Excentricidad (matemáticas)

Característica de las secciones cónicas

Para conocer la excentricidad de un vértice en un gráfico, consulte Excentricidad (teoría de grafos) .

Todo tipo de secciones cónicas, dispuestas con excentricidad creciente. Tenga en cuenta que la curvatura disminuye con la excentricidad y que ninguna de estas curvas se cruza.

En matemáticas , la excentricidad de una sección cónica es un número real no negativo que caracteriza de forma única su forma.

Más formalmente, dos secciones cónicas son similares si y solo si tienen la misma excentricidad.

Se puede pensar en la excentricidad como una medida de cuánto se desvía una sección cónica de ser circular. En particular:

• La excentricidad de un círculo es cero .
• La excentricidad de una elipse que no es un círculo es mayor que cero pero menor que 1.
• La excentricidad de una parábola es 1.
• La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1.

Definiciones

sección plana de un cono

Cualquier sección cónica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto (el foco) y una línea (la directriz) están en una proporción constante. Esa relación se llama excentricidad, comúnmente denotada como e .

La excentricidad también se puede definir en términos de la intersección de un plano y un cono de doble nudo asociado con la sección cónica. Si el cono está orientado con su eje vertical, la excentricidad es ^[1]

${\displaystyle e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,}$

donde β es el ángulo entre el plano y la horizontal y α es el ángulo entre el generador de inclinación del cono y la horizontal. Porque la sección del plano es un círculo, para una parábola. (El plano no debe encontrarse con el vértice del cono).${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \beta =\alpha }$

La excentricidad lineal de una elipse o hipérbola, denotado c (o, a veces f o e ), es la distancia entre su centro y cualquiera de sus dos focos . La excentricidad se puede definir como la relación entre la excentricidad lineal y el semieje mayor a : es decir, (sin un centro, la excentricidad lineal para las parábolas no está definida). ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

Nombres alternativos

La excentricidad a veces se denomina primera excentricidad para distinguirla de la segunda excentricidad y la tercera excentricidad definida para elipses (ver más abajo). La excentricidad también se denomina a veces excentricidad numérica .

En el caso de elipses e hipérbolas, la excentricidad lineal a veces se denomina separación semifocal .

Notación

Hay tres convenciones de notación de uso común:

1. e para la excentricidad yc para la excentricidad lineal.
2. ε para la excentricidad ye para la excentricidad lineal.
3. e o ε < para la excentricidad y f para la excentricidad lineal (mnemónico para media f vecinal de separación).

Este artículo usa la primera notación.

Valores

Sección cónica	Ecuación	Excentricidad ( e )	Excentricidad lineal ( c )
Circulo	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
Elipse	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$o donde${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle a>b}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
Parábola	${\displaystyle x^{2}=4ay}$	${\displaystyle 1}$	-
Hipérbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ o ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Aquí, para la elipse y la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor yb es la longitud del semieje menor.

Cuando la sección cónica se da en forma cuadrática general

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

la siguiente fórmula da la excentricidad e si la sección cónica no es una parábola (que tiene una excentricidad igual a 1), ni una hipérbola degenerada ni una elipse degenerada , ni una elipse imaginaria: ^[2]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

donde si el determinante de la matriz 3 × 3${\displaystyle \eta =1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

es negativo o si ese determinante es positivo.${\displaystyle \eta =-1}$

Elipse y la hipérbola con constante de una y cambiando la excentricidad e .

Elipses

La excentricidad de una elipse es estrictamente menor que 1. Cuando los círculos (que tienen excentricidad 0) se cuentan como elipses, la excentricidad de una elipse es mayor o igual a 0; si los círculos reciben una categoría especial y se excluyen de la categoría de elipses, entonces la excentricidad de una elipse es estrictamente mayor que 0.

Para cualquier elipse, vamos a ser la longitud de su semieje mayor y b sea la longitud de su semieje menor .

Definimos una serie de conceptos adicionales relacionados (solo para elipses):

Nombre	Símbolo	en términos de una y b	en términos de e
Primera excentricidad	${\displaystyle e}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle e}$
Segunda excentricidad	${\displaystyle e'}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$
Tercera excentricidad	${\displaystyle e''={\sqrt {m}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}}$
Excentricidad angular	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle \sin ^{-1}e}$

Otras fórmulas para la excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es, más simplemente, la relación entre la distancia c entre el centro de la elipse y cada foco y la longitud del semieje mayor a .

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$

La excentricidad es también la relación de la semieje mayor una a la distancia d desde el centro a la directriz:

${\displaystyle e={\frac {a}{d}}.}$

La excentricidad se puede expresar en términos de la aplanamiento f (definido como para semieje mayor a y semieje menor b ):${\displaystyle f=1-b/a}$

${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}.}$

(El aplanamiento se puede denotar por g en algunas áreas temáticas si f es una excentricidad lineal).

Defina los radios máximo y mínimo y como las distancias máxima y mínima desde cualquier foco hasta la elipse (es decir, las distancias desde cualquier foco hasta los dos extremos del eje mayor). Luego, con el semieje mayor a , la excentricidad viene dada por${\displaystyle r_{\text{max}}}$${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},}$

que es la distancia entre los focos dividida por la longitud del eje mayor.

Hipérbolas

La excentricidad de una hipérbola puede ser cualquier número real mayor que 1, sin límite superior. La excentricidad de una hipérbola rectangular es .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Cuadrics

Elipses, hipérbolas con todas las excentricidades posibles de cero a infinito y una parábola en una superficie cúbica.

La excentricidad de un cuadriculado tridimensional es la excentricidad de una sección designada del mismo. Por ejemplo, en un elipsoide triaxial, la excentricidad meridional es la de la elipse formada por una sección que contiene tanto el eje más largo como el más corto (uno de los cuales será el eje polar), y la excentricidad ecuatorial es la excentricidad de la elipse formada. por una sección a través del centro, perpendicular al eje polar (es decir, en el plano ecuatorial). Pero: las secciones cónicas también pueden ocurrir en superficies de orden superior (ver imagen).

Mecánica celestial

Artículo principal: excentricidad orbital

En mecánica celeste , para órbitas ligadas en un potencial esférico, la definición anterior está generalizada de manera informal. Cuando la distancia del apocentro está cerca de la distancia del pericentro , se dice que la órbita tiene una excentricidad baja; cuando son muy diferentes, se dice que la órbita es excéntrica o tiene una excentricidad cercana a la unidad. Esta definición coincide con la definición matemática de excentricidad para elipses, en keplerio, es decir, potenciales.${\displaystyle 1/r}$

Clasificaciones análogas

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Marzo de 2009 )

Varias clasificaciones en matemáticas utilizan terminología derivada de la clasificación de secciones cónicas por excentricidad:

• Clasificación de elementos de SL 2 (R) como elípticos, parabólicos e hiperbólicos, y de manera similar para la clasificación de elementos de PSL ₂ (R), las transformaciones reales de Möbius .
• Clasificación de distribuciones discretas por razón de varianza a media ; consulte los acumulados de algunas distribuciones de probabilidad discretas para obtener más detalles.
• La clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales se realiza por analogía con la clasificación de las secciones cónicas; ver ecuaciones diferenciales parciales elípticas , parabólicas e hiperbólicas . ^[3]

Ver también

• Órbitas de Kepler
• Vector de excentricidad
• Excentricidad orbital
• Redondez (objeto)
• Constante cónica

Referencias

1. Thomas, George B .; Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica (quinta ed.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN  0-201-07540-7
2. Ayoub, Ayoub B., "La excentricidad de una sección cónica", The College Mathematics Journal 34 (2), marzo de 2003, 116-121.
3. "Clasificación de PDE lineales en dos variables independientes" . Consultado el 2 de julio de 2013 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la excentricidad .

• MathWorld: excentricidad