En geometría , un disco (también deletreado disco ) [1] es la región en un plano delimitada por un círculo . Se dice que un disco está cerrado si contiene el círculo que constituye su límite y abierto si no lo contiene. [2]
Fórmulas
En coordenadas cartesianas , el disco abierto del centroy el radio R viene dado por la fórmula [1]
mientras que el disco cerrado del mismo centro y radio está dado por
El área de un disco cerrado o abierto de radio R es π R 2 (ver área de un disco ). [3]
Propiedades
El disco tiene simetría circular . [4]
El disco abierto y el disco cerrado no son topológicamente equivalentes (es decir, no son homeomórficos ), ya que tienen propiedades topológicas diferentes entre sí. Por ejemplo, todo disco cerrado es compacto, mientras que todo disco abierto no es compacto. [5] Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica , comparten muchas propiedades: ambos son contráctiles [6] y, por lo tanto, son homotopías equivalentes a un solo punto. Esto implica que sus grupos fundamentales son triviales, y todos los grupos de homología son triviales, excepto el 0 ª, que es isomorfo a Z . La característica de Euler de un punto (y por tanto también la de un disco cerrado o abierto) es 1. [7]
Cada mapa continuo desde el disco cerrado hasta sí mismo tiene al menos un punto fijo (no requerimos que el mapa sea biyectivo o incluso sobreyectivo ); este es el caso n = 2 del teorema del punto fijo de Brouwer . [8] La afirmación es falsa para el disco abierto: [9]
Considere, por ejemplo, la función que mapea cada punto del disco de la unidad abierta a otro punto en el disco de la unidad abierta a la derecha del dado. Pero para el disco de la unidad cerrada, fija todos los puntos del semicírculo.
Ver también
- Unidad de disco , un disco con radio uno
- Anillo (matemáticas) , la región entre dos círculos concéntricos
- Bola (matemáticas) , el término habitual para el análogo tridimensional de un disco
- Álgebra de disco , un espacio de funciones en un disco
- Disco ortocentroidal , que contiene ciertos centros de un triángulo.
Referencias
- ^ a b Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics , Oxford University Press, pág. 138, ISBN 9780199679591.
- ^ Arnold, BH (2013), Conceptos intuitivos en topología elemental , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 58, ISBN 9780486275765.
- ^ Rotman, Joseph J. (2013), Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 44, ISBN 9780486151687.
- ^ Altmann, Simon L. (1992). Iconos y simetrías . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780198555995.
simetría circular del disco.
- ^ Maudlin, Tim (2014), Nuevos fundamentos para la geometría física: la teoría de las estructuras lineales , Oxford University Press, p. 339, ISBN 9780191004551.
- ^ Cohen, Daniel E. (1989), Teoría de grupo combinatoria: un enfoque topológico , Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres, 14 , Cambridge University Press, p. 79, ISBN 9780521349369.
- ^ En dimensiones más altas, la característica de Euler de una bola cerrada permanece igual a +1, pero la característica de Euler de una bola abierta es +1 para bolas de dimensiones pares y -1 para bolas de dimensiones impares. Ver Klain, Daniel A .; Rota, Gian-Carlo (1997), Introducción a la probabilidad geométrica , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, págs. 46–50.
- ^ Arnold (2013) , p. 132.
- ^ Arnold (2013) , ej. 1, pág. 135.