Órbita elíptica

En astrodinámica o mecánica celeste , una órbita elíptica o una órbita elíptica es una órbita de Kepler con una excentricidad inferior a 1; esto incluye el caso especial de una órbita circular , con excentricidad igual a 0. En un sentido más estricto, es una órbita de Kepler con la excentricidad mayor que 0 y menor que 1 (excluyendo así la órbita circular). En un sentido más amplio, es una órbita de Kepler con energía negativa . Esto incluye la órbita elíptica radial, con excentricidad igual a 1.

Animación de órbita por excentricidad
  0.0   ·  0,2   ·  0,4   ·  0,6   ·  0,8

Dos cuerpos con masa similar orbitando alrededor de un baricentro común con órbitas elípticas.

Se representa una órbita elíptica en el cuadrante superior derecho de este diagrama, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra energía potencial y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye a medida que la velocidad del cuerpo en órbita disminuye y la distancia aumenta de acuerdo con las leyes de Kepler.

En un problema gravitacional de dos cuerpos con energía negativa, ambos cuerpos siguen órbitas elípticas similares con el mismo período orbital alrededor de su baricentro común . Además, la posición relativa de un cuerpo con respecto al otro sigue una órbita elíptica.

Ejemplos de órbitas elípticas incluyen: órbita de transferencia de Hohmann , órbita de Molniya y órbita de tundra .

Velocidad

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital (${\displaystyle v\,}$) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como:

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$ es la distancia entre los cuerpos en órbita.
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica tiene +${\displaystyle {1 \over {a}}}$, o lo mismo ocurre con la convención que en ese caso a es negativa.

Periodo orbital

Bajo supuestos estándar, el período orbital (${\displaystyle T\,\!}$) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular como:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

Conclusiones:

• El período orbital es igual al de una órbita circular con el radio orbital igual al semieje mayor (${\displaystyle a\,\!}$),
• Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (ver también: tercera ley de Kepler ).

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica (${\displaystyle \epsilon \,}$) de una órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de energía orbital (la ecuación de Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma:

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia entre el cuerpo en órbita y el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es la longitud del semieje mayor ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Conclusiones:

• Para un semieje mayor dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Usando el teorema del virial encontramos:

• el tiempo promedio de la energía potencial específica es igual a −2ε
  • el tiempo promedio de r ⁻¹ es a ⁻¹
• el tiempo promedio de la energía cinética específica es igual a ε

Energía en términos de semieje mayor

Puede ser útil conocer la energía en términos del semieje mayor (y las masas involucradas). La energía total de la órbita viene dada por

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

donde a es el semieje mayor.

Derivación

Dado que la gravedad es una fuerza central, el momento angular es constante:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

En los enfoques más cercanos y más lejanos, el momento angular es perpendicular a la distancia desde la masa en órbita, por lo tanto:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

La energía total de la órbita viene dada por

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Podemos sustituir v y obtener

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Esto es cierto porque r es la distancia más cercana / más lejana, por lo que obtenemos dos ecuaciones simultáneas que resolvemos para E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Desde ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ y ${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$, donde épsilon es la excentricidad de la órbita, finalmente tenemos el resultado indicado.

Ángulo de trayectoria de vuelo

El ángulo de la trayectoria de vuelo es el ángulo entre el vector de velocidad del cuerpo en órbita (= el vector tangente a la órbita instantánea) y la horizontal local. Bajo supuestos estándar de conservación del momento angular, el ángulo de la trayectoria de vuelo${\displaystyle \phi }$ satisface la ecuación:

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

dónde:

• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular relativo específico de la órbita,
• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita al cuerpo central ,
• ${\displaystyle \phi \,}$ es el ángulo de la trayectoria de vuelo

${\displaystyle \psi }$ es el ángulo entre el vector de velocidad orbital y el semieje mayor. ${\displaystyle \nu }$ es la verdadera anomalía local. ${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$, por lo tanto,

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

dónde ${\displaystyle e}$ es la excentricidad.

El momento angular está relacionado con el producto cruzado vectorial de la posición y la velocidad, que es proporcional al seno del ángulo entre estos dos vectores. Aquí${\displaystyle \phi }$ se define como el ángulo que difiere 90 grados de este, por lo que el coseno aparece en lugar del seno.

Ecuación de movimiento

Desde la posición inicial y la velocidad

Una ecuación de órbita define la trayectoria de un cuerpo en órbita. ${\displaystyle m_{2}\,\!}$alrededor del cuerpo central ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ relativo a ${\displaystyle m_{1}\,\!}$, sin especificar la posición en función del tiempo. Si la excentricidad es menor que 1, entonces la ecuación de movimiento describe una órbita elíptica. Porque la ecuación de Kepler ${\displaystyle M=E-e\sin E}$no tiene una solución general de forma cerrada para la anomalía excéntrica (E) en términos de la anomalía media (M), las ecuaciones de movimiento en función del tiempo tampoco tienen una solución de forma cerrada (aunque existen soluciones numéricas para ambas).

Sin embargo, las ecuaciones de trayectoria de forma cerrada independientes del tiempo de una órbita elíptica con respecto a un cuerpo central se pueden determinar solo desde una posición inicial (${\displaystyle \mathbf {r} }$) y velocidad (${\displaystyle \mathbf {v} }$).

Para este caso, es conveniente utilizar los siguientes supuestos que difieren algo de los supuestos estándar anteriores:

1. La posición del cuerpo central está en el origen y es el foco principal (${\displaystyle \mathbf {F1} }$) de la elipse (alternativamente, el centro de masa se puede usar en su lugar si el cuerpo en órbita tiene una masa significativa)
2. Se conoce la masa del cuerpo central (m1)
3. La posición inicial del cuerpo en órbita (${\displaystyle \mathbf {r} }$) y velocidad (${\displaystyle \mathbf {v} }$) son conocidos
4. La elipse se encuentra dentro del plano XY

La cuarta suposición se puede hacer sin pérdida de generalidad porque tres puntos (o vectores) cualesquiera deben estar dentro de un plano común. Bajo estos supuestos, el segundo foco (a veces llamado el foco "vacío") también debe estar dentro del plano XY:${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$ .

Usando vectores

La ecuación general de una elipse bajo estos supuestos usando vectores es:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {r} |+|\mathbf {r} |=2a\qquad \mid z=0}$

dónde:

• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$ es el segundo foco ("vacío").
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$ es cualquier valor (x, y) que satisfaga la ecuación.

La longitud del semieje mayor (a) se puede calcular como:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

dónde ${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$es el parámetro gravitacional estándar .

El foco vacío (${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$) se puede encontrar determinando primero el vector de excentricidad :

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

Dónde ${\displaystyle \mathbf {h} }$ es el momento angular específico del cuerpo en órbita:

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

Luego

${\displaystyle \mathbf {F2} =2a\mathbf {e} }$

Uso de coordenadas XY

Esto se puede hacer en coordenadas cartesianas mediante el siguiente procedimiento:

La ecuación general de una elipse bajo los supuestos anteriores es:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Dado:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$ las coordenadas de la posición inicial

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$ las coordenadas de velocidad inicial

y

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$ el parámetro gravitacional

Luego:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$ momento angular específico

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$ distancia inicial de F1 (en el origen)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$ la longitud del eje semi-mayor

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$las coordenadas del vector de excentricidad

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Finalmente, el foco vacío coordina

${\displaystyle f_{x}=2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=2ae_{y}\quad }$

Ahora los valores de resultado fx, fy y a se pueden aplicar a la ecuación de elipse general anterior.

Parámetros orbitales

El estado de un cuerpo en órbita en un momento dado se define por la posición y la velocidad del cuerpo en órbita con respecto al cuerpo central, que se puede representar mediante las coordenadas cartesianas tridimensionales (posición del cuerpo en órbita representada por x, y, y z) y los componentes cartesianos similares de la velocidad del cuerpo en órbita. Este conjunto de seis variables, junto con el tiempo, se denominan vectores de estado orbital . Dadas las masas de los dos cuerpos, determinan la órbita completa. Los dos casos más generales con estos 6 grados de libertad son la órbita elíptica y la hiperbólica. Los casos especiales con menos grados de libertad son la órbita circular y parabólica.

Debido a que se requieren absolutamente al menos seis variables para representar completamente una órbita elíptica con este conjunto de parámetros, entonces se requieren seis variables para representar una órbita con cualquier conjunto de parámetros. Otro conjunto de seis parámetros que se utilizan comúnmente son los elementos orbitales .

Sistema solar

En el Sistema Solar , los planetas , los asteroides , la mayoría de los cometas y algunos fragmentos de desechos espaciales tienen órbitas aproximadamente elípticas alrededor del Sol. Estrictamente hablando, ambos cuerpos giran alrededor del mismo foco de la elipse, el más cercano al cuerpo más masivo, pero cuando un cuerpo es significativamente más masivo, como el sol en relación con la tierra, el foco puede estar contenido dentro del cuerpo más grande. masa de cuerpo, y por lo tanto se dice que el más pequeño gira alrededor de él. El siguiente gráfico del perihelio y afelio de los planetas , los planetas enanos y el cometa Halley demuestra la variación de la excentricidad de sus órbitas elípticas. Para distancias similares del sol, las barras más anchas denotan una mayor excentricidad. Tenga en cuenta la excentricidad casi nula de la Tierra y Venus en comparación con la enorme excentricidad del cometa Halley y Eris.

Distancias de cuerpos seleccionados del Sistema Solar al Sol. Los bordes izquierdo y derecho de cada barra corresponden al perihelio y afelio del cuerpo, respectivamente, por lo que las barras largas denotan una alta excentricidad orbital . El radio del Sol es de 0,7 millones de km y el radio de Júpiter (el planeta más grande) es de 0,07 millones de km, ambos demasiado pequeños para resolverlos en esta imagen.

Trayectoria elíptica radial

Una trayectoria radial puede ser un segmento de línea doble , que es una elipse degenerada con eje semi-menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica. Se aplican la mayoría de las propiedades y fórmulas de las órbitas elípticas. Sin embargo, la órbita no se puede cerrar. Es una órbita abierta que corresponde a la parte de la elipse degenerada desde que los cuerpos se tocan y se alejan hasta que se vuelven a tocar. En el caso de masas puntuales, es posible una órbita completa, comenzando y terminando con una singularidad. Las velocidades al principio y al final son infinitas en direcciones opuestas y la energía potencial es igual a menos infinito.

La trayectoria elíptica radial es la solución de un problema de dos cuerpos con una velocidad cero instantánea, como en el caso de dejar caer un objeto (despreciando la resistencia del aire).

Historia

Los babilonios fueron los primeros en darse cuenta de que el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica no era uniforme, aunque no sabían por qué era así; Hoy se sabe que esto se debe a que la Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, moviéndose más rápido cuando está más cerca del Sol en el perihelio y más lento cuando está más lejos en el afelio . ^[1]

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas por las que viajan los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en un foco, y lo describió en su primera ley del movimiento planetario . Más tarde, Isaac Newton explicó esto como un corolario de su ley de gravitación universal .

Ver también

• Ápside
• Energía característica
• Elipse
• Lista de órbitas
• Excentricidad orbital
• Ecuación de órbita
• Trayectoria parabólica

Referencias

1. David Leverington (2003), Babylon to Voyager y más allá: una historia de la astronomía planetaria , Cambridge University Press , págs. 6-7, ISBN 0-521-80840-5

Fuentes

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "La ecuación orbital de primer orden". Revista estadounidense de física . 75 (4): 352–355. Código Bibliográfico : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119 / 1.2432126 .
• D'Eliseo, Maurizio M .; Mironov, Sergey V. (2009). "La elipse gravitacional". Revista de Física Matemática . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Código Bibliográfico : 2009JMP .... 50a2901M . doi : 10.1063 / 1.3078419 .
• Curtis, Howard D. (2019). Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería (4ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.

enlaces externos

• Applet de Java que anima la órbita de un satélite en una órbita elíptica de Kepler alrededor de la Tierra con cualquier valor de semieje mayor y excentricidad.
• Comparación fotográfica Apogee - Perigee Lunar
• Afelio - Comparación fotográfica solar del perihelio
• http://www.castor2.ca