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En matemáticas , especialmente en aplicaciones del álgebra lineal a la física , la notación de Einstein o la convención de suma de Einstein es una convención de notación que implica la suma de un conjunto de términos indexados en una fórmula, logrando así la brevedad de la notación. Como parte de las matemáticas, es un subconjunto de notación del cálculo de Ricci ; sin embargo, se utiliza a menudo en aplicaciones de la física que no distinguen entre espacios tangentes y cotangentes . Fue introducido a la física por Albert Einstein en 1916. [1]

Introducción [ editar ]

Declaración de la convención [ editar ]

De acuerdo con esta convención, cuando una variable de índice aparece dos veces en un solo término y no está definida de otra manera (ver variables libres y ligadas ), implica la suma de ese término sobre todos los valores del índice. Entonces, donde los índices pueden oscilar sobre el conjunto {1, 2, 3} ,

está simplificado por la convención para:

Los índices superiores no son exponentes sino índices de coordenadas, coeficientes o vectores base . Es decir, en este contexto, x 2 debe entenderse como el segundo componente de x en lugar del cuadrado de x (esto ocasionalmente puede conducir a la ambigüedad). La posición de índice superior en x i se debe a que, por lo general, un índice aparece una vez en una posición superior (superíndice) y una vez en una posición inferior (subíndice) en un término (consulte el § Aplicación a continuación). Normalmente, ( x 1 x 2 x 3 ) sería equivalente al tradicional( x y z ) .

En relatividad general , una convención común es que

  • el alfabeto griego se utiliza para los componentes de espacio y tiempo, donde los índices toman valores 0, 1, 2 o 3 (las letras de uso frecuente son μ , ν , ... ),
  • el alfabeto latino se usa solo para componentes espaciales, donde los índices toman valores 1, 2 o 3 (las letras de uso frecuente son i , j , ... ),

En general, los índices pueden variar sobre cualquier conjunto de indexación , incluido un conjunto infinito . Esto no debe confundirse con una convención tipográficamente similar utilizada para distinguir entre la notación de índice tensorial y la notación de índice abstracto independiente de la base, estrechamente relacionada pero distinta .

Un índice que se suma es un índice de suma , en este caso " i ". También se denomina índice ficticio, ya que cualquier símbolo puede reemplazar " i " sin cambiar el significado de la expresión, siempre que no choque con los símbolos de índice en el mismo término.

Un índice que no se suma es un índice gratuito y debe aparecer solo una vez por período. Si aparece un índice de este tipo, también suele aparecer en términos que pertenecen a la misma suma, con la excepción de valores especiales como cero.

Un ejemplo de índice enlazado es "i" en una expresión que equivale a . Tenga en cuenta que incluso cuando "i" aparece dos veces en la parte derecha de la ecuación, no se aplica ninguna suma implícita.

Aplicación [ editar ]

La notación de Einstein se puede aplicar de formas ligeramente diferentes. Normalmente, cada índice aparece una vez en una posición superior (superíndice) y una vez en una posición inferior (subíndice) en un término; sin embargo, la convención se puede aplicar de manera más general a cualquier índice repetido dentro de un término. [2] Cuando se trata de vectores covariantes y contravariantes , donde la posición de un índice también indica el tipo de vector, generalmente se aplica el primer caso; un vector covariante solo puede contraerse con un vector contravariante, correspondiente a la suma de los productos de los coeficientes. Por otro lado, cuando hay una base de coordenadas fija (o cuando no se consideran vectores de coordenadas), se puede optar por utilizar sólo subíndices; consulte § Superíndices y subíndices versus solo subíndices a continuación.

Representaciones vectoriales [ editar ]

Superíndices y subíndices versus solo subíndices [ editar ]

En términos de covarianza y contravarianza de vectores ,

  • los índices superiores representan componentes de vectores contravariantes ( vectores ),
  • los índices más bajos representan componentes de vectores covariantes ( covectores ).

Se transforman de forma contravariable o covariable, respectivamente, con respecto al cambio de base.

En reconocimiento de este hecho, la siguiente notación usa el mismo símbolo tanto para un vector o covector como para sus componentes , como en:

donde v es el vector y v i son sus componentes (no el i- ésimo codificador v ), w es el codificador y w i son sus componentes. Los elementos del vector base son los vectores de cada columna y los elementos de la base del covector son los covectors de cada fila. (Ver también Descripción abstracta; dualidad , a continuación y los ejemplos )

En presencia de una forma no degenerada (un isomorfismo VV , por ejemplo, una métrica de Riemann o una métrica de Minkowski ), se pueden subir y bajar índices .

Una base da tal forma (a través de la base dual ), por lo tanto, cuando se trabaja en n con una métrica euclidiana y una base ortonormal fija, se tiene la opción de trabajar solo con subíndices.

Sin embargo, si se cambian las coordenadas, la forma en que cambian los coeficientes depende de la varianza del objeto y no se puede ignorar la distinción; ver covarianza y contravarianza de vectores .

Mnemónicos [ editar ]

En el ejemplo anterior, los vectores se representan como matrices de n × 1 (vectores de columna), mientras que los covectors se representan como matrices de 1 × n (covectors de fila).

Al usar la convención de vector de columna:

  • " Hasta por índices ir arriba a abajo; l ores índices ir l EFT a la derecha."
  • " Co tensores variante son fila vectores que tienen índices que son a continuación ( co-fila-abajo )."
  • Los Covectors son vectores de fila:
    Por lo tanto, el índice más bajo indica en qué columna se encuentra.
  • Los vectores contravariantes son vectores de columna:
    Por lo tanto, el índice superior indica en qué fila se encuentra.

Descripción del resumen [ editar ]

La virtud de la notación de Einstein es que representa las cantidades invariantes con una notación simple.

En física, un escalar es invariante bajo transformaciones de base . En particular, un escalar de Lorentz es invariante bajo una transformación de Lorentz. Los términos individuales en la suma no lo son. Cuando se cambia la base, los componentes de un vector cambian por una transformación lineal descrita por una matriz. Esto llevó a Einstein a proponer la convención de que los índices repetidos implican que la suma debe realizarse.

En cuanto a los covectors, cambian por la matriz inversa. Esto está diseñado para garantizar que la función lineal asociada con el covector, la suma anterior, sea la misma sin importar cuál sea la base.

El valor de la convención de Einstein es que se aplica a otros espacios vectoriales construidos a partir de V utilizando el producto tensorial y la dualidad . Por ejemplo, VV , el producto tensorial de V consigo mismo, tiene una base que consta de tensores de la forma e ij = e ie j . Cualquier tensor T en VV se puede escribir como:

.

V * , el dual de V , tiene una base e 1 , e 2 , ..., e n que obedece a la regla

donde δ es el delta de Kronecker . Como

las coordenadas de fila / columna en una matriz corresponden a los índices superior / inferior del producto tensorial.

Operaciones comunes en esta notación [ editar ]

En la notación de Einstein, el elemento de referencia habitual A mn para la m ésima fila y la n ésima columna de la matriz A se convierte en A m n . Luego, podemos escribir las siguientes operaciones en notación de Einstein de la siguiente manera.

Producto interno (por lo tanto, también producto escalar vectorial ) [ editar ]

Usando una base ortogonal , el producto interno es la suma de los componentes correspondientes multiplicados:

Esto también se puede calcular multiplicando el covector en el vector.

Producto cruzado vectorial [ editar ]

De nuevo, utilizando una base ortogonal (en 3 dimensiones), el producto cruzado implica intrínsecamente sumas sobre permutaciones de componentes:

dónde

ε ijk es el símbolo de Levi-Civita , y δ il es el delta de Kronecker generalizado. Con base en esta definición de ε , no hay diferencia entre ε i jk y ε ijk sino la posición de los índices.

Multiplicación matriz-vector [ editar ]

El producto de una matriz A ij con un vector columna v j es:

equivalente a

Este es un caso especial de multiplicación de matrices.

Multiplicación de matrices [ editar ]

El producto matricial de dos matrices A ij y B jk es:

equivalente a

Rastrear [ editar ]

Para una matriz cuadrada A i j , la traza es la suma de los elementos diagonales, por lo tanto, la suma sobre un índice común A i i .

Producto externo [ editar ]

El producto exterior del vector columna u i por el vector fila v j produce una matriz A de m × n :

Dado que i y j representan dos índices diferentes , no hay suma y los índices no se eliminan mediante la multiplicación.

Subir y bajar índices [ editar ]

Dado un tensor, se puede subir o bajar un índice contrayendo el tensor con el tensor métrico , g μν . Por ejemplo, tomemos el tensor T α β , se puede elevar un índice:

O uno puede bajar un índice:

Ver también [ editar ]

  • Tensor
  • Notación de índice abstracto
  • Notación bra-ket
  • Notación gráfica de Penrose
  • Símbolo de Levi-Civita
  • Notación DeWitt

Notas [ editar ]

  1. Esto se aplica solo a índices numéricos. La situación es contraria para los índices abstractos . Luego, los vectores mismos llevan índices abstractos superiores y los covectors llevan índices abstractos inferiores, como en el ejemplo de la introducción de este artículo. Los elementos de una base de vectores pueden tener un índice numérico más bajo y un índice abstracto superior .

Referencias [ editar ]

  1. ^ Einstein, Albert (1916). "La Fundación de la Teoría General de la Relatividad" . Annalen der Physik . Código Bibliográfico : 1916AnP ... 354..769E . doi : 10.1002 / yp.19163540702 . Archivado desde el original ( PDF ) el 29 de agosto de 2006 . Consultado el 3 de septiembre de 2006 .
  2. ^ "Resumen de Einstein" . Wolfram Mathworld . Consultado el 13 de abril de 2011 .

Bibliografía [ editar ]

  • Kuptsov, LP (2001) [1994], "Regla de Einstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.

Enlaces externos [ editar ]

  • Rawlings, Steve (1 de febrero de 2007). "Conferencia 10 - Convención de suma de Einstein e identidades vectoriales" . Universidad de Oxford. Archivado desde el original el 6 de enero de 2017 . Consultado el 2 de julio de 2008 .
  • "Comprensión del einsum de NumPy" . Desbordamiento de pila .