En matemáticas , un problema de valor de frontera elíptico es un tipo especial de problema de valor de frontera que se puede considerar como el estado estable de un problema de evolución . Por ejemplo, el problema de Dirichlet para el laplaciano da la eventual distribución de calor en una habitación varias horas después de que se enciende la calefacción.
Las ecuaciones diferenciales describen una gran clase de fenómenos naturales, desde la ecuación del calor que describe la evolución del calor en (por ejemplo) una placa de metal, hasta la ecuación de Navier-Stokes que describe el movimiento de los fluidos, incluidas las ecuaciones de Einstein que describen el universo físico de forma relativista camino. Aunque todas estas ecuaciones son problemas de valores en la frontera, se subdividen en categorías. Esto es necesario porque cada categoría debe analizarse utilizando diferentes técnicas. El presente artículo trata de la categoría de problemas de valores en la frontera conocidos como problemas elípticos lineales.
Los problemas de valores en la frontera y las ecuaciones diferenciales parciales especifican relaciones entre dos o más cantidades. Por ejemplo, en la ecuación del calor, la tasa de cambio de temperatura en un punto está relacionada con la diferencia de temperatura entre ese punto y los puntos cercanos, de modo que, con el tiempo, el calor fluye de puntos más calientes a puntos más fríos. Los problemas de valor límite pueden involucrar espacio, tiempo y otras cantidades como temperatura, velocidad, presión, campo magnético, etc.
Algunos problemas no involucran tiempo. Por ejemplo, si uno cuelga un tendedero entre la casa y un árbol, entonces, en ausencia de viento, el tendedero no se moverá y adoptará una suave forma curva colgante conocida como catenaria . [1] Esta forma curva se puede calcular como la solución de una ecuación diferencial que relaciona la posición, la tensión, el ángulo y la gravedad, pero como la forma no cambia con el tiempo, no hay una variable de tiempo.
Los problemas de valores de frontera elípticos son una clase de problemas que no involucran la variable de tiempo y, en cambio, solo dependen de las variables de espacio.
El ejemplo principal
En dos dimensiones, deja ser las coordenadas. Usaremos la notaciónpara la primera y segunda derivadas parciales de con respecto a , y una notación similar para . Usaremos los símbolos y para los operadores diferenciales parciales en y . Las segundas derivadas parciales se denotarán y . También definimos el gradiente, el operador de Laplace y la divergencia . Tenga en cuenta de las definiciones que.
El principal ejemplo de problemas de valores en la frontera es el operador de Laplace,
dónde es una región en el plano y es el límite de esa región. La función son datos conocidos y la solución es lo que se debe calcular. Este ejemplo tiene las mismas propiedades esenciales que todos los demás problemas de valores de frontera elípticos.
La solución puede interpretarse como la distribución estacionaria o límite de calor en una placa de metal con forma de , si esta placa de metal tiene su límite adyacente al hielo (que se mantiene a cero grados, por lo tanto, la condición de límite de Dirichlet ). representa la intensidad de la generación de calor en cada punto de la placa (quizás haya un calentador eléctrico apoyado en la placa de metal, bombeando calor a la placa a una velocidad , que no varía con el tiempo, pero puede no ser uniforme en el espacio de la placa de metal.) Después de esperar mucho tiempo, la distribución de temperatura en la placa de metal se acercará .
Nomenclatura
Dejar dónde y son constantes. se denomina operador diferencial de segundo orden . Si reemplazamos formalmente las derivadas por y por , obtenemos la expresión
- .
Si establecemos esta expresión igual a alguna constante , entonces obtenemos una elipse (sison todos el mismo signo) o una hipérbola (si y son de signos opuestos.) Por esa razón, se dice que es elíptico cuando e hiperbólico si . Del mismo modo, el operadorconduce a una parábola , por lo que este se dice que es parabólico.
Ahora generalizamos la noción de elipticidad. Si bien puede que no sea obvio que nuestra generalización sea la correcta, resulta que conserva la mayoría de las propiedades necesarias para el análisis.
Problemas generales de valores de contorno elípticos lineales de segundo grado
Dejar ser las variables espaciales. Dejar Ser funciones de valor real de . Dejarser un operador lineal de segundo grado. Es decir,
- (forma de divergencia).
- (forma de no divergencia)
Hemos utilizado el subíndice para denotar la derivada parcial con respecto a la variable espacial. Las dos fórmulas son equivalentes, siempre que
- .
En notación matricial, podemos dejar frijol función de matriz de valores de y ser un -función de valor vectorial de columna dimensional de , y luego podemos escribir
- (forma de divergencia).
Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que la matriz es simétrico (es decir, para todos , . Hacemos esa suposición en el resto de este artículo.
Decimos que el operador es elíptica si, para alguna constante, se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- (ver autovalor ).
- .
- .
Un problema de valor de frontera elíptico es entonces un sistema de ecuaciones como
- (el PDE) y
- (el valor límite).
Este ejemplo particular es el problema de Dirichlet . El problema de Neumann es
- y
dónde es la derivada de en la dirección de la normal que apunta hacia afuera de . En general, sies cualquier operador de rastreo , se puede construir el problema del valor límite
- y
- .
En el resto de este artículo, asumimos que es elíptica y que la condición de contorno es la condición de Dirichlet .
Espacios de Sobolev
El análisis de problemas de valores de frontera elípticos requiere algunas herramientas bastante sofisticadas de análisis funcional . Requerimos el espacio, el espacio de Sobolev de funciones "una vez diferenciables" en, de modo que tanto la función y sus derivadas parciales , son todos integrables cuadrados . Hay una sutileza aquí en el sentido de que las derivadas parciales deben definirse "en el sentido débil" (consulte el artículo sobre los espacios de Sobolev para obtener más detalles).es un espacio de Hilbert , lo que explica gran parte de la facilidad con la que se analizan estos problemas.
La discusión en detalles de los espacios de Sobolev está más allá del alcance de este artículo, pero citaremos los resultados requeridos a medida que surjan.
A menos que se indique lo contrario, todos los derivados de este artículo deben interpretarse en el sentido débil de Sobolev. Usamos el término "derivada fuerte" para referirnos a la derivada clásica del cálculo. También especificamos que los espacios, constan de funciones que son tiempos fuertemente diferenciables, y que el la derivada es continua.
Formulación débil o variacional
El primer paso para plantear el problema del valor límite como en el lenguaje de los espacios de Sobolev es reformularlo en su forma débil. Considere el problema de Laplace. Multiplica cada lado de la ecuación por una "función de prueba"e integrar por partes usando el teorema de Green para obtener
- .
Estaremos resolviendo el problema de Dirichlet, para que . Por razones técnicas, es útil suponer que se toma del mismo espacio de funciones que es así que también asumimos que . Esto elimina el plazo, cediendo
- (*)
dónde
- y
- .
Si es un operador elíptico general, el mismo razonamiento conduce a la forma bilineal
- .
No discutimos el problema de Neumann pero notamos que se analiza de manera similar.
Formas bilineales continuas y coercitivas
El mapa se define en el espacio de Sobolev de funciones que alguna vez son diferenciables y cero en el límite , siempre que impongamos algunas condiciones a y . Hay muchas opciones posibles, pero para el propósito de este artículo, asumiremos que
- es continuamente diferenciable en por
- es continuo en por
- es continuo en y
- está ligado.
El lector puede verificar que el mapa es además bilineal y continuo , y que el mapaes lineal en, y continuo si (por ejemplo) es cuadrado integrable.
Decimos que el mapa es coercitivo si hay un para todos ,
Esto es trivialmente cierto para los laplacianos (con ) y también es cierto para un operador elíptico si asumimos y . (Recordar que Cuándo es elíptica.)
Existencia y singularidad de la solución débil.
Uno puede mostrar, a través del lema Lax-Milgram , que siempre que es coercitivo y es continuo, entonces existe una solución única al problema débil (*).
Si mas es simétrico (es decir, ), se puede mostrar el mismo resultado utilizando el teorema de representación de Riesz .
Esto se basa en el hecho de que forma un producto interior en , que a su vez depende de la desigualdad de Poincaré .
Soluciones fuertes
Hemos demostrado que hay una que resuelve el sistema débil, pero no sabemos si este resuelve el sistema fuerte
Aún más irritante es que ni siquiera estamos seguros de que es dos veces diferenciable, lo que hace que las expresiones en aparentemente sin sentido. Hay muchas formas de remediar la situación, siendo la principal la regularidad .
Regularidad
Un teorema de regularidad para un problema de valor de frontera elíptico lineal de segundo orden toma la forma
Teorema Si (alguna condición), entonces la solución es en , el espacio de funciones "dos veces diferenciables" cuyas segundas derivadas son integrables al cuadrado.
No existe una condición simple conocida necesaria y suficiente para que se cumpla la conclusión del teorema, pero se sabe que las siguientes condiciones son suficientes:
- El límite de es , o
- es convexo.
Puede resultar tentador inferir que si es por partes luego está de hecho en , pero eso es, lamentablemente, falso.
Soluciones en casi todas partes
En el caso de que luego las segundas derivadas de se definen casi en todas partes , y en ese caso Casi en cualquier parte.
Soluciones fuertes
También se puede probar que si el límite de es un colector suave y es infinitamente diferenciable en el sentido fuerte, entonces también es infinitamente diferenciable en el sentido fuerte. En este caso, con la fuerte definición de la derivada.
La prueba de esto se basa en un teorema de regularidad mejorado que dice que si es y , , luego , junto con un teorema incrustado de Sobolev que dice que funciona en también están en cuando sea .
Soluciones numéricas
Si bien en circunstancias excepcionales es posible resolver problemas elípticos de forma explícita, en general es una tarea imposible. La solución natural es aproximar el problema elíptico con uno más simple y resolver este problema más simple en una computadora.
Debido a las buenas propiedades que hemos enumerado (así como muchas que no lo hemos hecho), existen solucionadores numéricos extremadamente eficientes para problemas de valores de frontera elípticos lineales (consulte el método de elementos finitos , el método de diferencias finitas y el método espectral para ver ejemplos).
Valores propios y soluciones propias
Otro teorema de incrustación de Sobolev establece que la inclusión es un mapa lineal compacto. Equipado con el teorema espectral para operadores lineales compactos, se obtiene el siguiente resultado.
Teorema Suponga quees coercitivo, continuo y simétrico. El mapa de a es un mapa lineal compacto. Tiene una base de autovectores y valores propios coincidentes tal que
- como ,
- ,
- cuando sea y
- para todos
Soluciones en serie y la importancia de las eigensolutions
Si uno ha calculado los autovalores y autovectores, entonces uno puede encontrar la solución "explícita" de ,
a través de la fórmula
dónde
(Ver serie de Fourier ).
La serie converge en . Implementado en una computadora usando aproximaciones numéricas, esto se conoce como el método espectral .
Un ejemplo
Considere el problema
- en
- (Condiciones de Dirichlet).
El lector puede verificar que los vectores propios son exactamente
- ,
con valores propios
Los coeficientes de Fourier de se puede buscar en una mesa, obteniendo . Por lo tanto,
dando la solución
Principio máximo
Hay muchas variantes del principio máximo. Damos uno sencillo.
Teorema. (Principio máximo débil).y asumir que . Dilo en . Luego. En otras palabras, el máximo se alcanza en el límite.
Un principio máximo fuerte concluiría que para todos a no ser que es constante.
Referencias
- ^ Swetz, Faauvel, Bekken, "Aprenda de los maestros", 1997, MAA ISBN 0-88385-703-0 , pp.128-9
Otras lecturas
- Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 19 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0772-2.