Transformada de Fourier de tiempo discreto

No confundir con la transformada discreta de Fourier .

Técnica de análisis de Fourier aplicada a secuencias

Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier continua series de Fourier Transformada de Fourier de tiempo discreto Transformada discreta de Fourier Transformada discreta de Fourier sobre un anillo Transformada de Fourier en grupos finitos análisis de Fourier Transformaciones relacionadas

En matemáticas , la transformada de Fourier de tiempo discreto ( DTFT ) es una forma de análisis de Fourier que se aplica a una secuencia de valores.

El DTFT se utiliza a menudo para analizar muestras de una función continua. El término tiempo discreto se refiere al hecho de que la transformada opera sobre datos discretos, a menudo muestras cuyo intervalo tiene unidades de tiempo. A partir de muestras uniformemente espaciadas, produce una función de frecuencia que es una suma periódica de la transformada de Fourier continua de la función continua original. En determinadas condiciones teóricas, descritas por el teorema de muestreo , la función continua original se puede recuperar perfectamente de la DTFT y, por tanto, de las muestras discretas originales. La DTFT en sí es una función continua de la frecuencia, pero las muestras discretas se pueden calcular fácilmente mediante la transformada discreta de Fourier.(DFT) (ver § Muestreo de DTFT ), que es, con mucho, el método más común de análisis de Fourier moderno.

Ambas transformaciones son invertibles. La DTFT inversa es la secuencia de datos muestreada original. La DFT inversa es una suma periódica de la secuencia original. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular un ciclo de la DFT, y su inversa produce un ciclo de la DFT inversa.

Definición

La transformada de Fourier de tiempo discreto de una secuencia discreta de números reales o complejos x [ n ] , para todos los enteros n , es una serie de Fourier , que produce una función periódica de una variable de frecuencia. Cuando la variable de frecuencia, ω, tiene unidades normalizadas de radianes / muestra , la periodicidad es 2π y la serie de Fourier es : ^{[1] : p.147}

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.}$

( Ecuación 1 )

La utilidad de esta función en el dominio de la frecuencia se basa en la fórmula de suma de Poisson . Sea X ( f ) la transformada de Fourier de cualquier función, x ( t ) , cuyas muestras en algún intervalo T ( segundos ) son iguales (o proporcionales) a la secuencia x [ n ] , es decir, T ⋅ x ( nT ) = x [ n ] . ^[2]   Entonces, la función periódica representada por la serie de Fourier es una suma periódica de X ( f) en términos de frecuencia f en hercios ( ciclos / seg ) : ^{[a] [A]}

${\displaystyle X_{1/T}(f)=X_{2\pi }(2\pi fT)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn}\;{\stackrel {\mathrm {Poisson\;f.} }{=}}\;\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).}$

( Ecuación 2 )

Fig 1. Representación de una transformada de Fourier (superior izquierda) y su suma periódica (DTFT) en la esquina inferior izquierda. La esquina inferior derecha muestra muestras de la DTFT que se calculan mediante una transformada discreta de Fourier (DFT).

El número entero k tiene unidades de ciclos / muestra , y 1 / T es la frecuencia de muestreo, f _s ( muestras / seg ). Por tanto, X _{1 / T} ( f ) comprende copias exactas de X ( f ) que se desplazan en múltiplos de f _s hertz y se combinan mediante la suma. Para f _s suficientemente grande, el término k = 0 se puede observar en la región [- f _s / 2, f _s / 2 ] con poca o ninguna distorsión (aliasing ) de los otros términos. En la figura 1, los extremos de la distribución en la esquina superior izquierda están enmascarados por aliasing en la suma periódica (inferior izquierda).

También notamos que e ^{- i2πfTn} es la transformada de Fourier de δ ( t - nT ) . Por lo tanto, una definición alternativa de DTFT es: ^[B]

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.}$

( Ecuación 3 )

La función de peine de Dirac modulada es una abstracción matemática que a veces se denomina muestreo de impulsos . ^[4]

Transformación inversa

Una operación que recupera la secuencia de datos discretos de la función DTFT se denomina DTFT inversa . Por ejemplo, la transformada de Fourier continua inversa de ambos lados de la ecuación 3 produce la secuencia en la forma de una función de peine de Dirac modulada:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Sin embargo, observando que X _{1 / T} ( f ) es periódica, toda la información necesaria está contenida dentro de cualquier intervalo de longitud 1 / T . Tanto en la Ec. 1 como en la Ec. 2 , las sumas sobre n son una serie de Fourier , con coeficientes x [ n ] . Las fórmulas estándar para los coeficientes de Fourier también son las transformadas inversas:

${\displaystyle {\begin{aligned}x[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}}$

( Ecuación 4 )

Datos periódicos

Cuando la secuencia de datos de entrada x [ n ] es N -periódica , la ecuación 2 se puede reducir computacionalmente a una transformada discreta de Fourier (DFT), porque :

• Toda la información disponible está contenida en N muestras.
• X _{1 / T} ( f ) converge a cero en todas partes excepto en múltiplos enteros de 1 / ( NT ) , conocidos comofrecuencias armónicas . En esas frecuencias, la DTFT diverge a diferentes tasas dependientes de la frecuencia. Y esas tasas vienen dadas por la DFT de un ciclo de lasecuencia x [ n ] .
• La DTFT es periódica, por lo que el número máximo de amplitudes armónicas únicas es (1 / T ) / (1 / ( NT )) = N

Los coeficientes DFT vienen dados por :

${\displaystyle X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},}$     y la DTFT es :

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right).}$      ^[B]

La sustitución de esta expresión en la fórmula de transformación inversa confirma :

${\displaystyle \int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\ =\ {\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}} _{\text{any k-sequence of length N}}\ \equiv \ x(nT),\quad n\in \mathbb {Z} \,}$( todos los enteros )

como se esperaba. La DFT inversa en la línea anterior a veces se denomina serie discreta de Fourier (DFS). ^{[1] : pág. 542}

Muestreo de DTFT

Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras ( N ) de un ciclo de la función periódica X _{1 / T} :  ^{[1] : págs. 557–559 y 703}

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

donde es una suma periódica :${\displaystyle x_{_{N}}}$

${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$     (ver la serie discreta de Fourier )

La secuencia es la DFT inversa. Por lo tanto, nuestro muestreo de la DTFT hace que la transformada inversa se vuelva periódica. La matriz de | X _k | ² valores se conoce como periodograma , y el parámetro N se llama NFFT en la función Matlab del mismo nombre. ^[5]${\displaystyle x_{_{N}}}$

Para evaluar un ciclo numéricamente, necesitamos una secuencia x [ n ] de longitud finita . Por ejemplo, una secuencia larga puede ser truncada por una función de ventana de longitud L, dando como resultado tres casos dignos de mención especial. Para simplificar la notación, considere los valores x [ n ] siguientes para representar los valores modificados por la función de ventana.${\displaystyle x_{_{N}}}$

Caso: Decimación de frecuencia. L = N ⋅ I , para algún número entero I (típicamente 6 u 8)

Un ciclo de reduce a una suma de I segmentos de longitud N . La DFT luego tiene varios nombres, tales como :${\displaystyle x_{_{N}}}$

• ventana-presum FFT ^[6]
• Peso, superposición, agregar (WOLA) ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [C] [D]}

• polifase DFT ^{[10] [11]}
• banco de filtros polifásicos ^[13]
• ventanas de bloques múltiples y alias de tiempo . ^[14]

Recuerde que la diezmación de los datos muestreados en un dominio (tiempo o frecuencia) produce superposición (a veces conocida como aliasing ) en el otro y viceversa. En comparación con una DFT de longitud L , la suma / superposición causa una reducción en la frecuencia, ^{[1] : p.558} dejando solo las muestras ^DTFT menos afectadas por la fuga espectral . Eso suele ser una prioridad cuando se implementa un banco de filtros FFT (canalizador). Con una función de ventana convencional de longitud L , la pérdida de festón sería inaceptable. Por lo tanto, las ventanas de bloques múltiples se crean utilizando herramientas de diseño de filtros FIR . ^{[15] [16]}${\displaystyle x_{_{N}}}$  Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y cae rápidamente en el punto medio entre las muestras restantes de DTFT. Cuanto mayor sea el valor del parámetro I , mejor será el rendimiento potencial.

Caso: L = N +1 .

Cuando una función de ventana simétrica de longitud L ( ) se trunca por 1 coeficiente, se denomina periódica o DFT-par . El truncamiento afecta a la DTFT. Una DFT de las secuencia truncada muestras de la DTFT a intervalos de frecuencia de 1 / N . Para muestrear a las mismas frecuencias, a modo de comparación, la DFT se calcula para un ciclo de la suma periódica, ^[E]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{_{N}}.}$

Fig 2. DFT de e ^{i2πn / 8} para L = 64 y N = 256

Fig 3. DFT de e ^{i2πn / 8} para L = 64 y N = 64

Caso: interpolación de frecuencia. L ≤ N

En este caso, el DFT se simplifica a una forma más familiar:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Para aprovechar un algoritmo de transformada de Fourier rápido para calcular la DFT, la suma se realiza generalmente sobre todos los N términos, aunque N - L de ellos son ceros. Por lo tanto, el caso L < N a menudo se denomina relleno de ceros .

La fuga espectral, que aumenta a medida que disminuye L , es perjudicial para ciertas métricas de rendimiento importantes, como la resolución de múltiples componentes de frecuencia y la cantidad de ruido medido por cada muestra de DTFT. Pero esas cosas no siempre importan, por ejemplo, cuando la secuencia x [ n ] es una sinusoide silenciosa (o una constante), formada por una función de ventana. Entonces, es una práctica común utilizar el relleno de ceros para mostrar y comparar gráficamente los patrones de fuga detallados de las funciones de la ventana. Para ilustrar eso para una ventana rectangular, considere la secuencia:

${\displaystyle x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$ y ${\displaystyle L=64.}$

Las Figuras 2 y 3 son gráficos de la magnitud de dos DFT de diferentes tamaños, como se indica en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante está en la frecuencia de la señal: f = 1/8 = 0,125 . También visible en la Fig. 2 es el patrón de fuga espectral de la ventana rectangular L = 64 . La ilusión de la figura 3 es el resultado de muestrear la DTFT solo en sus cruces por cero. En lugar de la DTFT de una secuencia de longitud finita, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular y la elección de una frecuencia (1/8 = 8/64) con exactamente 8 (un número entero) ciclos por 64 muestras. Una ventana de Hannproduciría un resultado similar, excepto que el pico se ampliaría a 3 muestras (consulte la ventana DFT-even Hann ).

Convolución

Artículo principal: Teorema de convolución § Funciones_de_secuencias_variables_discretas

El teorema de convolución para sucesiones es :

${\displaystyle x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[18] : p . 297 [c]}

Un caso especial importante es la convolución circular de secuencias de x y y definidos por donde es una suma periódica. La naturaleza de frecuencia discreta de significa que el producto con la función continua también es discreto, lo que resulta en una simplificación considerable de la transformada inversa :${\displaystyle x_{_{N}}*y,}$${\displaystyle x_{_{N}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[19] [1] : pág.548}

Para x y Y secuencias cuya duración no nula es menor que o igual a N , una simplificación final es :

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

La importancia de este resultado se explica en los algoritmos de convolución circular y convolución rápida .

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : ^{[18] : p.291}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}}$

A partir de esto, son evidentes varias relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real ( x _RE + x _RO ) es la función simétrica par X _RE + i X _IO . Por el contrario, una transformación par simétrica implica un dominio de tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i x _IE + i x _IO ) es la función simétrica impar X _RO + i X _IE , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función par-simétrica ( x _RE + i x _IO ) es la función de valor real X _RE + X _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función de simetría impar ( x _RO + i x _IE ) es la función de valor imaginario i X _IE + i X _IO , y lo contrario es cierto.

Relación con la transformada Z

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$es una serie de Fourier que también se puede expresar en términos de la transformada Z bilateral . Es decir:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),}$

donde la notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier. Por lo tanto, también podemos expresar una parte de la transformada Z en términos de la transformada de Fourier:${\displaystyle {\widehat {X}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que cuando el parámetro T cambia, los términos de permanecen separados por una separación constante y su ancho aumenta o disminuye. Los términos de X _{1 / T} ( f ) permanecen con un ancho constante y su separación 1 / T aumenta o disminuye.${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$${\displaystyle 2\pi }$

Tabla de transformadas de Fourier de tiempo discreto

En la siguiente tabla se muestran algunos pares de transformadas comunes. Se aplica la siguiente notación:

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$es un número real que representa la frecuencia angular continua (en radianes por muestra). ( está en ciclos / seg, y está en seg / muestra). En todos los casos de la tabla, la DTFT es 2π-periódica (pulgadas ).${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$designa una función definida en .${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle X_{o}(\omega )}$designa una función definida en , y cero en otra parte. Luego:${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).}$

• ${\displaystyle \delta (\omega )}$es la función delta de Dirac
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ es la función sinc normalizada
• ${\displaystyle \operatorname {rect} (t)}$es la función del rectángulo
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$es la función triangular
• n es un número entero que representa el dominio de tiempo discreto (en muestras)
• ${\displaystyle u[n]}$es la función de paso de la unidad de tiempo discreto
• ${\displaystyle \delta [n]}$es el delta de Kronecker ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Dominio del tiempo x [ n ]	Dominio de frecuencia X 2π (ω)	Observaciones	Referencia
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=1}$		[18] : p . 305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	entero ${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$     impar M     par M ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$	entero ${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	El término debe interpretarse como una distribución en el sentido de un valor principal de Cauchy alrededor de sus polos en .${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$${\displaystyle \omega =2\pi k}$
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[18] : p . 305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$     -π <a <π ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	Número Real ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)}$	número real con${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	número real con${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\sin[N\omega /2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	enteros y ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	números reales con${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	número real ,${\displaystyle W}$${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=j\omega }$	funciona como un filtro diferenciador
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	números reales con${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	Transformada de Hilbert
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=}$	complejo de números reales${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$

Propiedades

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en el dominio de la frecuencia.

• ${\displaystyle *\!}$es la convolución discreta de dos secuencias
• ${\displaystyle x[n]^{*}}$es el conjugado complejo de x [ n ] .

Propiedad	Dominio del tiempo x [ n ]	Dominio de la frecuencia ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$	Observaciones	Referencia
Linealidad	${\displaystyle a\cdot x[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	números complejos ${\displaystyle a,b}$	[18] : p . 294
Inversión de tiempo / Inversión de frecuencia	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(-\omega )\!}$		[18] : pág . 297
Conjugación de tiempo	${\displaystyle x[n]^{*}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!}$		[18] : p . 291
Inversión del tiempo y conjugación	${\displaystyle x[-n]^{*}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )^{*}\!}$		[18] : p . 291
Parte real en el tiempo	${\displaystyle \Re {(x[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[18] : p . 291
Parte imaginaria en el tiempo	${\displaystyle \Im {(x[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[18] : p . 291
Parte real en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])}$	${\displaystyle \Re {(X_{2\pi }(\omega ))}}$		[18] : p . 291
Parte imaginaria en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])}$	${\displaystyle \Im {(X_{2\pi }(\omega ))}}$		[18] : p . 291
Cambio en el tiempo / Modulación en frecuencia	${\displaystyle x[n-k]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	entero k	[18] : p . 296
Cambio de frecuencia / Modulación en el tiempo	${\displaystyle x[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega -a)\!}$	Número Real ${\displaystyle a}$	[18] : p . 300
Ejecución	${\displaystyle x[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$  [F]	entero ${\displaystyle M}$
Expansión de tiempo	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(M\omega )\!}$	entero ${\displaystyle M}$	[1] : pág.172
Derivada en frecuencia	${\displaystyle {\frac {n}{i}}x[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[18] : p . 303
Integración en frecuencia	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
Diferenciando en el tiempo	${\displaystyle x[n]-x[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!}$
Suma en el tiempo	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
Convolución en el tiempo / Multiplicación en frecuencia	${\displaystyle x[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[18] : pág . 297
Multiplicación en el tiempo / Convolución en frecuencia	${\displaystyle x[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	Convolución periódica	[18] : p . 302
Correlación cruzada	${\displaystyle \rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
Teorema de Parseval	${\displaystyle E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!}$	${\displaystyle E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!}$		[18] : p . 302

Ver también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación multidimensional
• Transformación Zak

Notas

1. Cuando la dependencia de T no es importante, una práctica común es reemplazarla con  Entonces   f   tiene unidades de ( ciclos / muestra ), llamada frecuencia normalizada .${\displaystyle 1.}$
2. De hecho, la ecuación 2 a menudo se justifica de la siguiente manera: ^{[1] : p.143}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}}$

3. WOLA no debe confundirse con el método Overlap-add de convolución por partes.
4. Ejemplo de WOLA: Archivo: ejemplo de canalizador WOLA.png
5. Un ejemplo es la figura Muestreo de DTFT . Las muestras DFT con valores reales son el resultado de la simetría DFT-par ^{[17] : p.52}
6. Esta expresión se deriva de la siguiente manera: ^{[1] : p.168}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}}$

Citas de página

1. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 147 (4.20), p 694 (10.1), y Prandoni y Vetterli, ^[3] p 255, (9.33), donde:    y  ${\displaystyle T\cdot X(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),}$   ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
2. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 551 (8.35), y Prandoni y Vetterli, ^[3] p 82, (4.43), donde :     y  ${\displaystyle T\cdot {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),}$  ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$  ${\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq X[k],}$${\displaystyle \delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T).}$
3. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 60, (2.169) y Prandoni y Vetterli, ^[3] p 122, (5.21)

Referencias

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Lectura adicional

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• Lyons, Richard G. (2010). Comprensión del procesamiento de señales digitales (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0137027415.