En el campo matemático del análisis complejo, las funciones elípticas son un tipo especial de funciones meromórficas , que satisfacen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque proceden de integrales elípticas . Originalmente, esas integrales ocurrieron en el cálculo de la longitud del arco de una elipse .
Las funciones elípticas importantes son las funciones elípticas de Jacobi y la Weierstrass-función .
Un mayor desarrollo de esta teoría condujo a funciones hiperelípticas y formas modulares .
Definición
Una función meromórfica se llama función elíptica, si hay dos- números complejos lineales independientes tal que
- y .
Entonces, las funciones elípticas tienen dos períodos y, por lo tanto, también se denominan doblemente periódicas .
Celosía de período y dominio fundamental
Si es una función elíptica con puntos también sostiene que
para cada combinación lineal con .
se llama celosía de período .
El paralelogramo generado pory
se llama dominio fundamental.
Geométricamente, el plano complejo está en mosaico con paralelogramos. Todo lo que sucede en el dominio fundamental se repite en todos los demás. Por esa razón podemos ver la función elíptica como funciones con el grupo cociente como su dominio. Este grupo de cocientes se puede visualizar como un paralelogramo donde se identifican los lados opuestos, que topológicamente es un toro . [1]
Teoremas de Liouville
Los siguientes tres teoremas se conocen como teoremas de Liouville (1847).
1er teorema
Una función elíptica holomórfica es constante. [2]
Ésta es la forma original del teorema de Liouville y se puede derivar de él. [3] Una función elíptica holomórfica está acotada ya que toma todos sus valores en el dominio fundamental que es compacto. Por tanto, es constante según el teorema de Liouville.
2do teorema
Cada función elíptica tiene un número finito de polos en y la suma de sus residuos es cero. [4]
Este teorema implica que no existe una función elíptica que no sea igual a cero con exactamente un polo de orden uno o exactamente un cero de orden uno en el dominio fundamental.
3er teorema
Una función elíptica no constante toma cada valor el mismo número de veces en contado con multiplicidad. [5]
Weierstrass -función
Una de las funciones elípticas más importantes es la Weierstrass. -función. Para un período determinado de celosía está definido por
Está construido de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de la celosía. El termino está ahí para hacer convergente la serie.
es una función elíptica par, eso significa . [6]
Su derivado
es una función extraña, es decir [6]
Uno de los principales resultados de la teoría de las funciones elípticas es el siguiente: Toda función elíptica con respecto a un período determinado. puede expresarse como una función racional en términos de y . [7]
La -función satisface la ecuación diferencial
y son constantes que dependen de . Más precisamente y , dónde y son las llamadas series de Eisenstein . [8]
En lenguaje algebraico: el campo de funciones elípticas es isomorfo al campo
- ,
donde se asigna el isomorfismo a y a .
Relación con las integrales elípticas
La relación con las integrales elípticas tiene principalmente antecedentes históricos. Las integrales elípticas habían sido estudiadas por Legendre , cuyo trabajo fue asumido por Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi .
Abel descubrió las funciones elípticas tomando la función inversa de la función integral elíptica
con . [9]
Adicionalmente definió las funciones [10]
y
- .
Después de continuar al plano complejo, resultaron ser doblemente periódicas y se conocen como funciones elípticas de Abel .
Las funciones elípticas de Jacobi se obtienen de manera similar como funciones inversas de integrales elípticas.
Jacobi consideró la función integral
y lo invirtió: . significa sinus amplitudinis y es el nombre de la nueva función. [11] Luego introdujo las funciones cosinus amplitudinis y delta amplitudinis , que se definen de la siguiente manera:
- .
Solo dando este paso, Jacobi pudo probar su fórmula de transformación general de integrales elípticas en 1827. [12]
Historia
Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de las funciones elípticas . Cuando intentaron calcular la longitud del arco de una lemniscata, encontraron problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. [13] Estaba claro que las llamadas integrales elípticas no podían resolverse usando funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre integrales elípticas, lo que publicó en 1750. [13] Euler generalizó inmediatamente los resultados de Fagnano y planteó su teorema de adición algebraica para integrales elípticas. [13]
A excepción de un comentario de Landen [14], sus ideas no se desarrollaron hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . [15] Legendre posteriormente estudió las integrales elípticas y las llamó funciones elípticas . Legendre introdujo una clasificación triple –tres tipos– que fue una simplificación crucial de la teoría bastante complicada en ese momento. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les trascendantes elliptiques (1792), [16] Exercices de calcul intégral (1811-1817), [17] Traité des fonctions elliptiques (1825-1832). [18] El trabajo de Legendre en su mayoría no fue tocado por los matemáticos hasta 1826.
Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi reanudaron las investigaciones y rápidamente descubrieron nuevos resultados. Al principio invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas ahora se llaman funciones elípticas . Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum que se publicó en 1829. [19] El teorema de la adición que encontró Euler fue propuesto y probado en su forma general por Abel en 1829. Nótese que en aquellos días la teoría de las funciones elípticas y la La teoría de las funciones doblemente periódicas se consideraron teorías diferentes. Fueron reunidos por Briout y Bouquet en 1856. [20] Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada sobre el tema. [21]
Ver también
- Integral elíptica
- Grupo modular
- Función theta de Ramanujan
Referencias
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Jeremy Gray (2015), Real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, pp.118f, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ a b K. Chandrasekharan (1985), Funciones elípticas (en alemán), Berlín: Springer-Verlag, p. 28, ISBN 0-387-15295-4
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (en alemán), Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (en alemán), Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (en alemán), Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (en alemán), Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ a b c Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX . Cham. págs. 23 y sig. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663 .
- ↑ John Landen: Una investigación de un teorema general para encontrar la longitud de cualquier arco de cualquier hipérbola cónica, por medio de dos arcos elípticos, con algunos otros teoremas nuevos y útiles deducidos de ellos. En: The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283-289, JSTOR 106197 .
- ↑ Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse. En: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), S. 616–643. - Ders .: Second mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. En: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), S. 644–683.
- ↑ Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les transcendantes elliptiques , où l'on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d'ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Du Pont & Firmin-Didot, París 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. En: Thomas Leybourn: Nueva serie del repositorio matemático . Band 2. Glendinning, Londres 1809, Teil 3, S. 1-34.
- ^ Adrien-Marie Legendre: Exercices de calcul integral sur divers ordres de trascendantes et sur les quadratures. 3 Bände. ( Banda 1 , Banda 2 , Banda 3). París 1811-1817.
- ^ Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. 3 Bde. ( Banda 1 , Banda 2 , Banda 3/1 , Banda 3/2, Banda 3/3). Huzard-Courcier, París 1825–1832.
- ^ Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Königsberg 1829.
- ^ Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX . Cham. pag. 122. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663 .
- ^ Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX . Cham. pag. 96. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663 .
Literatura
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 16" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 . Consulte también el capítulo 18 . (solo considera el caso de invariantes reales).
- NI Akhiezer , Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (consulte el capítulo 1.)
- ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press, 1952.
enlaces externos
- "Función elíptica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- MAA, traducción del artículo de Abel sobre funciones elípticas.
- Funciones elípticas e integrales elípticas en YouTube , conferencia de William A. Schwalm (4 horas)
- Johansson, Fredrik (2018). "Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares". arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].