Órbita elíptica

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Animación de órbita por excentricidad
  0.0  ·   0,2  ·   0,4  ·   0,6  ·   0,8

Dos cuerpos con masa similar orbitando alrededor de un baricentro común con órbitas elípticas.

Se representa una órbita elíptica en el cuadrante superior derecho de este diagrama, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra energía potencial y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye a medida que la velocidad del cuerpo en órbita disminuye y la distancia aumenta de acuerdo con las leyes de Kepler.

Parte de una serie sobre
Astrodinámica
Mecánica orbital
Elementos orbitales Ápside Argumento de periapsis Excentricidad Inclinación Anomalía media Ganglios orbitarios Semieje mayor Verdadera anomalía
Tipos de órbitas de dos cuerpos , por excentricidad Órbita circular Órbita elíptica Transferencia de órbita ( Órbita de transferencia de Hohmann Órbita de transferencia bielíptica ) Órbita parabólica Órbita hiperbólica Órbita radial Órbita decadente
Ecuaciones Fricción dinámica Velocidad de escape Ecuación de Kepler Leyes de Kepler del movimiento planetario Periodo orbital Velocidad orbital Gravedad superficial Energía orbital específica Ecuación vis-viva
Mecánica celeste
Influencias gravitacionales Baricentro Esfera de colina Perturbaciones Esfera de influencia
Órbitas de N cuerpos Puntos lagrangianos ( Órbitas de halo ) Órbitas de Lissajous Órbitas de Lyapunov
Ingeniería y eficiencia
Ingeniería previa al vuelo Relación de masa Fracción de carga útil Fracción de masa de propulsor Ecuación del cohete Tsiolkovsky
Medidas de eficiencia Asistencia de gravedad Efecto Oberth
v t mi

En astrodinámica o mecánica celeste , una órbita elíptica o una órbita elíptica es una órbita de Kepler con una excentricidad inferior a 1; esto incluye el caso especial de una órbita circular , con excentricidad igual a 0. En un sentido más estricto, es una órbita de Kepler con la excentricidad mayor que 0 y menor que 1 (excluyendo así la órbita circular). En un sentido más amplio, es una órbita de Kepler con energía negativa . Esto incluye la órbita elíptica radial, con excentricidad igual a 1.

En un problema gravitacional de dos cuerpos con energía negativa, ambos cuerpos siguen órbitas elípticas similares con el mismo período orbital alrededor de su baricentro común . Además, la posición relativa de un cuerpo con respecto al otro sigue una órbita elíptica.

Ejemplos de órbitas elípticas incluyen: órbita de transferencia de Hohmann , órbita de Molniya y órbita de tundra .

Velocidad

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como:${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$ es la distancia entre los cuerpos en órbita.
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica tiene + , o es lo mismo con la convención de que en ese caso a es negativo.${\displaystyle {1 \over {a}}}$

Período orbital

Bajo supuestos estándar, el período orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular como:${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

Conclusiones:

• El período orbital es igual al de una órbita circular con el radio orbital igual al semieje mayor ( ),${\displaystyle a\,\!}$
• Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (ver también: tercera ley de Kepler ).

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de una órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de energía orbital (la ecuación de Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma:${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia entre el cuerpo en órbita y el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es la longitud del semieje mayor ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Conclusiones:

• Para un semieje mayor dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Usando el teorema del virial encontramos:

• el tiempo promedio de la energía potencial específica es igual a −2ε
  • el tiempo promedio de r ⁻¹ es a ⁻¹
• el tiempo promedio de la energía cinética específica es igual a ε

Energía en términos de semieje mayor

Puede ser útil conocer la energía en términos del semieje mayor (y las masas involucradas). La energía total de la órbita viene dada por

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

donde a es el semieje mayor.

Derivación

Dado que la gravedad es una fuerza central, el momento angular es constante:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

En los enfoques más cercanos y más lejanos, el momento angular es perpendicular a la distancia desde la masa en órbita, por lo tanto:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

La energía total de la órbita viene dada por

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Podemos sustituir v y obtener

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Esto es cierto porque r es la distancia más cercana / más lejana, por lo que obtenemos dos ecuaciones simultáneas que resolvemos para E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Dado que y , donde épsilon es la excentricidad de la órbita, finalmente tenemos el resultado indicado.${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

Ángulo de la trayectoria de vuelo

El ángulo de la trayectoria de vuelo es el ángulo entre el vector de velocidad del cuerpo en órbita (= el vector tangente a la órbita instantánea) y la horizontal local. Bajo supuestos estándar de conservación del momento angular, el ángulo de la trayectoria de vuelo satisface la ecuación:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

dónde:

• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular relativo específico de la órbita,
• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita al cuerpo central ,
• ${\displaystyle \phi \,}$ es el ángulo de la trayectoria de vuelo

${\displaystyle \psi }$es el ángulo entre el vector de velocidad orbital y el semieje mayor. es la verdadera anomalía local. , por lo tanto,${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

donde esta la excentricidad.${\displaystyle e}$

El momento angular está relacionado con el producto cruzado vectorial de la posición y la velocidad, que es proporcional al seno del ángulo entre estos dos vectores. Aquí se define como el ángulo que difiere 90 grados de este, por lo que el coseno aparece en lugar del seno.${\displaystyle \phi }$

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Junio ​​de 2008 )

Ecuación de movimiento

Artículo principal: ecuación de órbita

Desde la posición inicial y la velocidad

Una ecuación de órbita define la trayectoria de un cuerpo en órbita alrededor del cuerpo central en relación con , sin especificar la posición en función del tiempo. Si la excentricidad es menor que 1, entonces la ecuación de movimiento describe una órbita elíptica. Debido a que la ecuación de Kepler no tiene una solución general de forma cerrada para la anomalía excéntrica (E) en términos de la anomalía media (M), las ecuaciones de movimiento en función del tiempo tampoco tienen una solución de forma cerrada (aunque existen soluciones numéricas para ambas) .${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Sin embargo, las ecuaciones de trayectoria de forma cerrada independientes del tiempo de una órbita elíptica con respecto a un cuerpo central se pueden determinar solo a partir de una posición inicial ( ) y una velocidad ( ).${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Para este caso, es conveniente utilizar los siguientes supuestos que difieren algo de los supuestos estándar anteriores:

1. La posición del cuerpo central está en el origen y es el foco principal ( ) de la elipse (alternativamente, se puede usar el centro de masa en su lugar si el cuerpo en órbita tiene una masa significativa)${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. Se conoce la masa del cuerpo central (m1)
3. Se conocen la posición inicial ( ) y la velocidad ( ) del cuerpo en órbita${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. La elipse se encuentra dentro del plano XY

La cuarta suposición puede hacerse sin pérdida de generalidad porque tres puntos (o vectores) cualesquiera deben estar dentro de un plano común. Bajo estos supuestos el segundo foco (a veces llamado el enfoque “vacío”) también debe estar dentro del plano XY: .${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

Usando vectores

La ecuación general de una elipse bajo estos supuestos usando vectores es:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {r} |+|\mathbf {r} |=2a\qquad \mid z=0}$

dónde:

• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$ es el segundo foco ("vacío").
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$ es cualquier valor (x, y) que satisfaga la ecuación.

La longitud del semieje mayor (a) se puede calcular como:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

donde es el parámetro gravitacional estándar .${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

El foco vacío ( ) se puede encontrar determinando primero el vector de excentricidad :${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

Where ${\displaystyle \mathbf {h} }$ is the specific angular momentum of the orbiting body:

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

Then

${\displaystyle \mathbf {F2} =2a\mathbf {e} }$

Using XY Coordinates

This can be done in cartesian coordinates using the following procedure:

The general equation of an ellipse under the assumptions above is:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Given:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$ the initial position coordinates

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$ the initial velocity coordinates

and

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$ the gravitational parameter

Then:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$ specific angular momentum

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$ initial distance from F1 (at the origin)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$ the semi-major axis length

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$ the Eccentricity vector coordinates

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Finally, the empty focus coordinates

${\displaystyle f_{x}=2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=2ae_{y}\quad }$

Now the result values fx, fy and a can be applied to the general ellipse equation above.

Orbital parameters

The state of an orbiting body at any given time is defined by the orbiting body's position and velocity with respect to the central body, which can be represented by the three-dimensional Cartesian coordinates (position of the orbiting body represented by x, y, and z) and the similar Cartesian components of the orbiting body's velocity. This set of six variables, together with time, are called the orbital state vectors. Given the masses of the two bodies they determine the full orbit. The two most general cases with these 6 degrees of freedom are the elliptic and the hyperbolic orbit. Special cases with fewer degrees of freedom are the circular and parabolic orbit.

Because at least six variables are absolutely required to completely represent an elliptic orbit with this set of parameters, then six variables are required to represent an orbit with any set of parameters. Another set of six parameters that are commonly used are the orbital elements.

Solar System

In the Solar System, planets, asteroids, most comets and some pieces of space debris have approximately elliptical orbits around the Sun. Strictly speaking, both bodies revolve around the same focus of the ellipse, the one closer to the more massive body, but when one body is significantly more massive, such as the sun in relation to the earth, the focus may be contained within the larger massing body, and thus the smaller is said to revolve around it. The following chart of the perihelion and aphelion of the planets, dwarf planets and Halley's Comet demonstrates the variation of the eccentricity of their elliptical orbits. For similar distances from the sun, wider bars denote greater eccentricity. Note the almost-zero eccentricity of Earth and Venus compared to the enormous eccentricity of Halley's Comet and Eris.

Distances of selected bodies of the Solar System from the Sun. The left and right edges of each bar correspond to the perihelion and aphelion of the body, respectively, hence long bars denote high orbital eccentricity. The radius of the Sun is 0.7 million km, and the radius of Jupiter (the largest planet) is 0.07 million km, both too small to resolve on this image.

Radial elliptic trajectory

A radial trajectory can be a double line segment, which is a degenerate ellipse with semi-minor axis = 0 and eccentricity = 1. Although the eccentricity is 1, this is not a parabolic orbit. Most properties and formulas of elliptic orbits apply. However, the orbit cannot be closed. It is an open orbit corresponding to the part of the degenerate ellipse from the moment the bodies touch each other and move away from each other until they touch each other again. In the case of point masses one full orbit is possible, starting and ending with a singularity. The velocities at the start and end are infinite in opposite directions and the potential energy is equal to minus infinity.

The radial elliptic trajectory is the solution of a two-body problem with at some instant zero speed, as in the case of dropping an object (neglecting air resistance).

See also: Free fall § Inverse-square law gravitational field

History

The Babylonians were the first to realize that the Sun's motion along the ecliptic was not uniform, though they were unaware of why this was; it is today known that this is due to the Earth moving in an elliptic orbit around the Sun, with the Earth moving faster when it is nearer to the Sun at perihelion and moving slower when it is farther away at aphelion.^[1]

In the 17th century, Johannes Kepler discovered that the orbits along which the planets travel around the Sun are ellipses with the Sun at one focus, and described this in his first law of planetary motion. Later, Isaac Newton explained this as a corollary of his law of universal gravitation.

See also

• Apsis
• Characteristic energy
• Ellipse
• List of orbits
• Orbital eccentricity
• Orbit equation
• Parabolic trajectory

References

1. David Leverington (2003), Babylon to Voyager and beyond: a history of planetary astronomy, Cambridge University Press, pp. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

Sources

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "The First-Order Orbital Equation". American Journal of Physics. 75 (4): 352–355. Bibcode:2007AmJPh..75..352D. doi:10.1119/1.2432126.
• D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "The Gravitational Ellipse". Journal of Mathematical Physics. 50 (2): 022901. arXiv:0802.2435. Bibcode:2009JMP....50a2901M. doi:10.1063/1.3078419.
• Curtis, Howard D. (2019). Orbital Mechanics for Engineering Students (4th ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-102133-0.

External links

• Java applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.
• Apogee - Perigee Lunar photographic comparison
• Aphelion - Perihelion Solar photographic comparison
• http://www.castor2.ca