Espacio discreto

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  "Espacio discreto"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( marzo de 2011 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

En topología , un espacio discreto es un ejemplo particularmente simple de un espacio topológico o estructura similar, uno en el que los puntos forman una secuencia discontinua , lo que significa que están aislados entre sí en cierto sentido. La topología discreta es la mejor topología que se puede dar en un conjunto. Cada subconjunto está abierto en la topología discreta de modo que, en particular, cada subconjunto singleton es un conjunto abierto en la topología discreta.

Definiciones

Dado un conjunto X :

• la topología discreta en X se define permitiendo que cada subconjunto de X esté abierto (y por lo tanto también cerrado ), y X es un espacio topológico discreto si está equipado con su topología discreta;
• la uniformidad discreta en X se define permitiendo que cada superconjunto de la diagonal {( x , x ): x está en X } en X  ×  X sea ​​un séquito , y X es un espacio uniforme discreto si está equipado con su uniformidad discreta.
• la métrica discreta en X está definida por${\displaystyle \rho }$

  ${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ x\neq y,\\0&{\mbox{if}}\ x=y\end{cases}}}$

  para cualquiera . En este caso se denomina espacio métrico discreto o espacio de puntos aislados .${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle (X,\rho )}$
• un conjunto S es discreto en un espacio métrico , porque , si para cada , existe alguno (dependiendo de ) tal que para todos ; tal conjunto consta de puntos aislados . Un conjunto S es uniforme discreta en el espacio métrico , para , si existe ε > 0 tal que para cualquier dos distintos , .${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,y)>\delta }$${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x,y\in S}$${\displaystyle d(x,y)>\varepsilon }$

Se dice que un espacio métrico es uniformemente discreto si existe un "radio de empaquetamiento" tal que, para cualquiera , uno tiene o . ^[1] La topología subyacente a un espacio métrico puede ser discreta, sin que la métrica sea uniformemente discreta: por ejemplo, la métrica habitual en el conjunto {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} de números reales .${\displaystyle (E,d)}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x,y\in E}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle d(x,y)>r}$

Prueba de que un espacio discreto no es necesariamente uniformemente discreto

Sea X = {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} , considere este conjunto usando la métrica habitual de los números reales. Entonces, X es un espacio discreto, ya que para cada punto 1/2 n , podemos rodearlo con el intervalo (1/2 n - ɛ , 1/2 n + ɛ ) , donde ɛ = 1/2 (1/2 n - 1/2 n +1 ) = 1/2 n +2 . La intersección (1/2 n - ɛ , 1/2 n + ɛ ) ∩ {1/2 n } es solo el singleton {1/2n }. Dado que la intersección de dos conjuntos abiertos está abierta y los singleton están abiertos, se deduce queXes un espacio discreto. Sin embargo, X no puede ser uniformemente discreto. Para ver por qué, suponga que existe un r > 0 tal que d ( x , y )> r siempre que x ≠ y . Es suficiente para mostrar que hay por lo menos dos puntos x y Y en X que están más cerca entre sí que r . Dado que la distancia entre los puntos adyacentes 1/2 n y 1/2 n +1 es 1/2 n +1 , necesitamos encontrar una n que satisfaga esta desigualdad: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{n+1}}}&<r\\1&<r2^{n+1}\\{\frac {1}{r}}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left({\frac {1}{r}}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}$ Dado que siempre hay una n más grande que cualquier número real dado, se deduce que siempre habrá al menos dos puntos en X que estén más cerca entre sí que cualquier r positivo , por lo tanto, X no es uniformemente discreto.

Propiedades

La uniformidad subyacente en un espacio métrico discreto es la uniformidad discreta, y la topología subyacente en un espacio uniforme discreto es la topología discreta. Por tanto, las diferentes nociones de espacio discreto son compatibles entre sí. Por otro lado, la topología subyacente de un espacio métrico o uniforme no discreto puede ser discreta; un ejemplo es el espacio métrico X  : = {1 / n  : n  = 1,2,3, ...} (con métrica heredada de la línea real y dada por d ( x , y ) = | x  - y |) . Esta no es la métrica discreta; Además, este espacio no está completo.y por lo tanto no discreto como un espacio uniforme. Sin embargo, es discreto como espacio topológico. Decimos que X es topológicamente discreto pero no uniformemente discreto o métricamente discreto .

Adicionalmente:

• La dimensión topológica de un espacio discreto es igual a 0.
• Un espacio topológico es discreto si y solo si sus singletons están abiertos, que es el caso si y solo si no contiene ningún punto de acumulación .
• Los singleton forman una base para la topología discreta.
• Un espacio uniforme X es discreto si y solo si la diagonal {( x , x ): x está en X } es un séquito .
• Cada espacio topológico discreto satisface cada uno de los axiomas de separación ; en particular, todo espacio discreto es Hausdorff , es decir, separado.
• Un espacio discreto es compacto si y solo si es finito .
• Cada espacio discreto uniforme o métrico está completo .
• Combinando los dos hechos anteriores, cada espacio discreto uniforme o métrico está totalmente acotado si y solo si es finito.
• Cada espacio métrico discreto está acotado .
• Cada espacio discreto es contable primero ; además, es contable en segundo lugar si y sólo si es contable .
• Cada espacio discreto está totalmente desconectado .
• Cada espacio discreto no vacío es de segunda categoría .
• Dos espacios discretos cualesquiera con la misma cardinalidad son homeomorfos .
• Cada espacio discreto es metrizable (según la métrica discreta).
• Un espacio finito es metrizable solo si es discreto.
• Si X es un espacio topológico e Y es un conjunto que lleva la topología discreta, entonces X está cubierto uniformemente por X × Y (el mapa de proyección es la cobertura deseada)
• La topología del subespacio en los enteros como subespacio de la línea real es la topología discreta.
• Un espacio discreto es separable si y solo si es contable.
• Cualquier subespacio topológico de ℝ (con su topología euclidiana habitual ) que sea discreto es necesariamente contable . ^[2]

Cualquier función desde un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua , y cualquier función desde un espacio uniforme discreto a otro espacio uniforme es uniformemente continua . Es decir, el espacio discreto X está libre sobre el conjunto X en la categoría de espacios topológicos y mapas continuos o en la categoría de espacios uniformes y mapas uniformemente continuos. Estos hechos son ejemplos de un fenómeno mucho más amplio, en el que las estructuras discretas suelen ser libres en los conjuntos.

Con los espacios métricos, las cosas son más complicadas, porque hay varias categorías de espacios métricos, dependiendo de lo que se elija para los morfismos . Ciertamente, el espacio métrico discreto es libre cuando los morfismos son todos mapas uniformemente continuos o todos mapas continuos, pero esto no dice nada interesante sobre la estructura métrica , solo la estructura uniforme o topológica. Las categorías más relevantes para la estructura métrica se pueden encontrar limitando los morfismos a mapas continuos de Lipschitz oa mapas cortos ; sin embargo, estas categorías no tienen objetos libres (en más de un elemento). Sin embargo, el espacio métrico discreto está libre en la categoría de espacios métricos delimitados.y mapas continuos de Lipschitz, y es gratuito en la categoría de espacios métricos delimitados por 1 y mapas cortos. Es decir, cualquier función desde un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado es Lipschitz continua, y cualquier función desde un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado por 1 es corta.

Yendo en la otra dirección, una función f desde un espacio topológico Y a un espacio discreto X es continua si y solo si es localmente constante en el sentido de que cada punto en Y tiene una vecindad en la que f es constante.

Cada ultrafiltro en un conjunto no vacío puede estar asociada con una topología en la propiedad de que cada subconjunto apropiado no vacío de es o bien un subconjunto abierto o bien un subconjunto cerrado , pero nunca ambos. Dicho de otra manera, cada subconjunto está abierta o cerrada, pero (en contraste con la topología discreta) los únicos subconjuntos que son tanto abierto y cerrado (es decir, abierto y cerrado ) son y En comparación, cada subconjunto de está abierto y${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$ cerrado en la topología discreta.

Usos

Una estructura discreta se usa a menudo como la "estructura predeterminada" en un conjunto que no tiene ninguna otra topología natural, uniformidad o métrica; Las estructuras discretas a menudo se pueden usar como ejemplos "extremos" para probar suposiciones particulares. Por ejemplo, cualquier grupo puede considerarse como un grupo topológico dándole la topología discreta, lo que implica que los teoremas sobre grupos topológicos se aplican a todos los grupos. De hecho, los analistas pueden referirse a los grupos ordinarios no topológicos estudiados por los algebristas como " grupos discretos ". En algunos casos, esto puede aplicarse de manera útil, por ejemplo, en combinación con la dualidad de Pontryagin . Un colector de 0 dimensiones(o variedad diferenciable o analítica) no es más que un espacio topológico discreto. Por lo tanto, podemos ver cualquier grupo discreto como un grupo de Lie de dimensión 0 .

Un producto de copias infinitas numerables del espacio discreto de los números naturales es homeomorfo al espacio de los números irracionales , con el homeomorfismo dado por la expansión fraccionaria continua . Un producto de copias infinitas numerables del espacio discreto {0,1} es homeomorfo para el conjunto de Cantor ; y de hecho uniformemente homeomórfico al conjunto de Cantor si usamos la uniformidad del producto en el producto. Este homeomorfismo se da mediante el uso de notación ternaria de números. (Ver espacio de Cantor ).

En los fundamentos de las matemáticas , el estudio de las propiedades de compacidad de los productos de {0,1} es fundamental para el enfoque topológico del principio del ultrafiltro , que es una forma de elección débil .

Espacios indiscretos

Artículo principal: topología trivial

De alguna manera, lo opuesto a la topología discreta es la topología trivial (también llamada topología indiscreta ), que tiene la menor cantidad de conjuntos abiertos posibles (solo el conjunto vacío y el espacio en sí). Donde la topología discreta es inicial o libre, la topología indiscreta es final o cofree : toda función desde un espacio topológico a un espacio indiscreto es continua, etc.

Ver también

• Juego de cilindros
• Lista de topologías
• Geometría del taxi

Referencias

1. Agradables, Peter AB (2000). "Cuasicristales de diseñador: conjuntos de corte y proyecto con propiedades asignadas previamente". En Baake, Michael (ed.). Direcciones en cuasicristales matemáticos . Serie de monografías CRM. 13 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 95-141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl  0982.52018 .
2. Wilansky , 2008 , p. 35. sfn error: no target: CITEREFWilansky2008 (help)

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraejemplos en topología (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. Señor  0507446 . Zbl  0386.54001 .
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899 .