En matemáticas , la propiedad distributiva de las operaciones binarias generaliza la ley distributiva del álgebra elemental , que afirma que siempre se ha
Por ejemplo, uno tiene
- 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3) .
Uno dice que la multiplicación se distribuye sobre la suma .
Esta propiedad básica de los números se asume en la definición de la mayoría de las estructuras algebraicas que tienen dos operaciones llamadas suma y multiplicación, como números complejos , polinomios , matrices , anillos y campos . También se encuentra en el álgebra de Boole y la lógica matemática , donde cada uno de los lógicos y (denotado ∧ ) y el lógico o (denotado ∨ ) se distribuye sobre el otro.
Definición
Dado un conjunto S y dos operadores binarios ∗ y + en S , la operación ∗:
es distributivo por la izquierda sobre (o con respecto a) + si, dados los elementos x , y y z de S ,
es distributiva a la derecha sobre + si, dados los elementos x , y y z de S ,
- y
es distributivo sobre + si es distributivo a la izquierda y a la derecha. [1]
Cuando ∗ es conmutativa , las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes .
Significado
Los operadores utilizados para los ejemplos en esta sección son los de la adición habitual () y multiplicación ().
Si la operación denota no es conmutativa, hay una distinción entre distributividad izquierda y distributividad derecha:
- (distributivo a la izquierda)
- (distributivo a la derecha)
En cualquier caso, la propiedad distributiva se puede describir en palabras como:
Para multiplicar una suma (o diferencia ) por un factor, cada sumando (o minuendo y sustraendo ) se multiplica por este factor y los productos resultantes se suman (o restan).
Si la operación fuera del paréntesis (en este caso, la multiplicación) es conmutativa, entonces distributividad izquierda implica distributividad derecha y viceversa, y se habla simplemente de distributividad .
Un ejemplo de una operación que es "sólo" distributiva a la derecha es la división, que no es conmutativa:
En este caso, la distributividad por la izquierda no se aplica:
Las leyes distributivas se encuentran entre los axiomas para anillos (como el anillo de números enteros ) y campos (como el campo de números racionales ). Aquí la multiplicación es distributiva sobre la suma, pero la suma no es distributiva sobre la multiplicación. Ejemplos de estructuras con dos operaciones que son distributivas sobre la otra son las álgebras de Boole , como el álgebra de conjuntos o el álgebra de conmutación .
La multiplicación de sumas se puede expresar en palabras de la siguiente manera: cuando una suma se multiplica por una suma, multiplica cada sumando de una suma con cada sumando de la otra suma (haciendo un seguimiento de los signos) y luego suma todos los productos resultantes.
Ejemplos de
Numeros reales
En los siguientes ejemplos, el uso de la ley distributiva sobre el conjunto de números reales se ilustra. Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un campo , lo que asegura la validez de la ley distributiva.
- Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita)
- Durante la aritmética mental, la distributividad se usa a menudo inconscientemente:
- Segundo ejemplo (con variables)
- Tercer ejemplo (con dos sumas)
- Cuarto ejemplo
- Aquí la ley distributiva se aplica al revés en comparación con los ejemplos anteriores. Considerar
Matrices
La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices . Más precisamente,
para todos -matrices y -matrices , así como
para todos -matrices y -matrices . Debido a que la propiedad conmutativa no es válida para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se sigue de la primera ley. En este caso, son dos leyes diferentes.
Otros ejemplos
- La multiplicación de números ordinales , por el contrario, es sólo distributiva a la izquierda, no distributiva a la derecha.
- El producto cruzado es distributivo por la izquierda y por la derecha sobre la suma de vectores , aunque no conmutativo.
- La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección y la intersección es distributiva sobre la unión.
- La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("y") y viceversa.
- Para números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado ), la operación máxima es distributiva sobre la operación mínima, y viceversa: max ( a , min ( b , c )) = min (max ( a , b ), max ( a , c )) y min ( a , max ( b , c )) = max (min ( a , b ), min ( a , c )) .
- Para enteros , el máximo común divisor es distributivo sobre el mínimo común múltiplo y viceversa: mcd ( a , lcm ( b , c )) = lcm (mcd ( a , b ), mcd ( a , c )) y lcm ( a , mcd ( b , c )) = mcd (mcm ( a , b ), mcm ( a , c )) .
- Para números reales, la suma se distribuye sobre la operación máxima y también sobre la operación mínima: a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) y a + min ( b , c ) = min ( a + b , a + c ) .
- Para la multiplicación binomial , a veces se hace referencia a la distribución como el Método FOIL [2] (Primeros términos ac , Exterior ad , Interior bc y Último bd ) como: ( a + b ) · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd .
- En todos los semirrings , incluidos los números complejos , los cuaterniones , polinomios y matrices , la multiplicación se distribuye sobre la suma:.
- En todas las álgebras sobre un campo , incluidos los octoniones y otras álgebras no asociativas , la multiplicación se distribuye sobre la suma.
Lógica proposicional
Regla de reemplazo
En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución [3] [4] en las demostraciones lógicas usa dos reglas válidas de reemplazo para expandir apariciones individuales de ciertas conectivas lógicas , dentro de alguna fórmula , en aplicaciones separadas de esas conectivas a través de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son
y
dónde "", también escrito ≡ , es un símbolo metalogico que representa" puede ser reemplazado en una prueba con "o" es lógicamente equivalente a ".
Conectivos funcionales de verdad
La distributividad es una propiedad de algunas conectivas lógicas de la lógica proposicional funcional de verdad . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías de función de la verdad .
- Distribución de conjunción sobre conjunción
- Distribución de conjunción sobre disyunción
- Distribución de disyunción sobre conjunción
- Distribución de disyunción sobre disyunción
- Distribución de implicación
- Distribución de implicación sobre equivalencia
- :
- Distribución de implicación sobre conjunción
- Distribución de disyunción sobre equivalencia
- Doble distribución
Distributividad y redondeo
En aritmética aproximada, como la aritmética de punto flotante , la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética . Por ejemplo, la identidad 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 3 = (1 + 1 + 1) / 3falla enaritmética decimal, independientemente del número dedígitos significativos. Los métodos comoel redondeo bancariopueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables.
En anillos y otras estructuras
La distributividad se encuentra más comúnmente en anillos y redes distributivas .
Un anillo tiene dos operaciones binarias, comúnmente denominadas + y ∗, y uno de los requisitos de un anillo es que ∗ debe distribuirse sobre +.
Una celosía es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias, ∧ y ∨. Si cualquiera de estas operaciones se distribuye sobre la otra (digamos que ∧ distribuye sobre ∨), entonces la inversa también se cumple (∨ distribuye sobre ∧), y la red se llama distributiva. Véase también Distributividad (teoría del orden) .
Un álgebra booleana se puede interpretar como un tipo especial de anillo (un anillo booleano ) o un tipo especial de red distributiva (una red booleana ). Cada interpretación es responsable de diferentes leyes distributivas en el álgebra de Boole.
El fallo de una de las dos leyes distributivas produce cerca de los anillos y cerca de los campos en vez de anillos y anillos de división , respectivamente. Las operaciones generalmente se configuran para tener la distribución de anillo cercano o de campo cercano a la derecha pero no a la izquierda.
Los anillos y las celosías distributivas son tipos especiales de plataformas , que son generalizaciones de anillos que tienen la propiedad distributiva. Por ejemplo, los números naturales forman una plataforma.
Generalizaciones
En varias áreas matemáticas, se consideran las leyes de distributividad generalizada. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en la teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la ley distributiva infinita ; otros se definen en presencia de una sola operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo distributividad (teoría del orden) . Esto también incluye la noción de una red completamente distributiva .
En presencia de una relación de ordenación, también se pueden debilitar las igualdades anteriores reemplazando = por ≤ o ≥. Naturalmente, esto conducirá a conceptos significativos solo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistributividad como se explica en el artículo sobre aritmética de intervalos .
En la teoría de categorías , si ( S , μ , η ) y ( S ', μ ', η ') son mónadas en una categoría C , una ley distributiva S . S ′ → S ′. S es una transformación natural λ : S . S ′ → S ′. S tal que ( S ′, λ ) es un mapa laxo de mónadas S → S y ( S , λ ) es un mapa colax de mónadas S ′ → S ′ . Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada en S ′. S : el mapa de multiplicación es S ′ μ . μ ′ S 2 . S ' λS el mapa unidad y es η ' S . η . Ver: ley distributiva entre mónadas .
Una ley distributiva generalizada también se ha propuesto en el ámbito de la teoría de la información .
Antidistributividad
La identidad ubicua que relaciona las inversas con la operación binaria en cualquier grupo , a saber ( xy ) −1 = y −1 x −1 , que se toma como un axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución , a veces se ha llamado un propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria ). [5]
En el contexto de un anillo cercano , que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume solo una distributividad unilateral, se puede hablar de elementos distributivos (de dos lados) pero también de elementos antidistributivos . Este último invierte el orden de la adición (no conmutativa); Suponiendo que está cerca de la izquierda (es decir, uno que todos los elementos distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo a invierte el orden de la suma cuando se multiplica por la derecha: ( x + y ) a = ya + xa . [6]
En el estudio de la lógica de proposiciones y álgebra de Boole , el término ley antidistributive a veces se utiliza para denotar el intercambio entre la conjunción y la disyunción cuando los factores de implicación más de ellos: [7]
- ( a ∨ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∧ ( b ⇒ c )
- ( a ∧ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∨ ( b ⇒ c )
Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan .
Notas
- ^ Distributividad de operaciones binarias de Mathonline
- ^ Kim Steward (2011) Multiplicación de polinomios del laboratorio virtual de matemáticas en la Universidad West Texas A&M
- ^ Elliott Mendelson (1964) Introducción a la lógica matemática , página 21, D. Van Nostrand Company
- ^ Alfred Tarski (1941) Introducción a la lógica , página 52, Oxford University Press
- ^ Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. pag. 4 . ISBN 978-3-211-82971-4.
- ^ Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Pendientes: algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos . Editores académicos de Kluwer. págs. 62 y 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.
- ^ Eric CR Hehner (1993). Una teoría práctica de la programación . Springer Science & Business Media. pag. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.
enlaces externos
- Una demostración de la ley distributiva para aritmética de enteros (de cut-the-knot )