En matemáticas , y particularmente en teoría del potencial , el principio de Dirichlet es la suposición de que el minimizador de una determinada energía funcional es una solución a la ecuación de Poisson .
Declaración formal
El principio de Dirichlet establece que, si la funciónes la solución a la ecuación de Poisson
en un dominio de con condición de contorno
- en el límite,
entonces u puede obtenerse como el minimizador de la energía de Dirichlet
entre todas las funciones dos veces diferenciables tal que en (siempre que exista al menos una función que haga finita la integral de Dirichlet). Este concepto lleva el nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Historia
El nombre "principio de Dirichlet" se debe a Riemann , quien lo aplicó en el estudio de funciones analíticas complejas . [1]
Riemann (y otros como Gauss y Dirichlet) sabían que la integral de Dirichlet está acotada por debajo, lo que establece la existencia de un infimum ; sin embargo, dio por sentada la existencia de una función que alcanza el mínimo. Weierstrass publicó la primera crítica de este supuesto en 1870, dando un ejemplo de un funcional que tiene un límite inferior más grande que no es un valor mínimo. El ejemplo de Weierstrass fue el funcional
dónde es continuo en , continuamente diferenciable en y sujeto a condiciones de contorno , dónde y son constantes y . Weierstrass demostró que, pero sin función admisible poder hacer igual a 0. Este ejemplo no refuta el principio de Dirichlet per se , ya que la integral del ejemplo es diferente de la integral de Dirichlet. Pero socavó el razonamiento que Riemann había utilizado y estimuló el interés en probar el principio de Dirichlet, así como avances más amplios en el cálculo de variaciones y, en última instancia , en el análisis funcional . [2] [3]
En 1900, Hilbert más tarde justificó el uso de Riemann del principio de Dirichlet al desarrollar el método directo en el cálculo de variaciones . [4]
Ver también
Notas
Referencias
- Courant, R. (1950), Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas. Apéndice de M. Schiffer , Interscience
- Lawrence C. Evans (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
- Giaquinta, Mariano ; Hildebrandt, Stefan (1996), Cálculo de variaciones I , Springer
- AF Monna (1975), Principio de Dirichlet: una comedia matemática de errores y su influencia en el desarrollo del análisis , Oosthoek, Scheltema & Holkema
- Weisstein, Eric W. "Principio de Dirichlet" . MathWorld .