Producto escalar

Algebraic operation returning a single number from two equal-length sequences

El "producto escalar" vuelve a dirigir aquí. Para el producto escalar abstracto, consulte Espacio de producto interno . Para el producto de un vector y un escalar, consulte Multiplicación escalar .

En matemáticas , el producto escalar o producto escalar ^{[nota 1]} es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas ) y devuelve un solo número. En geometría euclidiana , el producto escalar de las coordenadas cartesianas de dos vectores se usa ampliamente. A menudo se le llama "el" producto interno (o raramente producto de proyección ) del espacio euclidiano, aunque no es el único producto interno que se puede definir en el espacio euclidiano (ver Espacio de producto interno para más información).

Algebraicamente, el producto escalar es la suma de los productos de las entradas correspondientes de las dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de las magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Estas definiciones son equivalentes cuando se utilizan coordenadas cartesianas. En la geometría moderna , los espacios euclidianos a menudo se definen mediante el uso de espacios vectoriales . En este caso, el producto escalar se usa para definir longitudes (la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo) y ángulos (el coseno del ángulo de dos vectores es el cociente de su producto escalar por el producto de sus longitudes).

El nombre "producto escalar" se deriva del punto centrado "  ·  ", que se utiliza a menudo para designar esta operación; ^{[1] [2]} el nombre alternativo "producto escalar" enfatiza que el resultado es un escalar , en lugar de un vector , como es el caso del producto vectorial en el espacio tridimensional.

Definición

El producto escalar puede definirse de forma algebraica o geométrica. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y distancia (magnitud de los vectores). La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesiano para el espacio euclidiano.

En las presentaciones modernas de la geometría euclidiana , los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas , y el propio espacio euclidiano se identifica comúnmente con el espacio de coordenadas reales R ⁿ . En tal presentación, las nociones de longitud y ángulos se definen mediante el producto escalar. La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo, y el coseno del ángulo (no orientado) de dos vectores de longitud uno se define como su producto escalar. Entonces, la equivalencia de las dos definiciones del producto escalar es parte de la equivalencia de las formulaciones clásica y moderna de la geometría euclidiana.

Definición algebraica

El producto escalar de dos vectores a = [ a ₁ , a ₂ ,…, a _n ] y b = [ b ₁ , b ₂ ,…, b _n ] se define como: ^[3]

${\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\sum _{i=1}^{n}{\color {red}a}_{i}{\color {blue}b}_{i}={\color {red}a}_{1}{\color {blue}b}_{1}+{\color {red}a}_{2}{\color {blue}b}_{2}+\cdots +{\color {red}a}_{n}{\color {blue}b}_{n}}$

donde Σ denota suma y n es la dimensión de la espacio vectorial . Por ejemplo, en el espacio tridimensional , el producto escalar de los vectores [1, 3, −5] y [4, −2, −1] es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [{\color {red}1,3,-5}]\cdot [{\color {blue}4,-2,-1}]&=({\color {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$

Si los vectores se identifican con matrices de filas , el producto escalar también se puede escribir como un producto matricial

${\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}$

donde denota la transposición de .${\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} }$

Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 ( vector de fila ) se multiplica por una matriz de 3 × 1 ( vector de columna ) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {purple}3}$.

Definición geométrica

Ilustración que muestra cómo encontrar el ángulo entre vectores usando el producto escalar

Calcular los ángulos de enlace de una geometría molecular tetraédrica simétrica utilizando un producto escalar

En el espacio euclidiano , un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee tanto una magnitud como una dirección. Un vector se puede representar como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector a se denota mediante . El producto escalar de dos euclidiana vectores de una y b se define por ^{[4] [5] [2]}${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre una y b .

En particular, si los vectores un y b son ortogonales (es decir, su ángulo es π / 2 o 90 °), entonces , lo que implica que${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$

En el otro extremo, si son codireccionales, entonces el ángulo entre ellos es cero con y${\displaystyle \cos 0=1}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$

Esto implica que el producto escalar de un vector a consigo mismo es

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$

lo que da

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

Proyección escalar y primeras propiedades

Proyección escalar

La proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano a en la dirección de un vector euclidiano b está dada por

${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre una y b .

En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto se puede reescribir

${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$

donde es el vector unitario en la dirección de b .${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$

Ley distributiva del producto escalar

Por tanto, el producto escalar se caracteriza geométricamente por ^[6]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$

El producto escalar, definido de esta manera, es homogéneo bajo escala en cada variable, lo que significa que para cualquier α escalar ,

${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$

También satisface una ley distributiva , lo que significa que

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$

Estas propiedades pueden resumirse diciendo que el producto escalar es una forma bilineal . Además, esta forma bilineal es positiva definida , lo que significa que nunca es negativa, y es cero si y sólo si —el vector cero.${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

Por tanto, el producto escalar equivale a multiplicar la norma (longitud) de b por la norma de la proyección de a sobre b .

Equivalencia de las definiciones

Si e ₁ , ..., e _n son los vectores base estándar en R ⁿ , entonces podemos escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$

Los vectores e _i son una base ortonormal , lo que significa que tienen una unidad de longitud y forman ángulos rectos entre sí. Por lo tanto, dado que estos vectores tienen una longitud unitaria

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$

y como forman ángulos rectos entre sí, si i ≠ j ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$

Así, en general, podemos decir que:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}$

Donde δ _ij es el delta de Kronecker .

Componentes vectoriales en una base ortonormal

Además, por la definición geométrica, para cualquier vector e _i y un vector a , observamos

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$

donde a _i es la componente del vector a en la dirección de e _i . El último paso en la igualdad se puede ver en la figura.

Ahora, aplicando la distributividad de la versión geométrica del producto escalar se obtiene

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$

que es precisamente la definición algebraica del producto escalar. Entonces, el producto escalar geométrico es igual al producto escalar algebraico.

Propiedades

El producto escalar cumple las siguientes propiedades si un , b , y c son reales vectores y r es un escalar . ^{[3] [4]}

1. Conmutativo :

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$

   que se deduce de la definición ( θ es el ángulo entre una y b ): ^[7]

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$

2. Distributiva sobre la suma vectorial:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$

3. Bilineal :

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$

4. Multiplicación escalar :

   ${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$

5. No asociativo porque el producto escalar ( a ⋅ b ) y un vector ( c ) no está definido, lo que significa que las expresiones involucradas en la propiedad asociativa, ( a ⋅ b ) ⋅ c o a ⋅ ( b ⋅ c ) ambos están mal definidos. ^[8] Sin embargo, tenga en cuenta que la propiedad de multiplicación escalar mencionada anteriormente a veces se denomina "ley asociativa para escalar y producto escalar" ^[9] o se puede decir que "el producto escalar es asociativo con respecto a la multiplicación escalar" porque c ( a ⋅ b ) = ( c a ) ⋅b = una ⋅ ( c b ). ^[10]
6. Ortogonal :

   Dos vectores distintos de cero a y b son ortogonales si y solo si a ⋅ b = 0 .

7. Sin cancelación :

   A diferencia de la multiplicación de números ordinarios, donde si ab = ac , entonces b siempre es igual a c a menos que a sea ​​cero, el producto escalar no obedece a la ley de cancelación :

   Si un ⋅ b = un ⋅ C y una ≠ 0 , entonces podemos escribir: un ⋅ ( b - c ) = 0 por la ley distributiva ; el resultado anterior dice que esto solo significa que a es perpendicular a ( b - c ) , lo que aún permite ( b - c ) ≠ 0 , y por lo tanto permite b ≠ c .

8. Regla de producto :

   Si un y b son (con valores vectoriales) funciones diferenciables , a continuación, el derivado ( denotado por un primer ') de un ⋅ b viene dada por la regla ( un ⋅ b )' = un '⋅ b + un ⋅ b ' .

Aplicación a la ley de los cosenos

Triángulo con vector bordes un y b , separados por el ángulo θ .

Artículo principal: Ley de los cosenos.

Dados dos vectores de una y b separados por el ángulo θ (ver imagen de la derecha), que forman un triángulo con un tercer lado c = un - b . El producto escalar de esto consigo mismo es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&=\mathbf {\color {red}a} ^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +\mathbf {\color {blue}b} ^{2}\\&=\mathbf {\color {red}a} ^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +\mathbf {\color {blue}b} ^{2}\\\mathbf {\color {orange}c} ^{2}&=\mathbf {\color {red}a} ^{2}+\mathbf {\color {blue}b} ^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} \cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$

que es la ley de los cosenos .

Triple producto

Artículo principal: producto triple

Hay dos operaciones ternarias que involucran producto escalar y producto cruzado .

El triple producto escalar de tres vectores se define como

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Su valor es el determinante de la matriz cuyas columnas son las coordenadas cartesianas de los tres vectores. Es el volumen con signo del Paralelepípedo definido por los tres vectores.

El producto triple del vector está definido por ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$

Esta identidad, también conocida como fórmula de Lagrange , puede recordarse como "BAC menos CAB", teniendo en cuenta qué vectores están punteados. Esta fórmula tiene aplicaciones para simplificar cálculos vectoriales en física .

Física

En física , la magnitud vectorial es un escalar en el sentido físico (es decir, una cantidad física independiente del sistema de coordenadas), expresada como el producto de un valor numérico y una unidad física , no solo un número. El producto escalar también es un escalar en este sentido, dado por la fórmula, independiente del sistema de coordenadas. Por ejemplo: ^{[11] [12]}

• El trabajo mecánico es el producto escalar de los vectores de fuerza y desplazamiento ,
• La potencia es el producto escalar de la fuerza y la velocidad .

Generalizaciones

Vectores complejos

Para los vectores con entradas complejas , el uso de la definición dada del producto escalar conduciría a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto escalar de un vector consigo mismo sería un número complejo arbitrario y podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (tales vectores se denominan isotrópicos ); esto a su vez tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma positiva-definida pueden salvarse a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto escalar, a través de la definición alternativa ^{[13] [3]}

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {a_{i}}}\,b_{i}},}$

donde es el complejo conjugado de . También se puede expresar en términos de la transposición conjugada (indicada con el superíndice H):${\displaystyle {\overline {a_{i}}}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\text{H}}\mathbf {b} .}$

donde se suponía que los vectores estaban representados como vectores de fila. Entonces, el producto escalar de cualquier vector consigo mismo es un número real no negativo y es distinto de cero excepto por el vector cero. Sin embargo, este producto escalar es sesquilineal en lugar de bilineal: es lineal conjugado y no lineal en a , y el producto escalar no es simétrico, ya que

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$

El ángulo entre dos vectores complejos viene dado por

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$

Sin embargo, este tipo de producto escalar es útil y conduce a las nociones de forma hermitiana y de espacios interiores generales de productos . El producto de puntos propios de un vector complejo es una generalización del cuadrado absoluto de un escalar complejo.${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$

Producto interior

Artículo principal: espacio interior del producto

El producto interno generaliza el producto escalar para abstraer espacios vectoriales sobre un campo de escalares , ya sea el campo de números reales o el campo de números complejos . Por lo general, se denota el uso de soportes angulares por . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

El producto interno de dos vectores sobre el campo de números complejos es, en general, un número complejo y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio de producto interno es un espacio vectorial normalizado , y el producto interno de un vector consigo mismo es real y positivo-definido.

Funciones

El producto escalar se define para vectores que tienen un número finito de entradas . Por lo tanto, estos vectores pueden considerarse funciones discretas : un vector de longitud n u es, entonces, una función con dominio { k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ n } , y u _i es una notación para la imagen de i por la función / vector u .

Esta noción se puede generalizar a funciones continuas : así como el producto interno de los vectores usa una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno de las funciones se define como una integral en algún intervalo a ≤ x ≤ b (también denotado [ a , b ] ) : ^[3]

${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)dx}$

Generalizado más a las funciones complejas ψ ( x ) y χ ( x ) , por analogía con el producto interno complejo anterior, da ^[3]

${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}dx.}$

Función de peso

Los productos internos pueden tener una función de ponderación (es decir, una función que pondera cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interno de funciones y con respecto a la función de ponderación es${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle r(x)>0}$

${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)dx.}$

Diádicas y matrices

Las matrices tienen el producto interno de Frobenius , que es análogo al producto interno del vector. Se define como la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos matrices A y B que tienen el mismo tamaño:

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).}$

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).}$ (Para matrices reales)

Las diádicas tienen un producto escalar y un producto escalar "doble" definido en ellas, ver Dyadics § Producto de diádica y diádica para sus definiciones.

Tensores

El producto interno entre un tensor de orden n y un tensor de orden m es un tensor de orden n + m - 2 , consulte Contracción del tensor para más detalles.

Computación

Algoritmos

El sencillo algoritmo para calcular un producto de puntos de punto flotante de vectores puede sufrir una cancelación catastrófica . Para evitar esto, se utilizan enfoques como el algoritmo de suma de Kahan .

Bibliotecas

Una función de producto escalar se incluye en el nivel 1 de BLAS .

Ver también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Producto cruzado
• Representación del producto escalar de un gráfico
• Norma euclidiana , la raíz cuadrada del producto de puntos propios
• Multiplicación de matrices
• Tensor métrico
• Multiplicación de vectores
• Producto exterior

Notas

1. El término producto escalar a menudo también se usa de manera más general para significar una forma bilineal simétrica , por ejemplo, para un espacio pseudoeuclidiano . ^{[ cita requerida ]}

Referencias

1. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
2. "Producto escalar" . www.mathsisfun.com . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
3. S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Álgebra lineal (Esquemas de Schaum) (4ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
4. M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
5. AI Borisenko; IE Taparov (1968). Análisis vectorial y tensorial con aplicaciones . Traducido por Richard Silverman. Dover. pag. 14.
6. Arfken, GB; Weber, HJ (2000). Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.). Boston, MA: Prensa académica . págs. 14-15. ISBN 978-0-12-059825-0..
7. Nykamp, ​​Duane. "El producto escalar" . Perspectiva matemática . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
8. Weisstein, Eric W. "Producto de punto". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
9. T. Banchoff; J. Wermer (1983). Álgebra lineal a través de la geometría . Springer Science & Business Media. pag. 12. ISBN 978-1-4684-0161-5.
10. A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Ingeniería Mecánica: Estática (5ª ed.). Prentice Hall. pag. 60. ISBN 978-0-13-612915-8.
11. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
12. M. Mansfield; C. O'Sullivan (2011). Comprensión de la física (4ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-47-0746370.
13. Berberiano, Sterling K. (2014) [1992], Álgebra lineal , Dover, p. 287, ISBN 978-0-486-78055-9

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el producto escalar .

• "Producto interno" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Explicación del producto escalar incluso con vectores complejos
• "Producto de punto" de Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project , 2007.