Divisor

Entero que divide uniformemente otro entero

Este artículo trata sobre un número entero que divide uniformemente otro número entero. Para un número usado para dividir otro número en una operación de división, vea División (matemáticas) . Para otros usos, consulte Divisor (desambiguación) .

"Divisible" vuelve a dirigir aquí. Para la divisibilidad de grupos, consulte Grupo divisible .

Los divisores de 10 ilustrados con varillas de Cuisenaire : 1, 2, 5 y 10

En matemáticas , un divisor de un número entero , también llamado factor de , es un número entero que se puede multiplicar por algún número entero para producir . En este caso, también se dice que es múltiplo de Un entero es divisible por otro entero si es divisor de ; esto implica dividir por no deja resto.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

Definición

Si y son números enteros distintos de cero, y más generalmente, elementos distintos de cero de un dominio integral , se dice que divide , es un divisor de o es un múltiplo de y esto se escribe como${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m,}$

${\displaystyle m\mid n,}$

si existe un número entero , o un elemento del dominio integral, tal que . ^[1]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle mk=n}$

Esta definición a veces se amplía para incluir cero. ^[2] Esto no agrega mucho a la teoría, ya que 0 no divide a ningún otro número y cada número divide a 0. Por otro lado, excluir el cero de la definición simplifica muchas afirmaciones. Además, en la teoría de anillos , un elemento a se denomina " divisor de cero " sólo si es distinto de cero y ab = 0 para un elemento b distinto de cero . Por lo tanto, no hay divisores de cero entre los números enteros (y, por definición, no hay divisores de cero en un dominio integral).

General

Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a veces el término se restringe a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4; son 1, 2, 4, -1, -2 y -4, pero normalmente solo se mencionarían los positivos (1, 2 y 4).

1 y -1 dividen (son divisores de) cada entero. Todo entero (y su negación) es un divisor de sí mismo. Los números enteros divisibles por 2 se llaman pares y los números enteros que no son divisibles por 2 se llaman impares .

1, −1, n y - n se conocen como los divisores triviales de n . Un divisor de n que no es un divisor trivial se conoce como divisor no trivial (o divisor estricto ^[3] ). Un número entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto , mientras que las unidades -1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales.

Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de los dígitos del número.

Ejemplos

Representación del número de divisores de números enteros del 1 al 1000. Los números primos tienen exactamente 2 divisores y los números muy compuestos están en negrita.

• 7 es divisor de 42 porque , así podemos decir . También se puede decir que 42 es divisible entre 7, 42 es un múltiplo de 7, 7 divide a 42 o 7 es un factor de 42.${\displaystyle 7\times 6=42}$${\displaystyle 7\mid 42}$
• Los divisores no triviales de 6 son 2, −2, 3, −3.
• Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• El conjunto de todos los divisores positivos de 60 , parcialmente ordenados por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse :${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$

Más nociones y hechos

Hay algunas reglas elementales:

• Si y , entonces , es decir, la divisibilidad es una relación transitiva .${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle b\mid c}$${\displaystyle a\mid c}$
• Si y , entonces o .${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle b\mid a}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=-b}$
• Si y , entonces se mantiene, como lo hace . ^[4] Sin embargo, si y , a continuación, qué no siempre espera (por ejemplo y pero 5 no divide 6).${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle a\mid c}$${\displaystyle a\mid (b+c)}$${\displaystyle a\mid (b-c)}$${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle c\mid b}$${\displaystyle (a+c)\mid b}$${\displaystyle 2\mid 6}$${\displaystyle 3\mid 6}$

Si , y gcd , entonces . Esto se llama lema de Euclides .${\displaystyle a\mid bc}$${\displaystyle (a,b)=1}$${\displaystyle a\mid c}$

Si es un número primo y luego o .${\displaystyle p}$${\displaystyle p\mid ab}$${\displaystyle p\mid a}$${\displaystyle p\mid b}$

Un divisor positivo del cual es diferente de se llama divisor propio o parte alícuota de . Un número que no se divide uniformemente pero que deja un resto a veces se denomina parte alicuante de .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Un número entero cuyo único divisor propio es 1 se llama número primo . De manera equivalente, un número primo es un entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y él mismo.${\displaystyle n>1}$

Cualquier divisor positivo de es un producto de los divisores principales de elevado a alguna potencia. Ésta es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Se dice que un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que y abundante si esta suma excede .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

El número total de divisores positivos de es una función multiplicativa , lo que significa que cuando dos números y son primos relativos , entonces . Por ejemplo, ; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números y comparten un divisor común, entonces puede que no sea ​​verdad eso . La suma de los divisores positivos de es otra función multiplicativa (p . Ej .). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisorias .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

Si la factorización prima de está dada por${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de es${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

donde para cada${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Por cada naturales , .${\displaystyle n}$${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}$

Además, ^[5]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . Una interpretación de este resultado es que un número entero positivo n elegido al azar tiene un número medio de divisores de aproximadamente . Sin embargo, esto es el resultado de las contribuciones de números con divisores "anormalmente muchos" .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln n}$

En álgebra abstracta

En definiciones que incluyen 0, la relación de divisibilidad convierte el conjunto de enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado : una red distributiva completa . El elemento más importante de esta red es 0 y el más pequeño es 1. La operación se reúnen ∧ está dada por el máximo común divisor y el funcionamiento unirse ∨ por el mínimo común múltiplo . Este enrejado es isomorfo al dual del enrejado de subgrupos del grupo cíclico infinito .${\displaystyle \mathbb {N} }$ Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

Ver también

• Funciones aritméticas
• Regla de divisibilidad
• Función divisor
• Algoritmo de Euclides
• Fracción (matemáticas)
• Tabla de divisores : una tabla de divisores primos y no primos para 1–1000
• Tabla de factores primos : una tabla de factores primos para 1–1000
• Divisor unitario

Notas

Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Junio ​​de 2015 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

1. por ejemplo, Sims 1984 , p. 42 o Durbin 1992 , pág. 61
2. Herstein 1986 , p. 26
3. FoCaLiZe y Dedukti al rescate para probar la interoperabilidad por Raphael Cauderlier y Catherine Dubois
4. . Similar,${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)}$${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)}$
5. Hardy, GH ; Wright, EM (17 de abril de 1980). Introducción a la teoría de los números . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 264 . ISBN 0-19-853171-0.

Referencias

• Durbin, John R. (1992). Álgebra moderna: una introducción (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7.
• Richard K. Guy , Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; sección B. 
• Herstein, IN (1986), Álgebra abstracta , Nueva York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Øystein Ore , Teoría de números y su historia, McGraw-Hill, NY, 1944 (y reimpresiones de Dover).
• Sims, Charles C. (1984), Álgebra abstracta: un enfoque computacional , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9