Un elipsoide es una superficie que puede obtenerse de una esfera deformándola mediante escalas direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .
Un elipsoide es una superficie cuadrática ; es decir, una superficie que puede definirse como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse , está vacía o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "similar a una elipse"). Está acotado , lo que significa que puede estar encerrado en una esfera suficientemente grande.
Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares que se cruzan en un centro de simetría , llamado centro del elipsoide. Los segmentos de línea que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se denominan ejes principales , o simplemente ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen longitudes diferentes, se dice que el elipsoide es triaxial o raramente escaleno , y los ejes se definen de forma única.
Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un elipsoide de revolución , también llamado esferoide . En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje, por lo que hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado ; si es más largo, es un esferoide alargado . Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera.
Ecuación estándar
Usando un sistema de coordenadas cartesianas en el que el origen es el centro del elipsoide y los ejes de coordenadas son ejes del elipsoide, la ecuación implícita del elipsoide tiene la forma estándar
donde a , b , c son números reales positivos .
Los puntos ( a , 0, 0) , (0, b , 0) y (0, 0, c ) se encuentran en la superficie. Los segmentos de línea desde el origen hasta estos puntos se denominan semiejes principales del elipsoide, porque a , b , c son la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al semieje mayor y al semieje menor de una elipse .
Si a = b > c , uno tiene un esferoide achatado ; si a = b < c , se tiene un esferoide alargado ; si a = b = c , uno tiene una esfera .
Parametrización
El elipsoide puede parametrizarse de varias formas, que son más sencillas de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una opción común es
dónde
Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas , donde θ es el ángulo polar y φ es el ángulo azimutal del punto ( x , y , z ) del elipsoide. [1]
Midiendo desde el centro en lugar de un poste,
dónde
θ es la latitud reducida , latitud paramétrica o anomalía excéntrica y λ es acimut o longitud.
Midiendo ángulos directamente a la superficie del elipsoide, no a la esfera circunscrita,
dónde
γ sería la latitud geocéntrica en la Tierra y λ es la longitud. Estas son verdaderas coordenadas esféricas con el origen en el centro del elipsoide. [ cita requerida ]
En geodesia , la latitud geodésica se usa más comúnmente, como el ángulo entre el plano vertical y el ecuatorial, definido para un elipsoide biaxial. Para obtener un elipsoide triaxial más general, consulte Latitud elipsoidal .
Volumen
El volumen delimitado por el elipsoide es
En términos de los diámetros principales A , B , C (donde A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ), el volumen es
- .
Esta ecuación se reduce a la del volumen de una esfera cuando los tres radios elípticas son iguales, y a la de un achatado o prolato esferoide cuando dos de ellos son iguales.
El volumen de un elipsoide es 2/3el volumen de un cilindro elíptico circunscrito , y π/6el volumen de la caja circunscrita. Los volúmenes de las cajas inscritas y circunscritas son respectivamente:
Área de superficie
El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es [2] [3]
dónde
y donde F ( φ , k ) y E ( φ , k ) son integrales elípticas incompletas del primer y segundo tipo respectivamente. [4]
El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide) se puede expresar en términos de funciones elementales :
o
o
y
que, como se desprende de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para S oblato puede usarse para calcular el área de superficie de un elipsoide prolongado y viceversa). En ambos casos, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse ). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo Mathworld . [5]
Fórmula aproximada
Aquí p ≈ 1,6075 produce un error relativo de como máximo 1,061%; [6] un valor de p = 8/5= 1.6 es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de como máximo 1.178%.
En el límite "plana" de c mucho más pequeño que un y b , el área es de aproximadamente 2π ab , equivalente a p ≈ 1,5850 .
Secciones de plano
Propiedades
La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de algún otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines asignan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un solo punto, o está vacía. [7] Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para elipsoides triaxiales (consulte la sección Circular ).
Determinación de la elipse de una sección plana
Dado: Elipsoidex 2/un 2 + y 2/b 2 + z 2/c 2= 1 y el plano con la ecuación n x x + n y y + n z z = d , que tienen una elipse en común.
Se buscan: tres vectores f 0 (centro) y f 1 , f 2 (vectores conjugados), de modo que la elipse se pueda representar mediante la ecuación paramétrica
(ver elipse ).
Solución: la escala u = X/a, v = y/B, w = z/Ctransforma el elipsoide en la esfera unitaria u 2 + v 2 + w 2 = 1 y el plano dado en el plano con la ecuación
Sea m u u + m v v + m w w = δ la forma normal de Hesse del nuevo plano y
su vector normal unitario. Por eso
es el centro del círculo de intersección y
su radio (ver diagrama).
Donde m w = ± 1 (es decir, el plano es horizontal), sea
Donde m w ≠ ± 1 , sea
En cualquier caso, los vectores e 1 , e 2 son ortogonales, paralelos al plano de intersección y tienen una longitud ρ (radio del círculo). Por lo tanto, el círculo de intersección se puede describir mediante la ecuación paramétrica
La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo en el elipsoide y los vectores e 0 , e 1 , e 2 se mapean en los vectores f 0 , f 1 , f 2 , que se querían para la representación paramétrica de la elipse de intersección .
Cómo encontrar los vértices y semiejes de la elipse se describe en elipse .
Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes a = 4, b = 5, c = 3 que está cortado por el plano x + y + z = 5 .
Construcción de pasadores y cuerdas
La construcción de alfileres y cuerdas de un elipsoide es una transferencia de la idea de construir una elipse usando dos alfileres y una cuerda (ver diagrama).
La construcción de alfileres y cuerdas de un elipsoide de revolución viene dada por la construcción de alfileres y cuerdas de la elipse girada.
La construcción de puntos de un elipsoide triaxial es más complicada. Las primeras ideas se deben al físico escocés JC Maxwell (1868). [8] Las principales investigaciones y la extensión a los cuádricos fue realizada por el matemático alemán O. Staude en 1882, 1886 y 1898. [9] [10] [11] La descripción de la construcción de clavijas y cuerdas de elipsoides e hiperboloides es contenido en el libro La geometría y la imaginación de D. Hilbert & S. Vossen, [12] también.
Pasos de la construcción
- Elija una elipse y una hipérbola , que son un par de cónicas focales :
- Elipse: y
- Hipérbola:
con los vértices y focos de la elipse
- Fijar un extremo de la cuerda al vértice y el otro para enfocar . La cuerda se mantiene tensa en un punto con coordenadas y y z positivas, de modo que la cadena se extiende desde a detrás de la parte superior de la hipérbola (ver diagrama) y es libre de deslizarse sobre la hipérbola. La parte de la cuerda de a corre y se desliza frente a la elipse. La cuerda pasa por ese punto de la hipérbola, por lo que la distanciasobre cualquier punto de hipérbola es mínimo. La declaración analógica en la segunda parte de la cuerda y la elipse también debe ser cierta.
- Luego: es un punto del elipsoide con ecuación
- y
- Los puntos restantes del elipsoide se pueden construir mediante cambios adecuados de la cuerda en las cónicas focales.
Semi-ejes
Las ecuaciones para los semiejes del elipsoide generado se pueden derivar mediante elecciones especiales para el punto : .
La parte inferior del diagrama muestra: también son los focos de la elipse en el plano xy. Por lo tanto, es confocal a la elipse dada y la longitud de la cuerda es. Resolviendo para rinde: . Además:.
Del diagrama superior se obtiene: son los focos de la elipse (del elipsoide) en el plano xz y la ecuación .
Conversar
Si, por el contrario, su ecuación da un elipsoide triaxial, a partir de las ecuaciones del paso 3 se pueden derivar los parámetros para una construcción de pasadores y cuerdas.
Elipsoides confocales
Si es un elipsoide confocal para con los cuadrados de sus semiejes
luego de las ecuaciones de
uno encuentra que las cónicas focales correspondientes utilizadas para la construcción de clavijas y cuerdas tienen los mismos semiejes como elipsoide . Por lo tanto (análogamente a los focos de una elipse) uno considera las cónicas focales de un elipsoide 3-axial como los focos (infinitos) y los llama las curvas focales del elipsoide. [13]
La afirmación inversa también es cierta: si uno elige una segunda cadena de longitud y define luego las ecuaciones son válidos, lo que significa que los dos elipsoides son confocales.
Caso límite, elipsoide de revolución
En caso de uno consigue , lo que significa: la elipse focal degenera en un segmento de línea y la hipérbola focal se colapsa en dos segmentos de línea infinitos en el eje x. El elipsoide es simétrico rotacional con el eje x como eje de rotación y.
Propiedades de la hipérbola focal
- Curva verdadera
- Si uno ve un elipsoide desde un punto externo de su hipérbola focal, que parece ser una esfera, es decir, la forma aparente es un círculo. O equivalente: las tangentes del punto que contiene el elipsoide son las líneas de un cono circular, cuyo eje de rotación es la tangente de la hipérbola en . [14] [15] Si se permite el centro para desaparecer en el infinito, se obtiene una proyección paralela ortogonal con la correspondiente asíntota de la hipérbola focal como dirección. ¡La verdadera curva de forma (puntos tangentes) en el elipsoide es sin círculo! La parte inferior del diagrama muestra a la izquierda una proyección paralela de un elipsoide (semiejes: 60, 40, 30) a lo largo de una asíntota y a la derecha una proyección central con centro y punto principal en la tangente de la hipérbola en el punto . ( es el pie de la perpendicular de en el plano de la imagen.) Para ambas proyecciones, la forma aparente es un círculo. En el caso paralelo, la imagen del origen es el centro del círculo, en el caso central el punto principal es el centro.
- Puntos umbilicales
- La hipérbola focal corta al elipsoide en sus 4 puntos umbilicales . [dieciséis]
Propiedad de la elipse focal
La elipse focal junto con su parte interna se puede considerar como la superficie límite (elipsoide infinitamente delgado) del lápiz de elipsoides confocales determinados por por . Para el caso límite uno obtiene
En posición general
Como cuadric
De manera más general, un elipsoide orientado arbitrariamente, centrado en v , se define mediante las soluciones x a la ecuación
donde A es una matriz definida positiva y x , v son vectores .
Los autovectores de A definen los ejes principales del elipsoide y los autovalores de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes:, y . [17] Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que puede ser llevado a la forma estándar anterior mediante una rotación adecuada , una consecuencia de la descomposición polar (también, ver teorema espectral ). Si la transformación lineal está representada por una matriz simétrica de 3 por 3 , entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición de valor singular y la descomposición polar son descomposiciones matriciales estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.
Representación paramétrica
La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en posición general es la definición alternativa:
- Un elipsoide es una imagen afín de la esfera unitaria.
Una transformación afín se puede representar mediante una traducción con un vector y una matriz regular de 3 × 3 :
- ,
dónde son los vectores columna de la matriz .
Se puede obtener una representación paramétrica de un elipsoide en posición general mediante la representación paramétrica de una esfera unitaria (ver arriba) y una transformación afín:
- .
Si los vectores forman un sistema ortogonal, los puntos con vectores son los vértices del elipsoide y son los ejes semi principales.
Un vector normal de superficie en el punto es
Para cualquier elipsoide existe una representación implícita . Si por simplicidad el centro del elipsoide es el origen, es decir, la siguiente ecuación describe el elipsoide anterior: [18]
Aplicaciones
La forma elipsoidal encuentra muchas aplicaciones prácticas:
- Geodesia
- Elipsoide terrestre , una figura matemática que se aproxima a la forma de la Tierra.
- Elipsoide de referencia , una figura matemática que se aproxima a la forma de los cuerpos planetarios en general.
- Mecánica
- Elipsoide de Poinsot , un método geométrico para visualizar el movimiento sin torque de un cuerpo rígido giratorio .
- Elipsoide de tensiones de Lamé , una alternativa al círculo de Mohr para la representación gráfica del estado de tensiones en un punto.
- Elipsoide de manipulabilidad , utilizado para describir la libertad de movimiento de un robot.
- Elipsoide de Jacobi , un elipsoide triaxial formado por un fluido en rotación
- Cristalografía
- Elipsoide de índice , un diagrama de un elipsoide que representa la orientación y la magnitud relativa de los índices de refracción en un cristal.
- Elipsoide térmico , elipsoides utilizados en cristalografía para indicar las magnitudes y direcciones de la vibración térmica de los átomos en estructuras cristalinas.
- Encendiendo
- Proyector reflector elipsoidal
- Proyector reflector elipsoidal
- Medicamento
- Las mediciones obtenidas de la resonancia magnética de la próstata se pueden utilizar para determinar el volumen de la glándula utilizando la aproximación L × W × H × 0,52 (donde 0,52 es una aproximación de π/6) [19]
Propiedades dinámicas
La masa de un elipsoide de densidad uniforme ρ es:
Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son:
Para a = b = c estos momentos de inercia se reducen a los de una esfera de densidad uniforme.
Los elipsoides y cuboides giran de manera estable a lo largo de sus ejes mayor o menor, pero no a lo largo de su eje mediano. Esto se puede ver experimentalmente lanzando una goma de borrar con algo de giro. Además, las consideraciones del momento de inercia significan que la rotación a lo largo del eje mayor se perturba más fácilmente que la rotación a lo largo del eje menor. [20]
Un efecto práctico de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos como Haumea generalmente giran a lo largo de sus ejes menores (al igual que la Tierra, que es simplemente achatada); Además, debido al bloqueo de las mareas , las lunas en órbita sincrónica como Mimas orbitan con su eje mayor alineado radialmente con su planeta.
Un cuerpo giratorio de fluido autogravitante homogéneo asumirá la forma de un esferoide de Maclaurin ( esferoide achatado) o de elipsoide de Jacobi (elipsoide escaleno) cuando esté en equilibrio hidrostático y para velocidades moderadas de rotación. En rotaciones más rápidas, se pueden esperar formas piriformes u oviformes no elipsoidales , pero estas no son estables.
Dinámica de fluidos
El elipsoide es la forma más general para la que ha sido posible calcular el flujo progresivo de fluido alrededor de la forma sólida. Los cálculos incluyen la fuerza requerida para trasladarse a través de un fluido y rotar dentro de él. Las aplicaciones incluyen determinar el tamaño y la forma de moléculas grandes, la velocidad de hundimiento de partículas pequeñas y la capacidad de natación de los microorganismos . [21]
En probabilidad y estadística
Las distribuciones elípticas , que generalizan la distribución normal multivariante y se utilizan en finanzas , se pueden definir en términos de sus funciones de densidad . Cuando existen, las funciones de densidad f tienen la estructura:
dónde es un factor de escala, es un -Vector de fila aleatoria dimensional con vector mediano (que es también el vector medio si este último existe), es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe, yes un mapeo de funciones de los reales no negativos a los reales no negativos dando un área finita bajo la curva. [22] La distribución normal multivariante es el caso especial en el que para forma cuadrática .
Por tanto, la función de densidad es una transformación de escalar a escalar de una expresión cuadrática. Además, la ecuación para cualquier superficie de isodensidad establece que la expresión cuádrica es igual a alguna constante específica para ese valor de la densidad, y la superficie de isodensidad es un elipsoide.
En dimensiones superiores
Un hiperelipsoide , o elipsoide de dimensión n en un espacio euclidiano de dimensión n + 1 , es una hipersuperficie cuádrica definida por un polinomio de grado dos que tiene una parte homogénea de grado dos que es una forma cuadrática definida positiva .
También se puede definir un hiperelipsoide como la imagen de una esfera bajo una transformación afín invertible . El teorema espectral se puede usar nuevamente para obtener una ecuación estándar de la forma
El volumen de un hiperelipsoide se puede obtener reemplazando por en la fórmula para el volumen de una hiperesfera .
Ver también
- Domo elipsoidal
- Método elipsoide
- Coordenadas elipsoidales
- Distribución elíptica , en estadísticas
- El aplanamiento , también llamado elipticidad y achatamiento , es una medida de la compresión de un círculo o esfera a lo largo de un diámetro para formar una elipse o un elipsoide de revolución (esferoide), respectivamente.
- Focaloid , un caparazón delimitado por dos elipsoides confocales concéntricos
- Geodésicas en un elipsoide
- Datum geodésico , la Tierra gravitacional modelada por un elipsoide mejor ajustado
- Homeoide , un caparazón delimitado por dos elipsoides concéntricos similares
- Lista de superficies
Notas
- ^ Kreyszig (1972 , págs. 455–456)
- ^ FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert y CW Clark, editores, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions ( Cambridge University Press ), disponible en línea en "Copia archivada" . Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2012 . Consultado el 8 de enero de 2012 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace ) (ver la siguiente referencia).
- ^ NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología) en http://www.nist.gov Archivado el 17 de junio de 2015 en Wayback Machine
- ^ http://dlmf.nist.gov/19.2
- ^ W., Weisstein, Eric. "Prolate Esferoide" . mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 3 de agosto de 2017 . Consultado el 25 de marzo de 2018 .
- ^ Respuestas finales Archivado el 30 de septiembre de 2011 en la Wayback Machine por Gerard P. Michon (13 de mayo de 2004). Véanse las fórmulas de Thomsen y los comentarios de Cantrell.
- ^ Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometría analítica sólida , Dover, p. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
- ^ W. Böhm: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung , Matemáticas. Nachrichten 13, 1955, S. 151
- ^ Staude, O .: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Matemáticas. Ana. 20, 147-184 (1882)
- ^ Staude, O .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grados. Matemáticas. Ana. 27, 253-271 (1886).
- ^ Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ana. 50, 398 - 428 (1898).
- ^ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometría e imaginación , Chelsea New York, 1952 ISBN 0-8284-1087-9 , pág. 20.
- ↑ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , Teubner, Leipzig 1861, p. 287
- ^ D. Hilbert y S Cohn-Vossen: Geometría e imaginación , p. 24
- ↑ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , p. 301
- ^ W. Blaschke: Analytische Geometrie , p. 125
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de junio de 2013 . Consultado el 12 de octubre de 2013 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace ) págs. 17-18.
- ^ Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Archivado el 10 de noviembre de 2013 en Wayback Machine Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.
- ^ Bezinque, Adam; et al. (2018). "Determinación del volumen de la próstata: una comparación de métodos contemporáneos". Radiología académica . 25 (12): 1582-1587. doi : 10.1016 / j.acra.2018.03.014 . PMID 29609953 .
- ^ Goldstein, HG (1980). Mecánica clásica , (2a edición) Capítulo 5.
- ^ Dusenbery, David B. (2009). Viviendo en Micro Scale , Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 .
- ^ Frahm, G., Junker, M. y Szimayer, A. (2003). Cópulas elípticas: aplicabilidad y limitaciones. Estadísticas y letras de probabilidad, 63 (3), 275–286.
Referencias
- Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
enlaces externos
- " Elipsoide " de Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
- Superficie elipsoide y cuadrática , MathWorld .