En matemáticas , una unión disjunta (o unión discriminada ) de una familia de conjuntos es un conjunto con una función inyectiva de cadaen A , de modo que las imágenes de estas inyecciones formen una partición de A (es decir, cada elemento de A pertenece exactamente a una de estas imágenes). La unión disjunta de una familia de conjuntos disjuntos por pares es su unión . En términos de la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto de la categoría de conjuntos . La unión disjunta se define así hasta una biyección.
Una forma estándar de construir la unión disjunta es definir A como el conjunto de pares ordenados ( x , i ) tal que y las funciones inyectivas por
Ejemplo
Considere los conjuntos y . Podemos indexar los elementos del conjunto de acuerdo con el origen del conjunto formando los conjuntos asociados
donde el segundo elemento de cada par coincide con el subíndice del conjunto de origen (por ejemplo, el en coincide con el subíndice en , etc.). La unión disjunta luego se puede calcular de la siguiente manera:
Definición de teoría de conjuntos
Formalmente, deja ser una familia de conjuntos indexados porLa unión disjunta de esta familia es el conjunto
Los elementos de la unión disjunta son pares ordenados Aquí sirve como índice auxiliar que indica qué el elemento vino de.
Cada uno de los conjuntos es canónicamente isomorfo al conjunto
A través de este isomorfismo, se puede considerar que está incrustado canónicamente en la unión disjunta. Para los conjuntos y son disjuntos incluso si los conjuntos y no son.
En el caso extremo donde cada uno de los es igual a un conjunto fijo para cada la unión disjunta es el producto cartesiano de y :
Ocasionalmente se puede ver la notación
para la unión disjunta de una familia de conjuntos, o la notación para la unión disjunta de dos conjuntos. Esta notación pretende sugerir el hecho de que la cardinalidad de la unión disjunta es la suma de las cardinalidades de los términos de la familia. Compare esto con la notación del producto cartesiano de una familia de conjuntos.
Las uniones disjuntas también se escriben a veces o
En el lenguaje de la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos . Por tanto, satisface la propiedad universal asociada . Esto también significa que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del producto cartesiano . Consulte el coproducto para obtener más detalles.
Para muchos propósitos, la elección particular del índice auxiliar no es importante y, en un abuso de notación simplificador , la familia indexada puede tratarse simplemente como una colección de conjuntos. En este casose conoce como una copia de y la notación a veces se utiliza.
Punto de vista de la teoría de categorías
En la teoría de categorías, la unión disjunta se define como un coproducto en la categoría de conjuntos.
Como tal, la unión disjunta se define hasta un isomorfismo, y la definición anterior es solo una realización del coproducto, entre otras. Cuando los conjuntos están separados por pares, la unión habitual es otra realización del coproducto. Esto justifica la segunda definición a la cabeza.
Este aspecto categórico de la unión disjunta explica por qué se utiliza con frecuencia, en lugar de , para denotar coproducto .
Ver también
- Coproducto - Construcción teórica de categorías
- Límite directo
- Unión disjunta (topología)
- Unión disjunta de gráficos
- Partición de un conjunto : formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
- Tipo de suma
- Unión etiquetada
- Unión (informática)
Referencias
- Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
- Weisstein, Eric W. "Unión disjunta" . MathWorld .