x ) a veces se denomina función delta naciente. Este límite se entiende en un sentido débil: o que

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)}$

( 5 )

para todas las funciones continuas f con soporte compacto , o que este límite sea válido para todas las funciones suaves f con soporte compacto. La diferencia entre estos dos modos ligeramente diferentes de convergencia débil es a menudo sutil: el primero es la convergencia en la topología vaga de las medidas y el segundo es la convergencia en el sentido de distribuciones .

Aproximaciones a la identidad

Normalmente, una función delta naciente η _ε se puede construir de la siguiente manera. Sea η una función absolutamente integrable en R de la integral total 1, y defina

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

En n dimensiones, se usa en su lugar la escala

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

Entonces, un simple cambio de variables muestra que η _ε también tiene integral 1. Se puede mostrar que ( 5 ) se cumple para todas las funciones continuas con soporte compacto f , ^[53] y entonces η _ε converge débilmente a δ en el sentido de las medidas.

Los η _ε construidos de esta manera se conocen como una aproximación a la identidad . ^[54] Esta terminología se debe a que el espacio L ¹ ( R ) de funciones absolutamente integrables se cierra bajo la operación de convolución de funciones: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) siempre que f y g están en L ¹ ( R ). Sin embargo, no hay identidad en L ¹ ( R ) para el producto de convolución: ningún elemento h tal que f ∗ h = f para todo f . Sin embargo, la secuencia η _ε se aproxima a tal identidad en el sentido de que

${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$

Este límite se cumple en el sentido de convergencia media (convergencia en L ¹ ). Se necesitan más condiciones sobre η _ε , por ejemplo, que sea un suavizador asociado a una función con soporte compacto, ^[55] para asegurar la convergencia puntual en casi todas partes .

Si el η = η ₁ inicial es en sí mismo suave y compacto, entonces la secuencia se llama un suavizador . El suavizador estándar se obtiene eligiendo η para que sea una función de aumento adecuadamente normalizada , por ejemplo

${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$

En algunas situaciones, como el análisis numérico , es deseable una aproximación lineal por partes a la identidad. Esto se puede obtener tomando η ₁ como una función de sombrero . Con esta elección de η ₁ , uno tiene

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$

que son todos continuos y con un soporte compacto, aunque no son suaves y, por lo tanto, no son suavizantes.

Consideraciones probabilísticas

En el contexto de la teoría de la probabilidad , es natural imponer la condición adicional de que el η ₁ inicial en una aproximación a la identidad debe ser positivo, ya que dicha función representa una distribución de probabilidad . La convolución con una distribución de probabilidad es a veces favorable porque no da como resultado un sobreimpulso o subimpulso, ya que la salida es una combinación convexa de los valores de entrada y, por lo tanto, se encuentra entre el máximo y el mínimo de la función de entrada. Tomando η ₁ como cualquier distribución de probabilidad, y dejando η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε ) / ε como arriba, dará lugar a una aproximación a la identidad. En general, esto converge más rápidamente a una función delta si, además, η tiene media 0 y pequeños momentos superiores. Por ejemplo, si η ₁ es la distribución uniforme en [−1/2, 1/2] , también conocida como función rectangular , entonces: ^[56]

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Otro ejemplo es con la distribución de semicírculo de Wigner

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Esto es continuo y con un soporte compacto, pero no es un apaciguador porque no es suave.

Semigrupos

Las funciones delta nacientes a menudo surgen como semigrupos de convolución . ^[57] Esto equivale a la restricción adicional de que la convolución de η _ε con η _δ debe satisfacer

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$

para todo ε , δ > 0 . Los semigrupos de convolución en L ¹ que forman una función delta naciente son siempre una aproximación a la identidad en el sentido anterior, sin embargo, la condición de semigrupo es una restricción bastante fuerte.

En la práctica, los semigrupos que se aproximan a la función delta surgen como soluciones fundamentales o funciones de Green a ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas motivadas físicamente . En el contexto de las matemáticas aplicadas , los semigrupos surgen como resultado de un sistema lineal invariante en el tiempo . De manera abstracta, si A es un operador lineal que actúa sobre funciones de x , entonces surge un semigrupo de convolución al resolver el problema del valor inicial

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$

en el que el límite se entiende como de costumbre en el sentido débil. Establecer η _ε ( x ) = η ( ε , x ) da la función delta naciente asociada.

Algunos ejemplos de semigrupos de convolución físicamente importantes que surgen de una solución tan fundamental incluyen los siguientes.

El núcleo de calor

El núcleo de calor , definido por

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$

representa la temperatura en un alambre infinito en el tiempo t > 0, si una unidad de energía térmica se almacena en el origen del alambre en el momento t = 0. Este semigrupo evoluciona de acuerdo con la ecuación de calor unidimensional :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

En la teoría de la probabilidad , η _ε ( x ) es una distribución normal de varianza ε y media 0. Representa la densidad de probabilidad en el tiempo t = ε de la posición de una partícula que comienza en el origen siguiendo un movimiento browniano estándar . En este contexto, la condición de semigrupo es entonces una expresión de la propiedad de Markov del movimiento browniano.

En el espacio euclidiano de dimensiones superiores R ⁿ , el núcleo de calor es

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$

y tiene la misma interpretación física, mutatis mutandis . También representa una función delta naciente en el sentido de que η _ε → δ en el sentido de distribución como ε → 0 .

El núcleo de Poisson

El núcleo de Poisson

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\;d\xi }$

es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el semiplano superior. ^[58] Representa el potencial electrostático en una placa semi-infinita cuyo potencial a lo largo del borde se mantiene fijo en la función delta. El Poisson núcleo también está estrechamente relacionada con la distribución de Cauchy y el kernel de Gauss Epanechnikov y funciones. ^[59] Este semigrupo evoluciona según la ecuación

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$

donde el operador se define rigurosamente como el multiplicador de Fourier

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$

Integrales oscilatorias

En áreas de la física como la propagación de ondas y la mecánica de ondas , las ecuaciones involucradas son hiperbólicas y, por lo tanto, pueden tener soluciones más singulares. Como resultado, las funciones delta nacientes que surgen como soluciones fundamentales de los problemas de Cauchy asociados son generalmente integrales oscilatorias . Un ejemplo, que proviene de una solución de la ecuación de Euler-Tricomi de la dinámica de los gases transónicos , ^[60] es la función de Airy reescalada

${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$

Aunque se usa la transformada de Fourier, es fácil ver que esto genera un semigrupo en algún sentido; no es absolutamente integrable y, por lo tanto, no puede definir un semigrupo en el sentido fuerte anterior. Muchas funciones delta nacientes construidas como integrales oscilatorias solo convergen en el sentido de distribuciones (un ejemplo es el núcleo de Dirichlet a continuación), más que en el sentido de medidas.

Otro ejemplo es el problema de Cauchy para la ecuación de onda en R ^{1 + 1} : ^[61]

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$

La solución u representa el desplazamiento desde el equilibrio de una cuerda elástica infinita, con una perturbación inicial en el origen.

Otras aproximaciones a la identidad de este tipo incluyen la función sinc (ampliamente utilizada en electrónica y telecomunicaciones)

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\;dk}$

y la función de Bessel

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$

Descomposición de ondas planas

Un enfoque para el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal

${\displaystyle L[u]=f,}$

donde L es un operador diferencial en R ⁿ , es buscar primero una solución fundamental, que es una solución de la ecuación

${\displaystyle L[u]=\delta .}$

Cuando L es particularmente simple, este problema a menudo se puede resolver usando la transformada de Fourier directamente (como en el caso del kernel de Poisson y el kernel de calor ya mencionados). Para operadores más complicados, a veces es más fácil considerar primero una ecuación de la forma

${\displaystyle L[u]=h}$

donde h es una función de onda plana , lo que significa que tiene la forma

${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$

para algún vector ξ. Tal ecuación se puede resolver (si los coeficientes de L son funciones analíticas ) por el teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (si los coeficientes de L son constantes) por cuadratura. Entonces, si la función delta se puede descomponer en ondas planas, entonces, en principio, se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales.

Tal descomposición de la función delta en ondas planas fue parte de una técnica general introducida por primera vez esencialmente por Johann Radon , y luego desarrollada de esta forma por Fritz John ( 1955 ). ^[62] Elija k para que n + k sea ​​un número entero par, y para un número real s , ponga

${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$

Entonces δ se obtiene aplicando una potencia del Laplaciano a la integral con respecto a la esfera unitaria medida dω de g ( x · ξ ) para ξ en la esfera unitaria S ^{n −1} :

${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

El laplaciano aquí se interpreta como una derivada débil, por lo que esta ecuación se considera que significa que, para cualquier función de prueba  φ ,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

El resultado se deriva de la fórmula del potencial newtoniano (la solución fundamental de la ecuación de Poisson). Esta es esencialmente una forma de la fórmula de inversión para la transformada de radón , porque recupera el valor de φ ( x ) de sus integrales sobre hiperplanos. Por ejemplo, si n es impar y k = 1 , entonces la integral del lado derecho es

${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]={}&c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$

donde Rφ ( ξ , p ) es la transformada de radón de φ :

${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$

Una expresión equivalente alternativa de la descomposición de ondas planas, de Gelfand y Shilov (1966-1968 , I, §3.10), es

${\displaystyle \delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }}$

para n pares, y

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}$

por n impar.

Granos de Fourier

En el estudio de las series de Fourier , una cuestión importante consiste en determinar si y en qué sentido la serie de Fourier asociada a una función periódica converge a la función. El n º suma parcial de la serie de Fourier de una función f del período de 2 π se define por convolución (en el intervalo [-π, π] ) con el kernel Dirichlet :

${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

dónde

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$

Un resultado fundamental de la serie elemental de Fourier establece que el núcleo de Dirichlet tiende a un múltiplo de la función delta cuando N → ∞ . Esto se interpreta en el sentido de distribución, que

${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

para cada función suave con soporte compacto f . Por lo tanto, formalmente uno tiene

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$

en el intervalo  [−π, π] .

A pesar de esto, el resultado no es válido para todas las funciones continuas soportadas de forma compacta : es decir, D _N no converge débilmente en el sentido de las medidas. La falta de convergencia de la serie de Fourier ha llevado a la introducción de una variedad de métodos de sumabilidad para producir convergencia. El método de suma de Cesàro conduce al núcleo de Fejér ^[63]

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$

Los núcleos de Fejér tienden a la función delta en un sentido más fuerte que ^[64]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

para cada función continua con soporte compacto f . La implicación es que la serie de Fourier de cualquier función continua es Cesàro sumable al valor de la función en cada punto.

Teoría del espacio de Hilbert

La distribución delta de Dirac es un funcional lineal ilimitado densamente definido en el espacio de Hilbert L 2 de funciones cuadradas integrables . De hecho, las funciones suaves con soporte compacto son densas en L ² , y la acción de la distribución delta en tales funciones está bien definida. En muchas aplicaciones, es posible identificar subespacios de L ² y dar una topología más fuerte en la que la función delta define un funcional lineal acotado .

Espacios de Sobolev

El teorema de incrustación de Sobolev para espacios de Sobolev en la línea real R implica que cualquier función f integrable al cuadrado tal que

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$

es automáticamente continuo y satisface en particular

${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$

Por tanto, δ es un funcional lineal acotado en el espacio de Sobolev H ¹ . De manera equivalente, δ es un elemento del espacio dual continuo H ⁻¹ de H ¹ . Más generalmente, en n dimensiones, uno tiene δ ∈ H ^{- s} ( R ⁿ ) siempre que  s > n  / 2 .

Espacios de funciones holomorfas

En el análisis complejo , la función delta entra a través de la fórmula integral de Cauchy , que afirma que si D es un dominio en el plano complejo con un límite uniforme, entonces

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$

para todas las funciones holomorfas F en D que son continuas sobre el cierre de D . Como resultado, la función delta δ _z está representada en esta clase de funciones holomórficas por la integral de Cauchy:

${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$

Por otra parte, dejar H ² (∂ D ) ser el espacio de Hardy que consiste en el cierre en L 2 (∂ D ) de todas las funciones holomorfas en D hasta continua al límite de D . Entonces, las funciones en H ² (∂ D ) se extienden de forma única a las funciones holomórficas en D , y la fórmula integral de Cauchy sigue siendo válida. En particular para z ∈ D , la función delta δ _z es un funcional lineal continuo en H ² (∂ D ). Este es un caso especial de la situación en varias variables complejas en las que, para dominios suaves D , el núcleo de Szegő juega el papel de la integral de Cauchy. ^{[sesenta y cinco]}

Resoluciones de la identidad

Dado un conjunto completo de funciones de base ortonormal { φ _n } en un espacio de Hilbert separable, por ejemplo, los vectores propios normalizados de un operador autoadjunto compacto , cualquier vector f puede expresarse como

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$

Los coeficientes {α _n } se encuentran como

${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$

que puede estar representado por la notación:

${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$

una forma de la notación bra-ket de Dirac. ^[66] Adoptando esta notación, la expansión de f toma la forma diádica : ^[67]

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$

Dejando que denote el operador de identidad en el espacio de Hilbert, la expresión

${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$

se llama resolución de la identidad . Cuando el espacio de Hilbert es el espacio L ² ( D ) de funciones cuadradas integrables en un dominio D , la cantidad:

${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$

es un operador integral, y la expresión de f se puede reescribir

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$

El lado derecho converge af en el sentido L ² . No es necesario que se mantenga en un sentido puntual, incluso cuando f es una función continua. Sin embargo, es común abusar de la notación y escribir

${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$

resultando en la representación de la función delta: ^[68]

${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$

Con un espacio de Hilbert aparejado adecuado (Φ, L ² ( D ), Φ *) donde Φ ⊂ L ² ( D ) contiene todas las funciones suaves con soporte compacto, esta suma puede converger en Φ *, dependiendo de las propiedades de la base φ _n . En la mayoría de los casos de interés práctico, la base ortonormal proviene de un operador integral o diferencial, en cuyo caso la serie converge en el sentido de distribución . ^[69]

Funciones delta infinitesimales

Cauchy usó un α infinitesimal para escribir un impulso unitario, función delta de tipo Dirac infinitamente alta y estrecha δ _α satisfactoria${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$en varios artículos de 1827. ^[70] Cauchy definió un infinitesimal en Cours d'Analyse (1827) en términos de una secuencia que tiende a cero. Es decir, tal secuencia nula se convierte en infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot .

El análisis no estándar permite tratar rigurosamente a los infinitesimales. El artículo de Yamashita (2007) contiene una bibliografía sobre las funciones delta modernas de Dirac en el contexto de un continuo enriquecido en infinitesimales proporcionado por los hiperreal . Aquí el delta de Dirac puede estar dado por una función real, que tiene la propiedad de que para cada función real F se tiene${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$ como anticiparon Fourier y Cauchy.

Peine de Dirac

Un peine de Dirac es una serie infinita de funciones delta de Dirac espaciadas en intervalos de T

Un denominado "tren de pulsos" uniforme de medidas delta de Dirac, que se conoce como peine de Dirac , o distribución Shah, crea una función de muestreo , que se utiliza a menudo en el procesamiento de señales digitales (DSP) y el análisis de señales de tiempo discreto. El peine de Dirac se da como la suma infinita , cuyo límite se entiende en el sentido de distribución,

${\displaystyle \operatorname {III} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}$

que es una secuencia de masas puntuales en cada uno de los números enteros.

Hasta una constante de normalización general, el peine de Dirac es igual a su propia transformada de Fourier. Esto es significativo porque si${\displaystyle f}$es cualquier función de Schwartz , entonces la periodización de${\displaystyle f}$ está dado por la convolución

${\displaystyle (f*\operatorname {III} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}$

En particular,

${\displaystyle (f*\operatorname {III} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {III} }}={\widehat {f}}\operatorname {III} }$

es precisamente la fórmula de suma de Poisson . ^{[71] [72]} De manera más general, esta fórmula sigue siendo cierta si${\displaystyle f}$ es una distribución templada de descenso rápido o, de manera equivalente, si ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ es una función ordinaria que crece lentamente dentro del espacio de distribuciones templadas.

Teorema de Sokhotski-Plemelj

El teorema de Sokhotski-Plemelj , importante en mecánica cuántica, relaciona la función delta con la distribución pv 1 / x , el valor principal de Cauchy de la función 1 / x , definida por

${\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$

La fórmula de Sokhotsky establece que ^[73]

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$

Aquí el límite se entiende en el sentido de distribución, que para todas las funciones suaves f con soporte compacto ,

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

Relación con el delta de Kronecker

El delta de Kronecker δ _ij es la cantidad definida por

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$

para todos los enteros i , j . Esta función entonces satisface el siguiente análogo de la propiedad de cribado: si${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }}$es cualquier secuencia doblemente infinita , entonces

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$

De manera similar, para cualquier función continua valuada real o compleja f en R , el delta de Dirac satisface la propiedad de cribado

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

Esto muestra la función delta de Kronecker como un análogo discreto de la función delta de Dirac. ^[74]

Aplicaciones

Teoría de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la función delta de Dirac se usa a menudo para representar una distribución discreta , o una distribución parcialmente discreta, parcialmente continua , usando una función de densidad de probabilidad (que normalmente se usa para representar distribuciones absolutamente continuas). Por ejemplo, la función de densidad de probabilidad f ( x ) de una distribución discreta que consta de puntos x = { x ₁ , ..., x _n }, con las probabilidades correspondientes p ₁ , ..., p _n , se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$

Como otro ejemplo, considere una distribución que 6/10 de las veces devuelve una distribución normal estándar y 4/10 de las veces devuelve exactamente el valor 3,5 (es decir, una distribución de mezcla parcialmente continua y parcialmente discreta ). La función de densidad de esta distribución se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}$

La función delta también se utiliza para representar la función de densidad de probabilidad resultante de una variable aleatoria que se transforma mediante una función diferenciable continua. Si Y = g ( X ) es una función diferenciable continua, entonces la densidad de Y se puede escribir como

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))dx.}$

La función delta también se usa de una manera completamente diferente para representar la hora local de un proceso de difusión (como el movimiento browniano ). El tiempo local de un proceso estocástico B ( t ) viene dado por

${\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}$

y representa la cantidad de tiempo que el proceso pasa en el punto x en el rango del proceso. Más precisamente, en una dimensión esta integral se puede escribir

${\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}$

donde 1 _{[ x - ε , x + ε ]} es la función indicadora del intervalo [ x - ε , x + ε ] .

Mecánica cuántica

La función delta es conveniente en mecánica cuántica . La función de onda de una partícula da la amplitud de probabilidad de encontrar una partícula dentro de una región determinada del espacio. Se supone que las funciones de onda son elementos del espacio de Hilbert L ² de funciones cuadradas integrables , y la probabilidad total de encontrar una partícula dentro de un intervalo dado es la integral de la magnitud de la función de onda al cuadrado sobre el intervalo. Un conjunto {${\displaystyle |\varphi _{n}\rangle }$} de las funciones de onda es ortonormal si están normalizadas por

${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$

dónde ${\displaystyle \delta }$es el delta de Kronecker. Un conjunto de funciones de onda ortonormales está completo en el espacio de funciones cuadradas integrables si alguna función de onda${\displaystyle |\psi \rangle }$ se puede expresar como una combinación lineal de {${\displaystyle |\varphi _{n}\rangle }$} con coeficientes complejos:

${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}$

con ${\displaystyle c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle }$. Los sistemas ortonormales completos de funciones de onda aparecen naturalmente como las funciones propias del hamiltoniano (de un sistema ligado ) en la mecánica cuántica que mide los niveles de energía, que se denominan valores propios. El conjunto de valores propios, en este caso, se conoce como el espectro del hamiltoniano. En notación bra-ket , como arriba , esta igualdad implica la resolución de la identidad:

${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}$

Aquí se supone que los valores propios son discretos, pero el conjunto de valores propios de un observable puede ser continuo en lugar de discreto. Un ejemplo es la posición observable , Qψ ( x ) = x ψ ( x ) . El espectro de la posición (en una dimensión) es la línea real completa y se llama espectro continuo . Sin embargo, a diferencia del hamiltoniano, el operador de posición carece de funciones propias adecuadas. La forma convencional de superar esta deficiencia es ampliar la clase de funciones disponibles permitiendo también distribuciones: es decir, reemplazar el espacio de Hilbert de la mecánica cuántica por un espacio de Hilbert manipulado apropiado . ^[75] En este contexto, el operador de posición tiene un conjunto completo de distribuciones propias, etiquetado por los puntos y de la línea real, dado por

${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}$

Las funciones propias de la posición se denotan por ${\displaystyle \varphi _{y}=|y\rangle }$ en notación de Dirac, y se conocen como estados propios de posición.

Se aplican consideraciones similares a los autoestados del operador de cantidad de movimiento , o de hecho a cualquier otro operador autoadjunto no acotado P en el espacio de Hilbert, siempre que el espectro de P sea ​​continuo y no haya autovalores degenerados. En ese caso, hay un conjunto Ω de números reales (el espectro) y una colección φ _y de distribuciones indexadas por los elementos de Ω, tal que

${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$

Esto es, φ _y son los vectores propios de P . Si los autovectores están normalizados de modo que

${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y')}$

en el sentido de distribución, entonces para cualquier función de prueba ψ,

${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$

dónde

${\displaystyle c(y)=\langle \psi ,\varphi _{y}\rangle .}$

Es decir, como en el caso discreto, existe una resolución de la identidad

${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}$

donde la integral valorada por el operador se entiende nuevamente en el sentido débil. Si el espectro de P tiene partes tanto continuas como discretas, entonces la resolución de la identidad implica una suma sobre el espectro discreto y una integral sobre el espectro continuo.

La función delta también tiene muchas aplicaciones más especializadas en mecánica cuántica, como los modelos de potencial delta para un pozo de potencial simple y doble.

Mecánica estructural

La función delta se puede utilizar en mecánica estructural para describir cargas transitorias o cargas puntuales que actúan sobre estructuras. La ecuación gobernante de un sistema simple masa-resorte excitado por un impulso de fuerza repentino I en el tiempo t = 0 se puede escribir

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi }{\mathrm {d} t^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}$

donde m es la masa, ξ la deflexión y k la constante del resorte .

Como otro ejemplo, la ecuación que gobierna la deflexión estática de una viga delgada es, según la teoría de Euler-Bernoulli ,

${\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x),}$

donde EI es la rigidez a la flexión de la viga, w la deflexión , x la coordenada espacial yq ( x ) la distribución de la carga. Si una viga se carga con una fuerza puntual F en x = x ₀ , la distribución de carga se escribe

${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}$

Como la integración de la función delta da como resultado la función escalón Heaviside , se deduce que la deflexión estática de una viga delgada sujeta a múltiples cargas puntuales se describe mediante un conjunto de polinomios por partes .

Además, un momento puntual que actúa sobre una viga se puede describir mediante funciones delta. Considere dos fuerzas puntuales opuestas F a una distancia d una de la otra. Luego producen un momento M = Fd que actúa sobre la viga. Ahora, deje que la distancia d se acerque al límite cero, mientras que M se mantiene constante. La distribución de carga, asumiendo un momento en el sentido de las agujas del reloj que actúa en x = 0, se escribe

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}}$

Así, los momentos puntuales pueden representarse mediante la derivada de la función delta. La integración de la ecuación de la viga da como resultado de nuevo una deflexión polinomial por partes .

Ver también

• Átomo (teoría de la medida)
• Potencial delta
• Medida de Dirac
• Solución fundamental
• Función de Green
• Laplaciano del indicador

Notas

1. Arfken y Weber 2000 , p. 84.
2. Dirac 1930 , §22 La función δ .
3. Gelfand y Shilov 1966-1968 , Volumen I, §1.1.
4. Gelfand y Shilov 1966-1968 , Volumen I, §1.3.
5. Schwartz , 1950 , p. 3.
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13. Ver, por ejemplo, Cauchy, Augustin-Louis (1789-1857) Auteur du texte (1882-1974). "Des intégrales se duplica qui se présentent sous une forme indéterminèe" . Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy. Série 1, tomo 1 / publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique ...
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16. Laugwitz 1989 , p. 230.
17. Se puede encontrar un relato histórico más completo en van der Pol & Bremmer 1987 , §V.4.
18. Gelfand y Shilov 1966-1968 , Volumen I, §1.1, p. 1.
19. Dirac 1930 , p. 63.
20. Rudin , 1966 , §1.20error de harvnb: sin destino: CITEREFRudin1966 ( ayuda )^{[ se necesita cita completa ]}
21. Hewitt y Stromberg 1963 , §19.61.
22. Driggers 2003 , p. 2321 Véase también Bracewell 1986 , Capítulo 5 para una interpretación diferente. Existen otras convenciones para asignar el valor de la función Heaviside en cero, y algunas de ellas no son consistentes con lo que sigue.
23. Hewitt y Stromberg 1963 , §9.19.
24. Hazewinkel , 2011 , p. 41 .
25. Strichartz 1994 , §2.2.
26. Hörmander 1983 , Teorema 2.1.5.
27. Hörmander 1983 , §3.1.
28. Strichartz 1994 , §2.3.
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42. Lange 2012 , págs. 29-30.
43. Gelfand y Shilov 1966–1968 , p. 212.
44. En algunas convenciones para la transformada de Fourier.
45. Bracewell 1986 .
46. Gelfand y Shilov 1966–1968 , p. 26.
47. Gelfand y Shilov 1966-1968 , §2.1.
48. Weisstein, Eric W. "Función doblete" . MathWorld .
49. La propiedad sigue aplicando una función de prueba e integración por partes.
50. "Comentario de Gugo82 sobre la derivada distributiva del delta de Dirac" . matematicamente.it . 12 de septiembre de 2010.
51. Hörmander 1983 , p. 56.
52. Rudin 1991 , Teorema 6.25.
53. Stein y Weiss 1971 , Teorema 1.18.
54. Rudin 1991 , §II.6.31.
55. De manera más general, solo se necesita η = η ₁ para tener un reordenamiento decreciente radialmente simétrico integrable.
56. Saichev & Woyczyński 1997 , §1.1 La "función delta" vista por un físico y un ingeniero, p. 3.
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60. Vallée y Soares 2004 , §7.2.
61. Hörmander 1983 , §7.8.
62. Courant y Hilbert , 1962 , §14.
63. Lang 1997 , p. 312.
64. En la terminología de Lang (1997) , el kernel de Fejér es una secuencia de Dirac, mientras que el kernel de Dirichlet no lo es.
65. Hazewinkel 1995 , p. 357 .error sfn: sin destino: CITEREFHazewinkel1995 ( ayuda )
66. El desarrollo de esta sección en notación bra-ket se encuentra en ( Levin 2002 , Funciones de onda del espacio coordinado y completitud, págs. = 109 y siguientes )
67. Davis y Thomson 2000 , Operadores perfectos, p. 344.
68. Davis y Thomson 2000 , Ecuación 8.9.11, p. 344.
69. de la Madrid, Bohm & Gadella 2002 .
70. Laugwitz 1989 .
71. Córdoba 1988 .
72. Hörmander 1983 , §7.2 .
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Referencias

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enlaces externos

• Medios relacionados con la distribución de Dirac en Wikimedia Commons
• "Función delta" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Lección en video de KhanAcademy.org
• La función delta de Dirac , un tutorial sobre la función delta de Dirac.
• Videoconferencias - Conferencia 23 , una conferencia de Arthur Mattuck .
• La medida del delta de Dirac es una hiperfunción
• Mostramos la existencia de una solución única y analizamos una aproximación de elementos finitos cuando el término fuente es una medida delta de Dirac
• Medidas distintas de Lebesgue sobre R. Medida Lebesgue-Stieltjes, medida delta de Dirac.