En matemáticas , un vacío producto , o producto nullary o producto vacuo , es el resultado de la multiplicación no hay factores. Es por convención igual a la identidad multiplicativa (asumiendo que hay una identidad para la operación de multiplicación en cuestión), así como la suma vacía —el resultado de no agregar números— es por convención cero , o la identidad aditiva. [1] [2] [3] [4]
El término producto vacío se usa con mayor frecuencia en el sentido anterior cuando se habla de operaciones aritméticas . Sin embargo, el término se emplea a veces cuando se discuten las intersecciones de la teoría de conjuntos , los productos categóricos y los productos en la programación de computadoras; estos se analizan a continuación.
Producto aritmético nular
Definición
Sea un 1 , un 2 , un 3 , ... una secuencia de números, y sea
ser el producto de los primeros m elementos de la secuencia. Luego
para todo m = 1, 2, ...
Si el límite superior de la suma es menor que el límite inferior de la suma del índice de suma , entonces el índice debe 'ir hacia atrás', es decir, se ejecuta sobre cero entradas, y así Se define como .
Permitir un "producto" con factores cero reduce el número de casos a considerar en muchas fórmulas matemáticas. Este "producto" es un punto de partida natural en las pruebas de inducción , así como en los algoritmos. Por estas razones, la convención "el producto vacío es uno" es una práctica común en matemáticas y programación de computadoras.
Relevancia de definir productos vacíos
La noción de un producto vacío es útil por la misma razón que el número cero y el conjunto vacío son útiles: si bien parecen representar nociones poco interesantes, su existencia permite una presentación matemática mucho más breve de muchos temas.
Por ejemplo, los productos vacíos 0! = 1 (el factorial de cero) y x 0 = 1 acortan la notación de la serie de Taylor (ver cero elevado a cero para una discusión cuando x = 0). Asimismo, si M es una matriz n × n , entonces M 0 es la matriz identidad n × n , lo que refleja el hecho de que aplicar un mapa lineal cero veces tiene el mismo efecto que aplicar el mapa identidad .
Como otro ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética dice que cada entero positivo se puede escribir de forma única como un producto de números primos. Sin embargo, si no permitimos productos con solo 0 o 1 factores, entonces el teorema (y su demostración) se vuelven más largos. [5] [6]
Más ejemplos de la utilización del producto vacío en matemáticas pueden encontrarse en el teorema binomial (que supone e implica que x 0 = 1 para todos x ), número de Stirling , el teorema de König , tipo binomial , series binomiales , operador de diferencia y símbolo Pochhammer .
Logaritmos y exponenciales
Dado que los logaritmos asignan productos a sumas:
asignan un producto vacío a una suma vacía .
Por el contrario, la función exponencial mapea sumas en productos:
y asigna una suma vacía a un producto vacío.
Producto cartesiano nular
Considere la definición general del producto cartesiano :
Si I está vacío, la única g es la función vacía , que es el subconjunto único de eso es una función , es decir, el subconjunto vacío (el único subconjunto que posee):
Por tanto, la cardinalidad del producto cartesiano de ningún conjunto es 1.
Bajo la interpretación n - tupla quizás más familiar ,
es decir, el conjunto singleton que contiene la tupla vacía . Tenga en cuenta que en ambas representaciones el producto vacío tiene cardinalidad 1: el número de todas las formas de producir 0 salidas a partir de 0 entradas es 1.
Producto categórico nular
En cualquier categoría , el producto de una familia vacía es un objeto terminal de esa categoría. Esto se puede demostrar utilizando la definición de límite del producto. Un producto categórico de n veces se puede definir como el límite con respecto a un diagrama dado por la categoría discreta con n objetos. Un producto vacío viene dado por el límite con respecto a la categoría vacía, que es el objeto terminal de la categoría si existe. Esta definición se especializa para dar los resultados anteriores. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos, el producto categórico es el producto cartesiano habitual y el objeto terminal es un conjunto único. En la categoría de grupos, el producto categórico es el producto cartesiano de grupos, y el objeto terminal es un grupo trivial con un elemento. Para obtener la definición aritmética habitual del producto vacío debemos tomar la decategorificación del producto vacío en la categoría de conjuntos finitos.
Dualmente , el coproducto de una familia vacía es un objeto inicial . Es posible que los productos o coproductos categóricos nulos no existan en una categoría determinada; por ejemplo, en la categoría de campos , ninguno existe.
En lógica
La lógica clásica define la operación de conjunción , que se generaliza a la cuantificación universal en el cálculo de predicados , y es ampliamente conocida como multiplicación lógica porque identificamos intuitivamente verdadero con 1 y falso con 0 y nuestra conjunción se comporta como un multiplicador ordinario. Los multiplicadores pueden tener un número arbitrario de entradas. En el caso de 0 entradas, tenemos una conjunción vacía , que es idénticamente igual a verdadero.
Esto está relacionado con otro concepto en lógica, la verdad vacía , que nos dice que un conjunto vacío de objetos puede tener cualquier propiedad. Se puede explicar la forma en que la conjunción (como parte de la lógica en general) trata con valores menores o iguales a 1. Esto significa que cuanto más larga es la conjunción, mayor es la probabilidad de terminar en 0. La conjunción simplemente verifica las proposiciones y devuelve 0 (o falso) tan pronto como una de las proposiciones se evalúe como falsa. Reducir el número de proposiciones conjuntas aumenta la posibilidad de pasar la verificación y quedarse con 1. Particularmente, si hay 0 pruebas o miembros para verificar, ninguno puede fallar, por lo que, por defecto, siempre debemos tener éxito independientemente de las proposiciones o propiedades de los miembros. ser probado.
En programación informática
Muchos lenguajes de programación, como Python , permiten la expresión directa de listas de números e incluso funciones que permiten un número arbitrario de parámetros. Si dicho lenguaje tiene una función que devuelve el producto de todos los números en una lista, generalmente funciona así:
>>> matemáticas . prod ([ 2 , 3 , 5 ]) 30 >>> matemáticas . prod ([ 2 , 3 ]) 6 >>> matemáticas . prod ([ 2 ]) 2 >>> matemáticas . prod ([]) 1
(Tenga en cuenta: prod
no está disponible en el math
módulo anterior a la versión 3.8).
Esta convención ayuda a evitar tener que codificar casos especiales como "si la longitud de la lista es 1" o "si la longitud de la lista es cero" como casos especiales.
La multiplicación es un operador infijo y, por lo tanto, un operador binario, lo que complica la notación de un producto vacío. Algunos lenguajes de programación manejan esto implementando funciones variadas . Por ejemplo, la notación de prefijo entre paréntesis de los lenguajes Lisp da lugar a una notación natural para funciones nulares :
(* 2 2 2); evalúa a 8(* 2 2); evalúa a 4(* 2); evalúa a 2(*); evalúa a 1
Ver también
- Operación binaria iterada
- Función vacía
Referencias
- ^ Jaroslav Nešetřil , Jiří Matoušek (1998). Invitación a la matemática discreta . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 12. ISBN 0-19-850207-9.
- ^ AE Ingham y RC Vaughan (1990). La distribución de números primos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 1. ISBN 0-521-39789-8.
- ^ Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, p. 9, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001
- ^ David M. Bloom (1979). Álgebra lineal y geometría . págs. 45 . ISBN 0521293243.
- ^ Edsger Wybe Dijkstra (4 de marzo de 1990). "Cómo la ciencia de la computación creó un nuevo estilo matemático" . EWD . Consultado el 20 de enero de 2010 .
Hardy y Wright: 'Todo número entero positivo, excepto 1, es un producto de números primos', Harold M. Stark: 'Si n es un número entero mayor que 1, entonces n es primo o n es un producto finito de números primos'. Estos ejemplos, que se lo debo a AJM van Gasteren, ambos rechazan el producto vacío, el último también rechaza el producto con un solo factor.
- ^ Edsger Wybe Dijkstra (14 de noviembre de 1986). "La naturaleza de mi investigación y por qué la hago" . EWD . Archivado desde el original el 15 de julio de 2012 . Consultado el 3 de julio de 2010 .
Pero también 0 es ciertamente finito y al definir el producto de 0 factores, ¿de qué otra manera? - para ser igual a 1 podemos eliminar la excepción: "Si n es un entero positivo, entonces n es un producto finito de primos".
enlaces externos
- Artículo de PlanetMath sobre el producto vacío