Divergencia

En cálculo vectorial , la divergencia es un operador vectorial que opera en un campo vectorial , produciendo un campo escalar que da la cantidad de la fuente del campo vectorial en cada punto. Más técnicamente, la divergencia representa la densidad de volumen del flujo hacia afuera de un campo vectorial desde un volumen infinitesimal alrededor de un punto dado.

La divergencia de diferentes campos vectoriales. La divergencia de vectores desde el punto (x, y) es igual a la suma de la derivada parcial con respecto a x del componente x y la derivada parcial con respecto a y del componente y en ese punto: ${\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \ {\mathbf {V} _{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \ {\mathbf {V} _{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}$

Como ejemplo, considere el aire a medida que se calienta o enfría. La velocidad del aire en cada punto define un campo vectorial. Mientras el aire se calienta en una región, se expande en todas las direcciones y, por lo tanto, el campo de velocidad apunta hacia afuera desde esa región. La divergencia del campo de velocidad en esa región tendría, por tanto, un valor positivo. Mientras el aire se enfría y por tanto se contrae, la divergencia de la velocidad tiene un valor negativo.

Interpretación física de la divergencia

En términos físicos, la divergencia de un campo vectorial es la medida en que el flujo del campo vectorial se comporta como una fuente en un punto dado. Es una medida local de su "salida": la medida en que hay más vectores de campo que salen de una región infinitesimal del espacio que que entran. Un punto en el que sale el flujo tiene una divergencia positiva y, a menudo, se le llama "fuente" del campo. Un punto en el que el flujo se dirige hacia adentro tiene una divergencia negativa y, a menudo, se le llama "sumidero" del campo. Cuanto mayor sea el flujo de campo a través de una pequeña superficie que encierra un punto dado, mayor será el valor de divergencia en ese punto. Un punto en el que hay flujo cero a través de una superficie envolvente tiene divergencia cero.

La divergencia de un campo vectorial se ilustra a menudo con el ejemplo del campo de velocidad de un fluido, un líquido o un gas. Un gas en movimiento tiene una velocidad , una rapidez y una dirección, en cada punto que se puede representar con un vector , por lo que la velocidad del gas forma un campo vectorial . Si se calienta un gas, se expandirá. Esto provocará un movimiento neto de partículas de gas hacia afuera en todas direcciones. Cualquier superficie cerrada en el gas encerrará el gas que se está expandiendo, por lo que habrá un flujo de gas hacia afuera a través de la superficie. Entonces, el campo de velocidad tendrá divergencia positiva en todas partes. Del mismo modo, si el gas se enfría, se contraerá. Habrá más espacio para las partículas de gas en cualquier volumen, por lo que la presión externa del fluido provocará un flujo neto de volumen de gas hacia adentro a través de cualquier superficie cerrada. Por lo tanto, el campo de velocidad tiene divergencia negativa en todas partes. En contraste con un gas sin calentar con una densidad constante, el gas puede estar en movimiento, pero la tasa de volumen de gas que fluye hacia cualquier superficie cerrada debe ser igual a la tasa de volumen que fluye hacia afuera, por lo que el flujo neto de fluido a través de cualquier superficie cerrada es cero. Por tanto, la velocidad del gas tiene una divergencia cero en todas partes. Un campo que tiene cero divergencia en todas partes se llama solenoide .

Si el fluido se calienta solo en un punto o región pequeña, o se introduce un tubo pequeño que suministra una fuente de fluido adicional en un punto, el fluido allí se expandirá, empujando las partículas de fluido a su alrededor hacia afuera en todas direcciones. Esto provocará un campo de velocidad hacia el exterior en todo el fluido, centrado en el punto calentado. Cualquier superficie cerrada que encierre el punto calentado tendrá un flujo de partículas fluidas saliendo de ella, por lo que existe una divergencia positiva en ese punto. Sin embargo, cualquier superficie cerrada que no encierre el punto tendrá una densidad constante de fluido en el interior, por lo que entran tantas partículas de fluido como salen del volumen, por lo que el flujo neto fuera del volumen es cero. Por lo tanto, la divergencia en cualquier otro punto es cero.

Definición

La divergencia en un punto x es el límite de la relación del flujo ${\displaystyle \Phi }$a través de la superficie S _i (flechas rojas) hasta el volumen ${\displaystyle |V_{i}|}$para cualquier secuencia de regiones cerradas V ₁ , V ₂ , V ₃ ,… que encierran x que se acerque al volumen cero:
${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}}$

La divergencia de un campo vectorial F ( x ) en un punto x ₀ se define como el límite de la relación de la integral de superficie de F fuera de la superficie de un volumen cerrado V que encierra x ₀ al volumen de V , cuando V se contrae a cero

${\displaystyle \left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}}$${\displaystyle \scriptstyle S(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS}$

donde | V | es el volumen de V , S ( V ) es el límite de V , y${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$es la unidad exterior normal a esa superficie. Se puede demostrar que el límite anterior siempre converge al mismo valor para cualquier secuencia de volúmenes que contenga x ₀ y se acerquen al volumen cero. El resultado, div F , es una función escalar de x .

Dado que esta definición no tiene coordenadas, muestra que la divergencia es la misma en cualquier sistema de coordenadas . Sin embargo, no se utiliza a menudo en la práctica para calcular la divergencia; cuando el campo vectorial se proporciona en un sistema de coordenadas, las siguientes definiciones de coordenadas son mucho más sencillas de usar.

Un campo vectorial con divergencia cero en todas partes se llama solenoide , en cuyo caso ninguna superficie cerrada tiene un flujo neto a través de ella.

Definición en coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas tridimensionales, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$se define como la función con valor escalar :

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Aunque se expresa en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones , como sugiere la interpretación física. Esto es debido a la traza de la matriz jacobiana de un N campo vectorial -dimensional F en N espacio dimensional es invariante bajo cualquier transformación lineal invertible.

La notación común para la divergencia ∇ · F es un mnemónico conveniente, donde el punto denota una operación que recuerda al producto escalar : tome los componentes del operador ∇ (ver del ), aplíquelos a los componentes correspondientes de F y sume el resultados. Debido a que aplicar un operador es diferente de multiplicar los componentes, esto se considera un abuso de notación .

Coordenadas cilíndricas

Para un vector expresado en coordenadas cilíndricas de unidad local como

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}$

donde e _a es el vector unitario en la dirección a , la divergencia es ^[1]

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

El uso de coordenadas locales es vital para la validez de la expresión. Si consideramos x el vector de posición y las funciones r ( x ) , θ ( x ) , y z ( x ) , que asignar la correspondiente mundial de coordenadas cilíndrico a un vector, en general${\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}$, y ${\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}$. En particular, si consideramos la función identidad F ( x ) = x , encontramos que:

${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0}$.

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas , con θ el ángulo con el eje zy φ la rotación alrededor del eje z , y F nuevamente escrito en coordenadas de unidades locales, la divergencia es ^[2]

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Campo tensorial

Sea A un campo tensorial de segundo orden continuamente diferenciable definido de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}$

la divergencia en el sistema de coordenadas cartesianas es un campo tensorial de primer orden ^[3] y se puede definir de dos maneras: ^[4]

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )={\cfrac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}$

y ^{[5] [6] [7] [8]}

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\cfrac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

Tenemos

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A^{T}} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$

Si el tensor es simétrico A _ij = A _ji entonces${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$. Debido a esto, a menudo en la literatura las dos definiciones (y los símbolos div y${\displaystyle \nabla \cdot }$) se usan indistintamente (especialmente en ecuaciones mecánicas donde se supone simetría tensorial).

Expresiones de ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$en coordenadas cilíndricas y esféricas se dan en el artículo del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Coordenadas generales

Usando la notación de Einstein podemos considerar la divergencia en coordenadas generales , que escribimos como x ¹ ,…, x ⁱ ,…, x ⁿ , donde n es el número de dimensiones del dominio. Aquí, el índice superior se refiere al número de la coordenada o componente, por lo que x ^{2 se} refiere al segundo componente, y no a la cantidad x al cuadrado. La variable de índice i se usa para referirse a un componente arbitrario, como x ⁱ . La divergencia se puede escribir mediante la fórmula de Voss - Weyl , ^[9] como:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left(\rho \,F^{i}\right)}{\partial x^{i}}},}$

dónde ${\displaystyle \rho }$es el coeficiente local del elemento de volumen y F ⁱ son los componentes de F con respecto a la base covariante local no normalizada (a veces escrito como${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$) . La notación de Einstein implica una suma sobre i , ya que aparece como índice superior e inferior.

El coeficiente de volumen ρ es una función de la posición que depende del sistema de coordenadas. En coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, utilizando las mismas convenciones que antes, tenemos ρ = 1 , ρ = r y ρ = r ² sin θ , respectivamente. El volumen también se puede expresar como${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}$, donde g _ab es el tensor métrico . El determinante aparece porque proporciona la definición invariante apropiada del volumen, dado un conjunto de vectores. Dado que el determinante es una cantidad escalar que no depende de los índices, estos pueden suprimirse escribiendo${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}$. El valor absoluto se toma para manejar el caso general donde el determinante puede ser negativo, como en los espacios pseudo-Riemannianos. La razón de la raíz cuadrada es un poco sutil: evita de manera efectiva el conteo doble cuando se pasa de coordenadas curvas a cartesianas y viceversa. El volumen (el determinante) también puede entenderse como el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a curvilíneas, que para n = 3 da${\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}$.

Algunas convenciones esperan que todos los elementos de la base local se normalicen a la longitud unitaria, como se hizo en las secciones anteriores. Si escribimos${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ para la base normalizada, y ${\displaystyle {\hat {F}}^{i}}$para los componentes de F con respecto a él, tenemos que

${\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},}$

usando una de las propiedades del tensor métrico. Punteando ambos lados de la última igualdad con el elemento contravariante${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$, podemos concluir que ${\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}$. Después de sustituir, la fórmula se convierte en:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$

Consulte § En coordenadas curvilíneas para una mayor discusión.

Propiedades

Las siguientes propiedades pueden derivarse todas de las reglas de diferenciación ordinarias del cálculo . Más importante aún, la divergencia es un operador lineal , es decir,

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }$

para todos los campos de vectores F y G y todas números reales a y b .

Existe una regla de producto del siguiente tipo: si φ es una función con valores escalares y F es un campo vectorial, entonces

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}$

o en notación más sugerente

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

Otra regla de producto para el producto cruzado de dos campos vectoriales F y G en tres dimensiones involucra el rizo y dice lo siguiente:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}$

o

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}$

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia del gradiente del campo :

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}$

La divergencia del rizo de cualquier campo vectorial (en tres dimensiones) es igual a cero:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

Si un campo vectorial F con divergencia cero se define en una bola en R ³ , entonces existe algún campo vector G en el balón con F = rot G . Para regiones en R ³ más complicadas topológicamente que esto, la última afirmación podría ser falsa (ver lema de Poincaré ). El grado de falla de la verdad del enunciado, medido por la homología del complejo de cadena.

${\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}}$

sirve como una buena cuantificación del complicatedness de la región subyacente T . Estos son los inicios y las principales motivaciones de la cohomología de De Rham .

Teorema de descomposición

Puede demostrarse que cualquier flujo estacionario v ( r ) que sea dos veces diferenciable de forma continua en R ³ y se desvanezca lo suficientemente rápido para | r | → ∞ se puede descomponer únicamente en una parte irrotacional E ( r ) y una parte libre de fuente B ( r ) . Además, estas partes están determinadas explícitamente por las respectivas densidades de fuente (ver arriba) y densidades de circulación (ver el artículo Curl ):

Para la parte de irritación uno tiene

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),}$

con

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$

La parte libre de fuente, B , se puede escribir de manera similar: uno solo tiene que reemplazar el potencial escalar Φ ( r ) por un potencial vectorial A ( r ) y los términos −∇Φ por + ∇ × A , y la densidad de la fuente div v por la densidad de circulación ∇ × v .

Este "teorema de descomposición" es un subproducto del caso estacionario de la electrodinámica . Es un caso especial de la descomposición más general de Helmholtz , que también funciona en dimensiones superiores a tres.

En dimensiones arbitrarias

La divergencia de un campo vectorial se puede definir en cualquier número de dimensiones. Si

${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),}$

en un sistema de coordenadas euclidianas con coordenadas x ₁ , x ₂ , ..., x _n , defina

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.}$

En el caso de una dimensión, F se reduce a una función regular y la divergencia se reduce a la derivada.

Para cualquier n , la divergencia es un operador lineal y satisface la "regla del producto"

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$

para cualquier función con valores escalares φ .

Relación con la derivada exterior

Se puede expresar la divergencia como un caso particular de la derivada exterior , que toma una forma 2 a una forma 3 en R ³ . Defina la forma actual de dos como

${\displaystyle j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.}$

Se mide la cantidad de "cosas" que fluye a través de una superficie por unidad de tiempo en un "fluido cosas" de la densidad ρ = 1 dx ∧ dy ∧ dz se mueve con velocidad local F . Su derivada exterior dj viene dada por

${\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho }$

dónde ${\displaystyle \wedge }$es el producto de la cuña .

Por tanto, la divergencia del campo vectorial F se puede expresar como:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.}$

Aquí el superíndice ♭ es uno de los dos isomorfismos musicales y ⋆ es el operador de estrella de Hodge . Cuando la divergencia se escribe de esta manera, el operador${\displaystyle {\star }d{\star }}$se conoce como codiferencial . Trabajar con las dos formas actuales y la derivada exterior suele ser más fácil que trabajar con el campo vectorial y la divergencia, porque a diferencia de la divergencia, la derivada exterior conmuta con un cambio de sistema de coordenadas (curvilíneo).

En coordenadas curvilíneas

La expresión apropiada es más complicada en coordenadas curvilíneas . La divergencia de un campo vectorial se extiende naturalmente a cualquier variedad diferenciable de dimensión n que tenga una forma de volumen (o densidad ) μ , por ejemplo, una variedad de Riemann o Lorentz . Generalizando la construcción de una de dos forma para un campo de vector en R ³ , en tal un colector de un campo vectorial X define un ( n - 1) -forma j = i _X  μ obtenido por contratación X con μ . La divergencia es entonces la función definida por

${\displaystyle dj=(\operatorname {div} X)\mu .}$

La divergencia se puede definir en términos de la derivada de Lie como

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .}$

Esto significa que la divergencia mide la tasa de expansión de una unidad de volumen (un elemento de volumen ) a medida que fluye con el campo vectorial.

En una variedad pseudo-Riemanniana , la divergencia con respecto al volumen se puede expresar en términos de la conexión Levi-Civita ∇ :

${\displaystyle \operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},}$

donde la segunda expresión es la contracción del campo vectorial valorado en forma 1 ∇ X consigo mismo y la última expresión es la expresión de coordenadas tradicional del cálculo de Ricci .

Una expresión equivalente sin usar una conexión es

${\displaystyle \operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),}$

donde g es la métrica y${\displaystyle \partial _{a}}$denota la derivada parcial con respecto a la coordenada x ^a . La raíz cuadrada del (valor absoluto del determinante de la) métrica aparece porque la divergencia debe escribirse con la concepción correcta del volumen . En coordenadas curvilíneas, los vectores base ya no son ortonormales; el determinante codifica la idea correcta de volumen en este caso. Aparece dos veces, aquí, una vez, de modo que el${\displaystyle X^{a}}$ se puede transformar en "espacio plano" (donde las coordenadas son en realidad ortonormales), y una vez más para que ${\displaystyle \partial _{a}}$también se transforma en "espacio plano", de modo que finalmente, la divergencia "ordinaria" puede escribirse con el concepto "ordinario" de volumen en espacio plano ( es decir, unidad de volumen, es decir , uno, es decir , no escrito). La raíz cuadrada aparece en el denominador, porque la derivada se transforma de manera opuesta ( contravariamente ) al vector (que es covariante ). Esta idea de llegar a un "sistema de coordenadas planas" donde los cálculos locales se pueden realizar de forma convencional se denomina vielbein . Una forma diferente de ver esto es notar que la divergencia es la codiferencial disfrazada. Es decir, la divergencia corresponde a la expresión${\displaystyle \star d\star }$ con ${\displaystyle d}$el diferencial y${\displaystyle \star }$la estrella de Hodge . La estrella de Hodge, por su construcción, hace que la forma del volumen aparezca en todos los lugares correctos.

La divergencia de tensores

La divergencia también se puede generalizar a tensores . En notación de Einstein , la divergencia de un vector contravariante F ^μ viene dada por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },}$

donde ∇ _μ denota la derivada covariante . En este marco general, la formulación correcta de la divergencia es reconocer que es codiferencial ; las propiedades apropiadas siguen a partir de ahí.

De manera equivalente, algunos autores definen la divergencia de un tensor mixto usando el isomorfismo musical ♯ : si T es un ( p , q ) - tensor ( p para el vector contravariante yq para el covariante), entonces definimos la divergencia de T ser el ( p , q - 1) -tensor

${\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};}$

es decir, tomamos la traza sobre los dos primeros índices covariantes de la derivada covariante. ^[a] El${\displaystyle \sharp }$símbolo se refiere al isomorfismo musical .

Ver también

• Rizo
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Teorema de divergencia
• Degradado

Notas

1. La elección del "primer" índice covariante de un tensor es intrínseca y depende del orden de los términos del producto cartesiano de los espacios vectoriales en los que se da el tensor como un mapa multilineal V × V × ... × V → R . Pero se podrían hacer elecciones igualmente bien definidas para la divergencia utilizando otros índices. En consecuencia, es más natural especificar la divergencia de T con respecto a un índice específico. Sin embargo, hay dos casos especiales importantes en los que esta elección es esencialmente irrelevante: con un tensor contravariante totalmente simétrico, cuando todas las opciones son equivalentes, y con un tensor contravariante totalmente antisimétrico ( también conocido como unvector k ), cuando la elección afecta solo al signo.

Citas

1. Coordenadas cilíndricas en Wolfram Mathworld
2. Coordenadas esféricas en Wolfram Mathworld
3. Gurtin 1981 , p. 30.
4. "1.14 cálculo de tensor I: campos de tensor" (PDF) . Fundamentos de la mecánica del continuo .
5. William M. Deen (2016). Introducción a la Mecánica de Fluidos de la Ingeniería Química . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 133. ISBN 978-1-107-12377-9.
6. Sara Noferesti, Hassan Ghassemi, Hashem Nowruzi (15 de mayo de 2019). "Investigación numérica sobre los efectos de la obstrucción y la relación lateral en el comportamiento del flujo de fluido no newtoniano alrededor de una barrera rectangular" (PDF) : 56,59. doi : 10.17512 / jamcm.2019.1.05 .
7. Tasos C. Papanastasiou, Georgios C. Georgiou, Andreas N. Alexandrou (2000). Flujo de fluido viscoso (PDF) . Prensa CRC. pag. 66,68. ISBN 0-8493-1606-5.
8. Adam Powell (12 de abril de 2010). "Las ecuaciones de Navier-Stokes" (PDF) .
9. Grinfeld, Pavel. "La fórmula de Voss-Weyl" . Consultado el 9 de enero de 2018 .

Referencias

• Brewer, Jess H. (1999). "DIVERGENCIA de un campo vectorial" . musr.phas.ubc.ca . Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2007 . Consultado el 9 de agosto de 2016 .
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Edwards, CH (1994). Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 0-486-68336-2.
• Gurtin, Morton (1981). Introducción a la mecánica del continuo . Prensa académica. ISBN 0-12-309750-9.
• Korn, Theresa M .; Korn, Granino Arthur (enero de 2000). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión . Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.

enlaces externos

• "Divergence" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La idea de divergencia de un campo vectorial.
• Khan Academy: videolección de divergencia
• Sanderson, Grant (21 de junio de 2018). "Divergencia y rizo: el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, flujo de fluidos y más" . 3Blue1Brown : a través de YouTube .