El sistema duodecimal (también conocido como base 12 , dozenal o, rara vez, uncial ) es un sistema numérico de notación posicional que utiliza doce como base . El número doce (es decir, el número escrito como "12" en el sistema numérico de base diez ) se escribe en cambio como "10" en duodecimal (que significa "1 docena y 0 unidades", en lugar de "1 decena y 0 unidades") , mientras que la cadena de dígitos "12" significa "1 docena y 2 unidades" (es decir, el mismo número que en decimal se escribe como "14"). Del mismo modo, en duodecimal "100" significa "1 bruto ", "1000" significa "1 gran bruto", y" 0.1 "significa" 1 duodécimo "(en lugar de sus significados decimales" 100 "," 1 mil "y" 1 décimo ").
El número doce, un número superior altamente compuesto , es el número más pequeño con cuatro factores no triviales (2, 3, 4, 6), y el más pequeño para incluir como factores los cuatro números (1 a 4) dentro del rango de subitización . y el número abundante más pequeño . Como resultado de esta factorización aumentada de la base y su divisibilidad por una amplia gama de los números más elementales (mientras que diez tiene solo dos factores no triviales: 2 y 5), las representaciones duodecimales encajan más fácilmente que las decimales en muchos patrones comunes. , como lo demuestra la mayor regularidad observada en la tabla de multiplicar duodecimal. Como resultado, duodecimal se ha descrito como el sistema numérico óptimo. [1] De sus factores, 2 y 3 son primos , lo que significa los recíprocos de todos los números 3-suaves (como 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, ...) tienen una representación de terminación en duodecimal. En particular, las cinco fracciones más elementales (+1 ⁄ 2 , +1 ⁄ 3 , +2 ⁄ 3 , +1 ⁄ 4 y +3 ⁄ 4 ) todos tienen una representación de terminación corta en duodecimal (0.6, 0.4, 0.8, 0.3 y 0.9, respectivamente), y doce es la raíz más pequeña con esta característica (porque es el mínimo común múltiplo de 3 y 4). Todo esto lo convierte en un sistema numérico más conveniente para calcular fracciones que la mayoría de los otros sistemas numéricos de uso común, como los sistemas decimal , vigesimal , binario , octal y hexadecimal . Aunque lossistemas trigesimal y sexagesimal (dondeterminanlos recíprocos de todos los números 5 suaves ) funcionan aún mejor en este sentido, esto es a costa de tablas de multiplicar difíciles de manejar y un número mucho mayor de símbolos para memorizar.
Se han utilizado varios símbolos para representar diez y once en notación duodecimal; Unicode incluye ( U + 218A ↊ DÍGITO CONVERTIDO DOS ) y ( U + 218B ↋ DÍGITO CONVERTIDO TRES ). El uso de estos símbolos, un recuento de cero a doce en duodecimal lee: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 10. Estos fueron impl9emented en Unicode 8.0 (2015), pero como de 2019, la mayoría de las fuentes Unicode generales que utilizan los sistemas operativos y navegadores actuales aún no las han incluido. Más comúnmente, la gente usa A y B, como en hexadecimal , y esta página usa "A" y "B" , lo que haría que un recuento duodecimal de cero a doce diera 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. También se utilizan otros símbolos para representar diez y once en este sistema, e incluso se ha sugerido usar el símbolo de teléfono * (estrella) para representar diez y # (signo de libra, popularmente conocido como símbolo de hashtag) como once. [actualizar]
Origen
- En esta sección, los números se basan en lugares decimales . Por ejemplo, 10 significa diez , 12 significa doce .
Los lenguajes que utilizan sistemas numéricos duodecimales son poco comunes. Idiomas del Cinturón Medio de Nigeria como Janji , Gbiri-Niragu (Gure-Kahugu), Piti y el dialecto Nimbia de Gwandara ; [2] y el idioma chepang de Nepal [3] son conocidos por utilizar números duodecimales.
Los idiomas germánicos tienen palabras especiales para 11 y 12, como once y doce en inglés . Vienen del proto-germánico * ainlif y * twalif (que significa, respectivamente, uno a la izquierda y dos a la izquierda ), lo que sugiere un origen decimal en lugar de duodecimal. [4] [5] Sin embargo, Old Norse usó un sistema de conteo duodecimal, con sus palabras para "ciento ochenta" que significan 200 y "doscientos" que significan 240. [6] En las Islas Británicas, este estilo de conteo sobrevivió hasta bien entrado la edad media como los cien largos .
Históricamente, las unidades de tiempo en muchas civilizaciones son duodecimales. Hay doce signos del zodíaco , doce meses en un año, y los babilonios tenían doce horas en un día (aunque en algún momento se cambió a 24). Los calendarios , relojes y brújulas tradicionales chinos se basan en las doce ramas terrenales . Hay 12 pulgadas en un pie imperial, 12 onzas troy en una libra troy, 12 peniques británicos viejos en un chelín , 24 (12 × 2) horas en un día y muchos otros artículos contados por docenas , brutos ( 144 , cuadrados de 12), o gran bruto ( 1728 , cubo de 12). Los romanos utilizaron un sistema de fracciones basado en 12, incluida la uncia, que se convirtió en las palabras en inglés onza y pulgada . Pre- sistema decimal , Irlanda y el Reino Unido utilizan un sistema mixto duodecimal-vigesimal moneda (12 peniques = 1 chelín, 20 chelines o 240 peniques la libra esterlina o libra irlandesa ), y Carlomagno estableció un sistema monetario que también tenía una base mixta de doce y veinte, cuyos restos persisten en muchos lugares.
Tabla de unidades a partir de una base de 12 | |||||
---|---|---|---|---|---|
Valor relativo | Unidad francesa de longitud | Unidad inglesa de longitud | Unidad de peso inglesa (Troy) | Unidad romana de peso | Unidad inglesa de masa |
12 0 | de varios colores | pie | libra | Libra | |
12 −1 | pouce | pulgada | onza | uncia | escabullirse |
12 −2 | ligne | línea | 2 escrúpulos | 2 escrupula | babosa |
12 −3 | punto | punto | semilla | Siliqua |
La importancia de 12 se ha atribuido al número de ciclos lunares en un año, así como al hecho de que los humanos tienen 12 huesos de dedos ( falanges ) en una mano (tres en cada uno de los cuatro dedos). [7] [8] Es posible contar hasta 12 con el pulgar actuando como un puntero, tocando cada hueso del dedo por turno. Un sistema tradicional de conteo de dedos todavía en uso en muchas regiones de Asia funciona de esta manera y podría ayudar a explicar la ocurrencia de sistemas numéricos basados en 12 y 60 además de los basados en 10, 20 y 5. En este sistema, el uno ( usualmente la mano derecha) cuenta repetidamente hasta 12, mostrando el número de iteraciones en la otra (usualmente izquierda), hasta que cinco docenas, es decir, las 60, estén llenas. [9] [10]
Notaciones y pronunciaciones
Símbolos transdecimales
En un sistema de numeración, la base (doce para duodecimal) debe escribirse como 10, pero existen numerosas propuestas sobre cómo escribir duodecimal diez y once. [11]
Para permitir la entrada en máquinas de escribir, se utilizan letras como A y B (como en hexadecimal ), T y E (iniciales de Diez y Once), X y E (X del número romano para diez) o X y Z. Algunos emplean letras griegas como δ (que significa δέκα 'diez' en griego ) y ε (en griego ένδεκα 'once'), o τ y ε . [11] Frank Emerson Andrews, uno de los primeros defensores estadounidenses del duodecimal, sugirió y utilizó en su libro Nuevos números una X y ℰ (guión E, U + 2130 ). [12]
Edna Kramer en su libro de 1951 The Main Stream of Mathematics usó un asterisco de seis puntas ( sextil ) ⚹ y un hash (u octothorpe) # . [11] Los símbolos se eligieron porque estaban disponibles en algunas máquinas de escribir; también están en teléfonos de botón . [11] Esta notación se utilizó en publicaciones de la Dozenal Society of America ( DSA ) de 1974 a 2008. [13] [14]
De 2008 a 2015, la DSA utilizó y , los símbolos ideados por William Addison Dwiggins . [11] [15]
La Sociedad Dozenal de Gran Bretaña ( DSGB ) propuso símbolos y . [11] Esta notación, derivada de dígitos árabes mediante una rotación de 180 °, fue introducida por Isaac Pitman . [16] [11] [17] En marzo de 2013, se presentó una propuesta para incluir los formularios de dígitos para diez y once propagados por Dozenal Societies en el estándar Unicode . [18] De estos, los formularios británicos / Pitman se aceptaron para la codificación como caracteres en puntos de código.U + 218A ↊ DIGIT dos se volvieron yU + 218B ↋ DÍGITO TRES CONVERTIDO . Se incluyeron en laversión Unicode 8.0 en junio de 2015 [19] [20] y están disponibles en LaTeX como\textturntwo
y\textturnthree
. [21]
Después de que se agregaron los dígitos de Pitman a Unicode, el DSA realizó una votación y luego comenzó a publicar contenido utilizando los dígitos de Pitman. [22] Todavía usan las letras X y E en texto ASCII . Como los caracteres Unicode no son compatibles, esta página utiliza "A" y "B" .
Otras propuestas son más creativas o estéticas; por ejemplo, muchos no usan números arábigos bajo el principio de "identidad separada". [11]
Notación base
También existen diversas propuestas de cómo distinguir un número duodecimal de uno decimal. [23] Incluyen números duodecimales en cursiva " 54 = 64", agregando un "punto Humphrey" (un punto y coma en lugar de un punto decimal ) a los números duodecimales "54; 6 = 64.5", o alguna combinación de los dos. Otros usan subíndices o etiquetas adheridas para indicar la base, lo que permite representar más de decimal y duodecimal (para letras simples, 'z' de "do z enal" se usa como 'd' significaría decimal) [23] como " 54 z = 64 d , "" 54 12 = 64 10 "o" doz 54 = dic 64 ".
Pronunciación
La Sociedad Dozenal de América sugirió la pronunciación de diez y once como "dek" y "el". Para los nombres de las potencias de doce hay dos sistemas prominentes.
Sistema Do-gro-mo
En este sistema, el prefijo e - se agrega para las fracciones. [15] [24]
Duodecimal | Nombre | Decimal | Fracción duodecimal | Nombre |
---|---|---|---|---|
1; | uno | 1 | ||
10; | hacer | 12 | 0; 1 | edo |
100; | gro | 144 | 0; 01 | egro |
1.000; | mes | 1,728 | 0; 001 | emo |
10.000; | do-mo | 20,736 | 0; 000,1 | edo-mo |
100.000; | gro-mo | 248,832 | 0; 000,01 | egro-mo |
1.000.000; | bi-mo | 2,985,984 | 0; 000.001 | ebi-mo |
10,000,000; | do-bi-mo | 35,831,808 | 0; 0,000,001 | edo-bi-mo |
100.000.000; | gro-bi-mo | 429,981,696 | 0; 00.000.001 | egro-bi-mo |
1.000.000.000; | trimestral | 5,159,780,352 | 0; 000,000,001 | etri-mo |
10,000,000,000; | do-tri-mo | 61,917,364,224 | 0; 0,000,000,001 | edo-tri-mo |
100.000.000.000; | gro-tri-mo | 743,008,370,688 | 0; 00,000,000,001 | egro-tri-mo |
1.000.000.000.000; | cuatrimestre | 8,916,100,448,256 | 0; 000,000,000,001 | equad-mo |
10,000,000,000,000; | do-quad-mo | 106.993.205.379.072 | 0; 0,000,000,000,001 | edo-quad-mo |
100,000,000,000,000; | gro-quad-mo | 1,283,918,464,548,864 | 0; 00,000,000,000,001 | egro-quad-mo |
1.000.000.000.000.000; | penta-mo | 15,407,021,574,586,368 | 0; 000,000,000,000,001 | epenta-mo |
10,000,000,000,000,000; | do-penta-mo | 184,884,258,895,036,416 | 0; 0,000,000,000,000,001 | edo-penta-mo |
100,000,000,000,000,000; | gro-penta-mo | 2,218,611,106,740,436,992 | 0; 00,000,000,000,000,001 | egro-penta-mo |
1,000,000,000,000,000,000; | hexa-mo | 26,623,333,280,885,243,904 | 0; 000,000,000,000,000,001 | ehexa-mo |
Varios dígitos de esta serie se pronuncian de forma diferente: 12 es "hacer dos"; 30 es "tres hacer"; 100 es "gro"; BA9 es "el gro dek do nine"; B86 es "el gro eight do six"; 8BB, 15A es "ocho gro el do el mo, uno gro five do dek"; y así. [24]
Nomenclatura sistemática de docenales (SDN)
Este sistema usa la terminación "-qua" para las potencias positivas de 12 y la terminación "-cia" para las potencias negativas de 12, y una extensión de los nombres de los elementos sistemáticos de la IUPAC (con las sílabas dec y lev para los dos dígitos adicionales necesarios para duodecimal ) para expresar a qué poder se refiere. [25] [26]
Duodecimal | Nombre | Decimal | Fracción duodecimal | Nombre |
---|---|---|---|---|
1; | uno | 1 | ||
10; | unqua | 12 | 0; 1 | uncia |
100; | biqua | 144 | 0; 01 | bicia |
1.000; | triqua | 1,728 | 0; 001 | tricia |
10.000; | quadqua | 20,736 | 0; 000,1 | quadcia |
100.000; | pentqua | 248,832 | 0; 000,01 | pentcia |
1.000.000; | hexqua | 2,985,984 | 0; 000.001 | hexcia |
10,000,000; | Septqua | 35,831,808 | 0; 000,000,1 | Septcia |
100.000.000; | octqua | 429,981,696 | 0; 000,000,01 | octcia |
1.000.000.000; | ennqua | 5,159,780,352 | 0; 000,000,001 | enncia |
10,000,000,000; | decqua | 61,917,364,224 | 0; 000,000,000,1 | deccia |
100.000.000.000; | levqua | 743,008,370,688 | 0; 000,000,000,01 | levcia |
1.000.000.000.000; | unnilqua | 8,916,100,448,256 | 0; 000,000,000,001 | Unnilcia |
10,000,000,000,000; | ununqua | 106.993.205.379.072 | 0; 000,000,000,000,1 | ununcia |
Incidencia y "docenalismo"
William James Sidis usó 12 como base para su lenguaje construido Vendergood en 1906, y señaló que era el número más pequeño con cuatro factores y su prevalencia en el comercio. [27]
El caso del sistema duodecimal se expuso extensamente en el libro de Frank Emerson Andrews de 1935 New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal Base would Simplify Mathematics . Emerson observó que, debido a la prevalencia de los factores de doce en muchas unidades tradicionales de peso y medida, muchas de las ventajas computacionales reivindicados para el sistema métrico podría realizarse ya sea por la adopción de pesos y medida basada en diez o por la adopción de el sistema numérico duodecimal. [12]
Tanto la Sociedad Dozenal de América como la Sociedad Dozenal de Gran Bretaña promueven la adopción generalizada del sistema de base doce. Usan la palabra "dozenal" en lugar de "duodecimal" para evitar la terminología más abiertamente basada en diez. Sin embargo, la etimología de "dozenal" en sí es también una expresión basada en terminología de base diez, ya que "dozen" es una derivación directa de la palabra francesa douzaine que es un derivado de la palabra francesa para doce, douze , descendiente del latín duodecim .
Al menos desde 1945, algunos miembros de la Dozenal Society of America y la Dozenal Society de Gran Bretaña han sugerido que una palabra más adecuada sería "uncial". Uncial es una derivación de la palabra latina uncia , que significa "un duodécimo", y también el análogo en base doce de la palabra latina decima , que significa "un décimo". [28]
El matemático y calculador mental Alexander Craig Aitken fue un abierto defensor del duodecimal:
Las tablas duodecimales son fáciles de dominar, más fáciles que las decimales; y en la enseñanza primaria serían mucho más interesantes, ya que los niños pequeños encontrarían cosas más fascinantes que hacer con doce barras o bloques que con diez. Cualquiera que tenga estas tablas al mando hará estos cálculos más de una vez y media más rápido en la escala duodecimal que en la decimal. Esta es mi experiencia; Estoy seguro de que más aún sería la experiencia de otros.
- AC Aitken, "Twelves and Tens" en The Listener (25 de enero de 1962) [29]
Pero la ventaja cuantitativa final, en mi propia experiencia, es la siguiente: en cálculos variados y extensos de un tipo ordinario y no excesivamente complicado, llevados a cabo durante muchos años, llego a la conclusión de que la eficiencia del sistema decimal podría calificarse en alrededor de 65 o menos, si asignamos 100 al duodecimal.
- AC Aitken, The Case Against Decimalisation (1962) [30]
En el medio
En "Little Twelvetoes", la serie de televisión estadounidense Schoolhouse Rock! retrató a un niño alienígena usando aritmética de base doce, usando "dek", "el" y "doh" como nombres para diez, once y doce, y el script-X y el script-E de Andrews para los símbolos de dígitos. [31] [32]
Sistemas de medidas duodecimales
Los sistemas de medición propuestos por docenalistas incluyen:
- Sistema TGM de Tom Pendlebury [33] [26]
- Sistema de unidad universal de Takashi Suga [34] [26]
Comparación con otros sistemas numéricos
El número 12 tiene seis factores, que son 1 , 2 , 3 , 4 , 6 y 12 , de los cuales 2 y 3 son primos . El sistema decimal tiene solo cuatro factores, que son 1 , 2 , 5 y 10 , de los cuales 2 y 5 son primos. Vigesimal (base 20) agrega dos factores a los de diez, a saber, 4 y 20 , pero ningún factor primo adicional. Aunque veinte tiene 6 factores, 2 de ellos primos, al igual que doce, también es una base mucho más grande, por lo que el conjunto de dígitos y la tabla de multiplicar son mucho más grandes. El binario tiene solo dos factores, 1 y 2, siendo este último primo. El hexadecimal (base 16) tiene cinco factores, sumando 4, 8 y 16 a los de 2, pero sin primos adicionales. Trigesimal (base 30) es el sistema más pequeño que tiene tres factores primos diferentes (los tres primos más pequeños: 2, 3 y 5) y tiene ocho factores en total (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30). Sexagesimal, que los antiguos sumerios y babilonios, entre otros, realmente usaban, agrega los cuatro factores convenientes 4, 12, 20 y 60 a esto, pero no nuevos factores primos. El sistema más pequeño que tiene cuatro factores primos diferentes es la base 210 y el patrón sigue los primarios . En todos los sistemas de base, existen similitudes con la representación de múltiplos de números que son uno menos que la base.
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | A | 10 | 12 | 14 | dieciséis | 18 | 1A |
3 | 3 | 6 | 9 | 10 | 13 | dieciséis | 19 | 20 | 23 | 26 | 29 |
4 | 4 | 8 | 10 | 14 | 18 | 20 | 24 | 28 | 30 | 34 | 38 |
5 | 5 | A | 13 | 18 | 21 | 26 | 2B | 34 | 39 | 42 | 47 |
6 | 6 | 10 | dieciséis | 20 | 26 | 30 | 36 | 40 | 46 | 50 | 56 |
7 | 7 | 12 | 19 | 24 | 2B | 36 | 41 | 48 | 53 | 5A | sesenta y cinco |
8 | 8 | 14 | 20 | 28 | 34 | 40 | 48 | 54 | 60 | 68 | 74 |
9 | 9 | dieciséis | 23 | 30 | 39 | 46 | 53 | 60 | 69 | 76 | 83 |
A | A | 18 | 26 | 34 | 42 | 50 | 5A | 68 | 76 | 84 | 92 |
B | B | 1A | 29 | 38 | 47 | 56 | sesenta y cinco | 74 | 83 | 92 | A1 |
Tablas de conversión ay desde decimal
Para convertir números entre bases, se puede utilizar el algoritmo de conversión general (consulte la sección correspondiente en notación posicional ). Alternativamente, se pueden utilizar tablas de conversión de dígitos. Los que se proporcionan a continuación se pueden usar para convertir cualquier número duodecimal entre 0; 01 y BBB, BBB; BB a decimal, o cualquier número decimal entre 0.01 y 999,999.99 a duodecimal. Para usarlos, el número dado primero debe descomponerse en una suma de números con solo un dígito significativo cada uno. Por ejemplo:
- 123,456.78 = 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08
Esta descomposición funciona igual sin importar en qué base se exprese el número. Simplemente aísle cada dígito que no sea cero, rellenándolos con tantos ceros como sea necesario para preservar sus respectivos valores posicionales. Si los dígitos del número dado incluyen ceros (por ejemplo, 102.304,05), estos se excluyen, por supuesto, en la descomposición de dígitos (102.304,05 = 100.000 + 2.000 + 300 + 4 + 0,05). Luego, las tablas de conversión de dígitos se pueden usar para obtener el valor equivalente en la base objetivo para cada dígito. Si el número dado está en duodecimal y la base objetivo es decimal, obtenemos:
- (duodecimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0; 7 + 0; 08 = (decimal) 248,832 + 41,472 + 5,184 + 576 + 60 + 6 + 0.58 3 333333333 ... + 0.0 5 5555555555 .. .
Ahora, debido a que los sumandos ya están convertidos a base diez, se usa la aritmética decimal habitual para realizar la suma y recomponer el número, llegando al resultado de la conversión:
Duodecimal -----> Decimal
100.000 = 248.832 20.000 = 41.472 3.000 = 5.184 400 = 576 50 = 60 + 6 = + 6 0; 7 = 0,58 3 333333333 ... 0; 08 = 0,0 5 5555555555 ...-------------------------------------------- 123.456; 78 = 296.130,63 8 888888888 ...
Es decir, (duodecimal) 123,456.78 es igual a (decimal) 296,130.63 8 ≈ 296,130.64
Si el número dado está en decimal y la base de destino es duodecimal, el método es básicamente el mismo. Usando las tablas de conversión de dígitos:
(decimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08 = (duodecimal) 49, A54 + B, 6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0; 8 4972 4972497249724972497 ... + 0 ; 0B62A68781B05915343A 0B62 ...
Sin embargo, para hacer esta suma y recomponer el número, ahora deben usarse las tablas de suma para el sistema duodecimal, en lugar de las tablas de suma para decimal con las que la mayoría de la gente ya está familiarizada, porque los sumandos ahora están en base doce y así la aritmética con ellos también tiene que ser duodecimal. En decimal, 6 + 6 es igual a 12, pero en duodecimal es igual a 10; por lo tanto, si se usa aritmética decimal con números duodecimales, se obtendría un resultado incorrecto. Haciendo la aritmética correctamente en duodecimal, se obtiene el resultado:
Decimal -----> Duodecimal
100.000 = 49, A54 20 000 = B, 6A8 3000 = 1,8A0 400 = 294 50 = 42 + 6 = + 6 0; 7 = 0,8 4972 4972497249724972497 ... 0; 08 = 0. 0B62A68781B05915343A 0B62 ...-------------------------------------------------- ------ 123.456,78 = 5B, 540,9 43A0B62A68781B059153 43A ...
Es decir, (decimal) 123,456.78 es igual a (duodecimal) 5B, 540; 9 43A0B62A68781B059153 ... ≈ 5B, 540; 94
Conversión de dígito duodecimal a decimal
Duod. | Decimal | Duod. | Decimal | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1.000.000 | 2,985,984 | 100.000 | 248,832 | 10,000 | 20,736 | 1.000 | 1,728 | 100 | 144 | 10 | 12 | 1 | 1 | 0; 1 | 0,08 3 | 0; 01 | 0,0069 4 |
2,000,000 | 5.971.968 | 200.000 | 497,664 | 20.000 | 41,472 | 2.000 | 3.456 | 200 | 288 | 20 | 24 | 2 | 2 | 0; 2 | 0,1 6 | 0; 02 | 0,013 8 |
3,000,000 | 8,957,952 | 300.000 | 746,496 | 30.000 | 62,208 | 3000 | 5.184 | 300 | 432 | 30 | 36 | 3 | 3 | 0; 3 | 0,25 | 0; 03 | 0,0208 3 |
4.000.000 | 11,943,936 | 400.000 | 995,328 | 40.000 | 82,944 | 4000 | 6,912 | 400 | 576 | 40 | 48 | 4 | 4 | 0; 4 | 0. 3 | 0; 04 | 0,02 7 |
5,000,000 | 14,929,920 | 500.000 | 1.244.160 | 50.000 | 103.680 | 5,000 | 8,640 | 500 | 720 | 50 | 60 | 5 | 5 | 0; 5 | 0,41 6 | 0; 05 | 0,0347 2 |
6.000.000 | 17,915,904 | 600.000 | 1,492,992 | 60.000 | 124,416 | 6.000 | 10,368 | 600 | 864 | 60 | 72 | 6 | 6 | 0; 6 | 0,5 | 0; 06 | 0,041 6 |
7.000.000 | 20,901,888 | 700.000 | 1,741,824 | 70.000 | 145,152 | 7.000 | 12,096 | 700 | 1,008 | 70 | 84 | 7 | 7 | 0; 7 | 0,58 3 | 0; 07 | 0,0486 1 |
8.000.000 | 23,887,872 | 800 000 | 1,990,656 | 80.000 | 165,888 | 8.000 | 13,824 | 800 | 1,152 | 80 | 96 | 8 | 8 | 0; 8 | 0. 6 | 0; 08 | 0,0 5 |
9.000.000 | 26,873,856 | 900.000 | 2,239,488 | 90.000 | 186,624 | 9.000 | 15,552 | 900 | 1.296 | 90 | 108 | 9 | 9 | 0; 9 | 0,75 | 0; 09 | 0.0625 |
000.000 | 29,859,840 | A00.000 | 2,488,320 | 000 A | 207,360 | 000 | 17.280 | A00 | 1.440 | A0 | 120 | A | 10 | 0; A | 0,8 3 | 0; 0A | 0,069 4 |
B, 000.000 | 32,845,824 | B00.000 | 2,737,152 | B0.000 | 228,096 | B, 000 | 19,008 | B00 | 1,584 | B0 | 132 | B | 11 | 0; B | 0,91 6 | 0; 0B | 0,0763 8 |
Conversión de dígitos decimales a duodecimales
Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duod. | Dic. | Duodecimal | Dic. | Duodecimal |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1.000.000 | 402,854 | 100.000 | 49, A54 | 10,000 | 5.954 | 1.000 | 6B4 | 100 | 84 | 10 | A | 1 | 1 | 0,1 | 0; 1 2497 | 0,01 | 0; 0 15343A0B62A68781B059 |
2,000,000 | 805,4A8 | 200.000 | 97,8A8 | 20.000 | B, 6A8 | 2.000 | 1,1A8 | 200 | 148 | 20 | 18 | 2 | 2 | 0,2 | 0; 2497 | 0,02 | 0; 0 2A68781B05915343A0B6 |
3,000,000 | 1,008,140 | 300.000 | 125,740 | 30.000 | 15.440 | 3000 | 1,8A0 | 300 | 210 | 30 | 26 | 3 | 3 | 0,3 | 0; 3 7249 | 0,03 | 0; 0 43A0B62A68781B059153 |
4.000.000 | 1,40A, 994 | 400.000 | 173.594 | 40.000 | 1B, 194 | 4000 | 2,394 | 400 | 294 | 40 | 34 | 4 | 4 | 0.4 | 0; 4972 | 0,04 | 0; 05915343A0B62A68781B |
5,000,000 | 1.811.628 | 500.000 | 201,428 | 50.000 | 24, B28 | 5,000 | 2, A88 | 500 | 358 | 50 | 42 | 5 | 5 | 0,5 | 0; 6 | 0,05 | 0; 0 7249 |
6.000.000 | 2,014,280 | 600.000 | 24B, 280 | 60.000 | 2A, 880 | 6.000 | 3,580 | 600 | 420 | 60 | 50 | 6 | 6 | 0,6 | 0; 7249 | 0,06 | 0; 0 8781B05915343A0B62A6 |
7.000.000 | 2,416, B14 | 700.000 | 299,114 | 70.000 | 34,614 | 7.000 | 4.074 | 700 | 4A4 | 70 | 5A | 7 | 7 | 0,7 | 0; 8 4972 | 0,07 | 0; 0 A0B62A68781B05915343 |
8.000.000 | 2.819.768 | 800 000 | 326, B68 | 80.000 | 3A, 368 | 8.000 | 4.768 | 800 | 568 | 80 | 68 | 8 | 8 | 0,8 | 0; 9724 | 0,08 | 0; 0B62A68781B05915343A |
9.000.000 | 3,020,400 | 900.000 | 374, A00 | 90.000 | 44,100 | 9.000 | 5.260 | 900 | 630 | 90 | 76 | 9 | 9 | 0,9 | 0; A 9724 | 0,09 | 0; 1 0B62A68781B05915343A |
Reglas de divisibilidad
(En esta sección, todos los números se escriben con duodecimal)
Esta sección trata sobre las reglas de divisibilidad en duodecimal.
- 1
Cualquier número entero es divisible por 1 .
- 2
Si un número es divisible por 2 , el dígito unitario de ese número será 0, 2, 4, 6, 8 o A.
- 3
Si un número es divisible por 3 , el dígito unitario de ese número será 0, 3, 6 o 9.
- 4
Si un número es divisible por 4 , el dígito unitario de ese número será 0, 4 u 8.
- 5
Para probar la divisibilidad entre 5, duplique el dígito de las unidades y reste el resultado del número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 5, entonces el número dado es divisible por 5.
Esta regla proviene de 21 (5 * 5)
Ejemplos:
13 regla => | 1-2 * 3 | = 5 que es divisible por 5. Regla
2BA5 => | 2BA-2 * 5 | = 2B0 (5 * 70) que es divisible por 5 (o aplique la regla en 2B0).
O
Para probar la divisibilidad entre 5, reste el dígito de las unidades y el triple del resultado al número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 5, entonces el número dado es divisible por 5.
Esta regla proviene de 13 (5 * 3)
Ejemplos:
13 regla => | 3-3 * 1 | = 0 que es divisible por 5. Regla
2BA5 => | 5-3 * 2BA | = 8B1 (5 * 195) que es divisible por 5 (o aplique la regla en 8B1).
O
Forme la suma alterna de bloques de dos de derecha a izquierda. Si el resultado es divisible por 5, entonces el número dado es divisible por 5.
Esta regla proviene de 101, ya que 101 = 5 * 25, por lo tanto, esta regla también se puede probar para determinar la divisibilidad entre 25.
Ejemplo:
97.374.627 => 27-46 + 37-97 = -7B que es divisible por 5.
- 6
Si un número es divisible por 6 , el dígito unitario de ese número será 0 o 6.
- 7
Para probar la divisibilidad por 7, triplique el dígito de las unidades y sume el resultado al número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 7, entonces el número dado es divisible por 7.
Esta regla proviene de 2B (7 * 5)
Ejemplos:
12 regla => | 3 * 2 + 1 | = 7 que es divisible por 7.
271B regla => | 3 * B + 271 | = 29A (7 * 4A) que es divisible por 7 (o aplique la regla en 29A).
O
Para probar la divisibilidad por 7, reste el dígito de las unidades y duplique el resultado del número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 7, entonces el número dado es divisible por 7.
Esta regla proviene de 12 (7 * 2)
Ejemplos:
12 regla => | 2-2 * 1 | = 0 que es divisible por 7.
271B regla => | B-2 * 271 | = 513 (7 * 89) que es divisible por 7 (o aplica la regla en 513).
O
Para probar la divisibilidad entre 7, 4 veces el dígito de las unidades y reste el resultado del número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 7, entonces el número dado es divisible por 7.
Esta regla proviene de 41 (7 * 7)
Ejemplos:
12 regla => | 4 * 2-1 | = 7 que es divisible por 7.
271B regla => | 4 * B-271 | = 235 (7 * 3B) que es divisible por 7 (o aplica la regla en 235).
O
Forme la suma alterna de bloques de tres de derecha a izquierda. Si el resultado es divisible por 7, entonces el número dado es divisible por 7.
Esta regla proviene de 1001, ya que 1001 = 7 * 11 * 17, por lo tanto, esta regla también se puede probar para determinar la divisibilidad entre 11 y 17.
Ejemplo:
386.967.443 => 443-967 + 386 = -168 que es divisible por 7.
- 8
Si el número de 2 dígitos formado por los 2 últimos dígitos del número dado es divisible por 8, entonces el número dado es divisible por 8.
Ejemplo: 1B48, 4120
regla => ya que 48 (8 * 7) divisible por 8, entonces 1B48 es divisible por 8. regla => ya que 20 (8 * 3) divisible por 8, entonces 4120 es divisible por 8.
- 9
Si el número de 2 dígitos formado por los 2 últimos dígitos del número dado es divisible por 9, entonces el número dado es divisible por 9.
Ejemplo: 7423, 8330
regla => ya que 23 (9 * 3) es divisible por 9, entonces 7423 es divisible por 9. regla => ya que 30 (9 * 4) es divisible por 9, entonces 8330 es divisible por 9.
- A
Si el número es divisible por 2 y 5, entonces el número es divisible por A .
- B
Si la suma de los dígitos de un número es divisible por B, entonces el número es divisible por B (el equivalente a sacar nueves en decimal).
Ejemplo: 29, 61B13
regla => 2 + 9 = B que es divisible por B, entonces 29 es divisible por B. regla => 6 + 1 + B + 1 + 3 = 1A que es divisible por B, entonces 61B13 es divisible por B.
- 10
Si un número es divisible por 10 , el dígito unitario de ese número será 0.
- 11
Sume los dígitos alternos y reste las sumas. Si el resultado es divisible por 11, el número es divisible por 11 (el equivalente a la divisibilidad por once en decimal).
Ejemplo: 66, 9427
regla => | 6-6 | = 0 que es divisible por 11, luego 66 es divisible por 11. regla => | (9 + 2) - (4 + 7) | = | AA | = 0 que es divisible por 11, entonces 9427 es divisible por 11.
- 12
Si el número es divisible por 2 y 7, entonces el número es divisible por 12 .
- 13
Si el número es divisible por 3 y 5, entonces el número es divisible por 13 .
- 14
Si el número de 2 dígitos formado por los 2 últimos dígitos del número dado es divisible por 14, entonces el número dado es divisible por 14.
Ejemplo: 1468, 7394
regla => ya que 68 (14 * 5) es divisible por 14, entonces 1468 es divisible por 14. rule => ya que 94 (14 * 7) es divisible por 14, entonces 7394 es divisible por 14.
Fracciones y números irracionales
Fracciones
Las fracciones duodecimales pueden ser simples:
- 1/2 = 0; 6
- 1/3 = 0; 4
- 1/4 = 0; 3
- 1/6 = 0; 2
- 1/8 = 0; 16
- 1/9 = 0; 14
- 1/10 = 0; 1 (este es un duodécimo, 1/A es una décima)
- 1/14 = 0; 09 (este es un decimosexto, 1/12 es un decimocuarto)
o complicado:
- 1/5 = 0; 249724972497 ... recurrente (redondeado a 0,24A)
- 1/7 = 0; 186A35186A35 ... recurrente (redondeado a 0,187)
- 1/A = 0; 1249724972497 ... recurrente (redondeado a 0,125)
- 1/B = 0; 111111111111 ... recurrente (redondeado a 0,111)
- 1/11 = 0; 0B0B0B0B0B0B ... recurrente (redondeado a 0.0B1)
- 1/12 = 0; 0A35186A35186 ... recurrente (redondeado a 0.0A3)
- 1/13 = 0; 0972497249724 ... recurrente (redondeado a 0,097)
Ejemplos en duodecimal | Equivalente decimal |
---|---|
1 × ( 5/8) = 0; 76 | 1 × ( 5/8) = 0; 625 |
100 × ( 5/8) = 76 | 144 × ( 5/8) = 90 |
576/9 = 76 | 810/9 = 90 |
400/9 = 54 | 576/9 = 64 |
1A; 6 + 7; 6 = 26 | 22,5 + 7,5 = 30 |
Como se explica en decimales recurrentes , siempre que una fracción irreducible se escribe en notación de punto de raíz en cualquier base, la fracción se puede expresar exactamente (termina) si y solo si todos los factores primos de su denominador también son factores primos de la base. Así, en el sistema de base diez (= 2 × 5), las fracciones cuyos denominadores se componen únicamente de múltiplos de 2 y 5 terminan: 1/8 = 1/(2 × 2 × 2), 1/20 = 1/(2 × 2 × 5) y 1/500 = 1/(2 × 2 × 5 × 5 × 5) se puede expresar exactamente como 0,125, 0,05 y 0,002 respectivamente. 1/3 y 1/7, sin embargo, se repiten (0.333 ... y 0.142857142857 ...). En el sistema duodecimal (= 2 × 2 × 3), 1/8 es exacto 1/20 y 1/500 recurren porque incluyen 5 como factor; 1/3es exacto y 1/7 se repite, al igual que en decimal.
El número de denominadores que dan fracciones terminales dentro de un número dado de dígitos, digamos n , en una base b es el número de factores (divisores) de b n , la n- ésima potencia de la base b (aunque esto incluye el divisor 1, que no produce fracciones cuando se usa como denominador). El número de factores de b n se da usando su factorización prima.
Para decimal, 10 n = 2 n × 5 n . El número de divisores se calcula sumando uno a cada exponente de cada número primo y multiplicando las cantidades resultantes, por lo que el número de factores de 10 n es ( n + 1) ( n + 1) = ( n + 1) 2 .
Por ejemplo, el número 8 es un factor de 10 3 (1000), por lo que 1/8 y otras fracciones con un denominador de 8 no pueden requerir más de 3 dígitos decimales fraccionarios para terminar. 5/8 = 0,625 diez
Para duodecimal, 12 n = 2 2 n × 3 n . Esto tiene (2 n + 1) ( n + 1) divisores. El denominador muestral de 8 es un factor de un bruto (12 2 = 144), por lo que los octavos no pueden necesitar más de dos lugares fraccionarios duodecimales para terminar. 5/8 = 0; 76 doce
Debido a que tanto diez como doce tienen dos factores primos únicos, el número de divisores de b n para b = 10 o 12 crece cuadráticamente con el exponente n (en otras palabras, del orden de n 2 ).
Dígitos recurrentes
La Dozenal Society of America sostiene que los factores de 3 se encuentran más comúnmente en problemas de división de la vida real que los factores de 5. [35] Por lo tanto, en aplicaciones prácticas, la molestia de repetir decimales se encuentra con menos frecuencia cuando se usa la notación duodecimal. Los defensores de los sistemas duodecimales argumentan que esto es particularmente cierto en los cálculos financieros, en los que los doce meses del año a menudo entran en los cálculos.
Sin embargo, las fracciones cuando recurrentes no se producen en notación duodecimal, son menos propensos a tener un período muy corto que en notación decimal, porque 12 (doce) es entre dos números primos , 11 (once) y 13 (trece), mientras que diez es adyacente al número compuesto 9 . No obstante, tener un período más corto o más largo no ayuda al principal inconveniente de que no se obtiene una representación finita para tales fracciones en la base dada (por lo que el redondeo , que introduce inexactitud, es necesario para manejarlas en los cálculos) y, en general, uno Es más probable que tenga que lidiar con infinitos dígitos recurrentes cuando las fracciones se expresan en decimal que en duodecimal, porque uno de cada tres números consecutivos contiene el factor primo 3 en su factorización, mientras que solo uno de cada cinco contiene el factor primo 5 . Todos los demás factores primos, excepto 2, no son compartidos por diez o doce, por lo que no influyen en la probabilidad relativa de encontrar dígitos recurrentes (cualquier fracción irreducible que contenga cualquiera de estos otros factores en su denominador se repetirá en cualquier base). Además, el factor primo 2 aparece dos veces en la factorización de doce, mientras que sólo una vez en la factorización de diez; lo que significa que la mayoría de las fracciones cuyos denominadores son potencias de dos tendrán una representación de terminación más corta y más conveniente en duodecimal que en representación decimal (por ejemplo, 1 / (2 2 ) = 0.25 diez = 0.3 doce ; 1 / (2 3 ) = 0.125 diez = 0.16 doce ; 1 / (2 4 ) = 0.0625 10 = 0.09 12 ; 1 / (2 5 ) = 0.03125 10 = 0.046 12 ; etc.).
Base decimal Factores primos de la base: 2 , 5 Factores primos de uno por debajo de la base: 3 Factores primos de uno por encima de la base: 11 Todos los demás primos: 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 | Base duodecimal Factores primos de la base: 2 , 3 Factores primos de uno debajo de la base: B Factores primos de uno arriba de la base: 11 Todos los demás primos: 5 , 7 , 15 , 17 , 1B , 25 , 27 | ||||
Fracción | Factores primos del denominador | Representación posicional | Representación posicional | Factores primos del denominador | Fracción |
---|---|---|---|---|---|
1/2 | 2 | 0,5 | 0; 6 | 2 | 1/2 |
1/3 | 3 | 0. 3 | 0; 4 | 3 | 1/3 |
1/4 | 2 | 0,25 | 0; 3 | 2 | 1/4 |
1/5 | 5 | 0,2 | 0; 2497 | 5 | 1/5 |
1/6 | 2 , 3 | 0,1 6 | 0; 2 | 2 , 3 | 1/6 |
1/7 | 7 | 0. 142857 | 0; 186A35 | 7 | 1/7 |
1/8 | 2 | 0,125 | 0; 16 | 2 | 1/8 |
1/9 | 3 | 0, 1 | 0; 14 | 3 | 1/9 |
1/10 | 2 , 5 | 0,1 | 0; 1 2497 | 2 , 5 | 1 / A |
1/11 | 11 | 0. 09 | 0; 1 | B | 1 / B |
1/12 | 2 , 3 | 0,08 3 | 0; 1 | 2 , 3 | 1/10 |
1/13 | 13 | 0. 076923 | 0; 0B | 11 | 1/11 |
14/1 | 2 , 7 | 0,0 714285 | 0; 0 A35186 | 2 , 7 | 1/12 |
15/1 | 3 , 5 | 0,0 6 | 0; 0 9724 | 3 , 5 | 1/13 |
1/16 | 2 | 0.0625 | 0; 09 | 2 | 14/1 |
17/1 | 17 | 0. 0588235294117647 | 0; 08579214B36429A7 | 15 | 15/1 |
18/1 | 2 , 3 | 0,0 5 | 0; 08 | 2 , 3 | 1/16 |
19/1 | 19 | 0. 052631578947368421 | 0; 076B45 | 17 | 17/1 |
1/20 | 2 , 5 | 0,05 | 0; 0 7249 | 2 , 5 | 18/1 |
1/21 | 3 , 7 | 0. 047619 | 0; 0 6A3518 | 3 , 7 | 19/1 |
1/22 | 2 , 11 | 0,0 45 | 0; 0 6 | 2 , B | 1 / 1A |
1/23 | 23 | 0. 0434782608695652173913 | 0; 06316948421 | 1B | 1 / 1B |
24/1 | 2 , 3 | 0,041 6 | 0; 06 | 2 , 3 | 1/20 |
1/25 | 5 | 0,04 | 0; 05915343A0B62A68781B | 5 | 1/21 |
26/1 | 2 , 13 | 0,0 384615 | 0; 0 56 | 2 , 11 | 1/22 |
1/27 | 3 | 0. 037 | 0; 054 | 3 | 1/23 |
1/28 | 2 , 7 | 0,03 571428 | 0; 0 5186A3 | 2 , 7 | 24/1 |
1/29 | 29 | 0. 0344827586206896551724137931 | 0; 04B7 | 25 | 1/25 |
30/1 | 2 , 3 , 5 | 0,0 3 | 0; 0 4972 | 2 , 3 , 5 | 26/1 |
1/31 | 31 | 0. 032258064516129 | 0; 0478AA093598166B74311B28623A55 | 27 | 1/27 |
1/32 | 2 | 0.03125 | 0; 046 | 2 | 1/28 |
1/33 | 3 , 11 | 0. 03 | 0; 0 4 | 3 , B | 1/29 |
1/34 | 2 , 17 | 0,0 2941176470588235 | 0; 0 429A708579214B36 | 2 , 15 | 1 / 2A |
1/35 | 5 , 7 | 0,0 285714 | 0; 0414559B3931 | 5 , 7 | 1 / 2B |
1/36 | 2 , 3 | 0,02 7 | 0; 04 | 2 , 3 | 30/1 |
La longitud del período duodecimal de 1 / n son (en base 10)
- 0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (secuencia A246004 en la OEIS )
La longitud del período duodecimal de 1 / ( n- ésimo primo) es (en base 10)
- 0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (secuencia A246489 en la OEIS )
Los primos más pequeños con período duodecimal n son (en base 10)
- 11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (secuencia A252170 en la OEIS )
Numeros irracionales
Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema numérico posicional (incluyendo decimal y duodecimal) no terminan ni se repiten . La siguiente tabla muestra los primeros dígitos de algunos números algebraicos y trascendentales importantes tanto en decimal como en duodecimal.
Número irracional algebraico | En decimal | En duodecimal |
---|---|---|
√ 2 , la raíz cuadrada de 2 | 1.414213562373 ... | 1; 4B79170A07B8 ... |
φ (phi), la proporción áurea = | 1.618033988749 ... | 1; 74BB6772802A ... |
Número trascendental | En decimal | En duodecimal |
π (pi), la relación entre la circunferencia de un círculoy su diámetro | 3.141592653589 ... | 3; 184809493B91 ... |
e , la base del logaritmo natural | 2,718281828459 ... | 2; 875236069821 ... |
Ver también
- Senario (base 6)
- Decimal (base 10)
- Hexadecimal (base 16)
- Vigesimal (base 20)
- Sexagesimal (base 60)
Referencias
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Otras lecturas
- Savard, John JG (2018) [2016]. "Cambio de la base" . quadibloc . Archivado desde el original el 17 de julio de 2018 . Consultado el 17 de julio de 2018 .
- Savard, John JG (2018) [2005]. "Aritmética informática" . quadibloc . Los primeros días del hexadecimal. Archivado desde el original el 16 de julio de 2018 . Consultado el 16 de julio de 2018 . (NB. También tiene información sobre representaciones duodecimales).
enlaces externos
- Sociedad Dozenal de América
- Sociedad Dozenal de Gran Bretaña
- Calculadora duodecimal
- Sinopsis completa de simbologías docenales y transdecimales