Relaciones binarias | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila. Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad . |
En matemáticas , una relación binaria sobre los conjuntos X e Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y ; es decir, que es un conjunto de pares ordenados ( x , Y ) que consisten de elementos de x en X y Y en Y . [1] Codifica el concepto común de relación: un elemento x se relaciona con un elemento y , si y solo si el par ( x , y ) pertenece al conjunto de pares ordenados que define la relación binaria . Una relación binaria es el caso especial más estudiado n = 2 de una relación n -aria sobre conjuntos X 1 , ..., X n , que es un subconjunto del producto cartesiano X 1 × ... × X n . [1] [2]
Un ejemplo de una relación binaria es la relación " divide " sobre el conjunto de números primos y el conjunto de enteros , en el que cada primo p está relacionado con cada entero z que es un múltiplo de p , pero no con un entero que no es un múltiplo de p . En esta relación, por ejemplo, el número primo 2 está relacionado con números como -4, 0, 6, 10, pero no con 1 o 9, al igual que el número primo 3 está relacionado con 0, 6 y 9, pero no a 4 o 13.
Las relaciones binarias se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar una amplia variedad de conceptos. Estos incluyen, entre otros:
- el " es mayor que ", " es igual a " y "divide" las relaciones en aritmética ;
- la relación " es congruente con " en geometría ;
- la relación "es adyacente a" en la teoría de grafos ;
- la relación "es ortogonal a" en álgebra lineal .
Una función puede definirse como un tipo especial de relación binaria. [3] Las relaciones binarias también se utilizan mucho en informática .
Una relación binaria sobre conjuntos X y Y es un elemento del conjunto potencia de X × Y . Dado que el último conjunto se ordena por inclusión (⊆), cada relación tiene un lugar en el enrejado de subconjuntos de X × Y . Una relación binaria es una relación homogénea o una relación heterogénea dependiendo de si X = Y o no.
Dado que las relaciones son conjuntos, pueden manipularse utilizando operaciones de conjuntos, incluidas la unión , la intersección y la complementación , y satisfaciendo las leyes de un álgebra de conjuntos . Más allá de eso, se encuentran disponibles operaciones como el recíproco de una relación y la composición de relaciones , que satisfacen las leyes de un cálculo de relaciones , para lo cual existen libros de texto de Ernst Schröder , [4] Clarence Lewis , [5] y Gunther Schmidt . [6] Un análisis más profundo de las relaciones implica descomponerlas en subconjuntos llamados conceptos y colocarlos en un entramado completo .
En algunos sistemas de teoría axiomática de conjuntos , las relaciones se extienden a clases , que son generalizaciones de conjuntos. Esta extensión es necesaria para, entre otras cosas, modelar los conceptos de "es un elemento de" o "es un subconjunto de" en la teoría de conjuntos, sin encontrar inconsistencias lógicas como la paradoja de Russell .
Los términos correspondencia , [7] relación diádica y relación de dos lugares son sinónimos de relación binaria, aunque algunos autores usan el término "relación binaria" para cualquier subconjunto de un producto cartesiano X × Y sin referencia a X e Y , y se reservan el término "correspondencia" para una relación binaria con referencia a X y y .
Definición
Given sets X and Y, the Cartesian product X × Y is defined as {(x, y) | x ∈ X and y ∈ Y}, and its elements are called ordered pairs.
A binary relation R over sets X and Y is a subset of X × Y.[1][8] The set X is called the domain[1] or set of departure of R, and the set Y the codomain or set of destination of R. In order to specify the choices of the sets X and Y, some authors define a binary relation or correspondence as an ordered triple (X, Y, G), where G is a subset of X × Y called the graph of the binary relation. The statement (x, y) ∈ R reads "x is R-related to y" and is denoted by xRy.[4][5][6][note 1] The domain of definition or active domain[1] of R is the set of all x such that xRy for at least one y. The codomain of definition, active codomain,[1] image or range of R is the set of all y such that xRy for at least one x. The field of R is the union of its domain of definition and its codomain of definition.[10][11][12]
When X = Y, a binary relation is called a homogeneous relation (or endorelation). Otherwise it is a heterogeneous relation.[13][14][15]
In a binary relation, the order of the elements is important; if x ≠ y then yRx can be true or false independently of xRy. For example, 3 divides 9, but 9 does not divide 3.
Example
A B′ | ball | car | doll | cup |
---|---|---|---|---|
John | + | − | − | − |
Mary | − | − | + | − |
Venus | − | + | − | − |
A B | ball | car | doll | cup |
---|---|---|---|---|
John | + | − | − | − |
Mary | − | − | + | − |
Ian | − | − | − | − |
Venus | − | + | − | − |
The following example shows that the choice of codomain is important. Suppose there are four objects A = {ball, car, doll, cup} and four people B = {John, Mary, Ian, Venus}. A possible relation on A and B is the relation "is owned by", given by R = {(ball, John), (doll, Mary), (car, Venus)}. That is, John owns the ball, Mary owns the doll, and Venus owns the car. Nobody owns the cup and Ian owns nothing, see 1st example. As a set, R does not involve Ian, and therefore R could have been viewed as a subset of A × {John, Mary, Venus}, i.e. a relation over A and {John, Mary, Venus}, see 2nd example. While the 2nd example relation is surjective (see below), the 1st is not.
Tipos especiales de relaciones binarias
Some important types of binary relations R over sets X and Y are listed below.
Uniqueness properties:
- Injective (also called left-unique):[16] for all x, z ∈ X and all y ∈ Y, if xRy and zRy then x = z. For such a relation, {Y} is called a primary key of R.[1] For example, the green and blue binary relations in the diagram are injective, but the red one is not (as it relates both −1 and 1 to 1), nor the black one (as it relates both −1 and 1 to 0).
- Functional (also called right-unique,[16] right-definite[17] or univalent):[6] for all x ∈ X and all y, z ∈ Y, if xRy and xRz then y = z. Such a binary relation is called a partial function. For such a relation, {X} is called a primary key of R.[1] For example, the red and green binary relations in the diagram are functional, but the blue one is not (as it relates 1 to both −1 and 1), nor the black one (as it relates 0 to both −1 and 1).
- One-to-one: injective and functional. For example, the green binary relation in the diagram is one-to-one, but the red, blue and black ones are not.
- One-to-many: injective and not functional. For example, the blue binary relation in the diagram is one-to-many, but the red, green and black ones are not.
- Many-to-one: functional and not injective. For example, the red binary relation in the diagram is many-to-one, but the green, blue and black ones are not.
- Many-to-many: not injective nor functional. For example, the black binary relation in the diagram is many-to-many, but the red, green and blue ones are not.
Totality properties (only definable if the domain X and codomain Y are specified):
- Serial (also called left-total):[16] for all x in X there exists a y in Y such that xRy. In other words, the domain of definition of R is equal to X. This property, although also referred to as total by some authors,[citation needed] is different from the definition of connected (also called total by some authors)[citation needed] in the section Properties. Such a binary relation is called a multivalued function. For example, the red and green binary relations in the diagram are serial, but the blue one is not (as it does not relate −1 to any real number), nor the black one (as it does not relate 2 to any real number).
- Surjective (also called right-total[16] or onto): for all y in Y, there exists an x in X such that xRy. In other words, the codomain of definition of R is equal to Y. For example, the green and blue binary relations in the diagram are surjective, but the red one is not (as it does not relate any real number to −1), nor the black one (as it does not relate any real number to 2).
Uniqueness and totality properties (only definable if the domain X and codomain Y are specified):
- A function: a binary relation that is functional and serial. For example, the red and green binary relations in the diagram are functions, but the blue and black ones are not.
- An injection: a function that is injective. For example, the green binary relation in the diagram is an injection, but the red, blue and black ones are not.
- A surjection: a function that is surjective. For example, the green binary relation in the diagram is a surjection, but the red, blue and black ones are not.
- A bijection: a function that is injective and surjective. For example, the green binary relation in the diagram is a bijection, but the red, blue and black ones are not.
Operaciones sobre relaciones binarias
Union
If R and S are binary relations over sets X and Y then R ∪ S = {(x, y) | xRy or xSy} is the union relation of R and S over X and Y.
The identity element is the empty relation. For example, ≤ is the union of < and =, and ≥ is the union of > and =.
Intersection
If R and S are binary relations over sets X and Y then R ∩ S = {(x, y) | xRy and xSy} is the intersection relation of R and S over X and Y.
The identity element is the universal relation. For example, the relation "is divisible by 6" is the intersection of the relations "is divisible by 3" and "is divisible by 2".
Composition
If R is a binary relation over sets X and Y, and S is a binary relation over sets Y and Z then S ∘ R = {(x, z) | there exists y ∈ Y such that xRy and ySz} (also denoted by R; S) is the composition relation of R and S over X and Z.
The identity element is the identity relation. The order of R and S in the notation S ∘ R, used here agrees with the standard notational order for composition of functions. For example, the composition "is mother of" ∘ "is parent of" yields "is maternal grandparent of", while the composition "is parent of" ∘ "is mother of" yields "is grandmother of". For the former case, if x is the parent of y and y is the mother of z, then x is the maternal grandparent of z.
Converse
If R is a binary relation over sets X and Y then RT = {(y, x) | xRy} is the converse relation of R over Y and X.
For example, = is the converse of itself, as is ≠, and < and > are each other's converse, as are ≤ and ≥. A binary relation is equal to its converse if and only if it is symmetric.
Complement
If R is a binary relation over sets X and Y then R = {(x, y) | not xRy} (also denoted by R or ¬ R) is the complementary relation of R over X and Y.
For example, = and ≠ are each other's complement, as are ⊆ and ⊈, ⊇ and ⊉, and ∈ and ∉, and, for total orders, also < and ≥, and > and ≤.
The complement of the converse relation RT is the converse of the complement:
If X = Y, the complement has the following properties:
- If a relation is symmetric, then so is the complement.
- The complement of a reflexive relation is irreflexive—and vice versa.
- The complement of a strict weak order is a total preorder—and vice versa.
Restriction
If R is a binary homogeneous relation over a set X and S is a subset of X then R|S = {(x, y) | xRy and x ∈ S and y ∈ S} is the restriction relation of R to S over X.
If R is a binary relation over sets X and Y and if S is a subset of X then R|S = {(x, y) | xRy and x ∈ S} is the left-restriction relation of R to S over X and Y.
If R is a binary relation over sets X and Y and if S is a subset of Y then R|S = {(x, y) | xRy and y ∈ S} is the right-restriction relation of R to S over X and Y.
If a relation is reflexive, irreflexive, symmetric, antisymmetric, asymmetric, transitive, total, trichotomous, a partial order, total order, strict weak order, total preorder (weak order), or an equivalence relation, then so too are its restrictions.
However, the transitive closure of a restriction is a subset of the restriction of the transitive closure, i.e., in general not equal. For example, restricting the relation "x is parent of y" to females yields the relation "x is mother of the woman y"; its transitive closure doesn't relate a woman with her paternal grandmother. On the other hand, the transitive closure of "is parent of" is "is ancestor of"; its restriction to females does relate a woman with her paternal grandmother.
Also, the various concepts of completeness (not to be confused with being "total") do not carry over to restrictions. For example, over the real numbers a property of the relation ≤ is that every non-empty subset S of R with an upper bound in R has a least upper bound (also called supremum) in R. However, for the rational numbers this supremum is not necessarily rational, so the same property does not hold on the restriction of the relation ≤ to the rational numbers.
A binary relation R over sets X and Y is said to be {{em| contained in a relation S over X and Y, written if R is a subset of S, that is, for all and if xRy, then xSy. If R is contained in S and S is contained in R, then R and S are called equal written R = S. If R is contained in S but S is not contained in R, then R is said to be smaller than S, written R ⊊ S. For example, on the rational numbers, the relation > is smaller than ≥, and equal to the composition > ∘ >.
Matrix representation
Binary relations over sets X and Y can be represented algebraically by logical matrices indexed by X and Y with entries in the Boolean semiring (addition corresponds to OR and multiplication to AND) where matrix addition corresponds to union of relations, matrix multiplication corresponds to composition of relations (of a relation over X and Y and a relation over Y and Z),[18] the Hadamard product corresponds to intersection of relations, the zero matrix corresponds to the empty relation, and the matrix of ones corresponds to the universal relation. Homogeneous relations (when X = Y) form a matrix semiring (indeed, a matrix semialgebra over the Boolean semiring) where the identity matrix corresponds to the identity relation.[19]
Conjuntos versus clases
Certain mathematical "relations", such as "equal to", "subset of", and "member of", cannot be understood to be binary relations as defined above, because their domains and codomains cannot be taken to be sets in the usual systems of axiomatic set theory. For example, if we try to model the general concept of "equality" as a binary relation =, we must take the domain and codomain to be the "class of all sets", which is not a set in the usual set theory.
In most mathematical contexts, references to the relations of equality, membership and subset are harmless because they can be understood implicitly to be restricted to some set in the context. The usual work-around to this problem is to select a "large enough" set A, that contains all the objects of interest, and work with the restriction =A instead of =. Similarly, the "subset of" relation ⊆ needs to be restricted to have domain and codomain P(A) (the power set of a specific set A): the resulting set relation can be denoted by ⊆A. Also, the "member of" relation needs to be restricted to have domain A and codomain P(A) to obtain a binary relation ∈A that is a set. Bertrand Russell has shown that assuming ∈ to be defined over all sets leads to a contradiction in naive set theory.
Another solution to this problem is to use a set theory with proper classes, such as NBG or Morse–Kelley set theory, and allow the domain and codomain (and so the graph) to be proper classes: in such a theory, equality, membership, and subset are binary relations without special comment. (A minor modification needs to be made to the concept of the ordered triple (X, Y, G), as normally a proper class cannot be a member of an ordered tuple; or of course one can identify the binary relation with its graph in this context.)[20] With this definition one can for instance define a binary relation over every set and its power set.
Relación homogénea
Una relación homogénea (también llamado endorelation ) sobre un conjunto X es una relación binaria sobre X y ella misma, es decir, es un subconjunto del producto cartesiano X × X . [15] [21] [22] es también llamado simplemente una relación (binario) sobre X . Un ejemplo de relación homogénea es la relación de parentesco , donde la relación es sobre personas.
Una relación homogénea R sobre un conjunto X puede identificarse con un gráfico simple dirigido que permite bucles , o si es simétrico , con un gráfico simple no dirigido que permite bucles , donde X es el conjunto de vértices y R es el conjunto de bordes (hay un borde desde un vértice x hasta un vértice y si y solo si xRy ). Se llama relación de adyacencia del gráfico.
El conjunto de todas las relaciones homogéneas. sobre un conjunto X está el conjunto 2 X × X que es un álgebra booleana aumentada con la involución del mapeo de una relación con su relación inversa . Considerando la composición de relaciones como una operación binaria en, forma un semigrupo con involución .
Relaciones particulares homogéneas
Algunas relaciones homogéneas particulares importantes sobre un conjunto X son:
- la relación vacía E = ∅ ⊆ X × X ;
- la relación universal U = X × X ;
- la relación de identidad I = {( x , x ) | x ∈ X } .
Para los elementos arbitrarios x y y de X :
- xEy no se sostiene nunca;
- xUy se mantiene siempre;
- xIy se cumple si y solo si x = y .
Propiedades
Algunas propiedades importantes que puede tener una relación homogénea R sobre un conjunto X son:
- Reflexivo
- para todo x ∈ X , xRx . Por ejemplo, ≥ es una relación reflexiva pero> no lo es.
- Irreflexivo (o estricto )
- para todo x ∈ X , no xRx . Por ejemplo,> es una relación irreflexiva, pero ≥ no lo es.
- Coreflexivo
- para todo x , y ∈ X , si xRy entonces x = y . [23] Por ejemplo, la relación sobre los enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo es una relación coreflexiva. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como coreflexiva, y cualquier relación coreflexiva es un subconjunto de la relación de identidad.
- Cuasi reflexivo izquierdo
- para todo x , y ∈ X , si xRy entonces xRx .
- Cuasi reflexivo derecho
- para todo x , y ∈ X , si xRy entonces yRy .
- Cuasi reflexivo
- para todo x , y ∈ X , si xRy entonces xRx e yRy . Una relación es cuasi reflexiva si, y solo si, es cuasi reflexiva tanto a la izquierda como a la derecha.
Las 6 alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; Por ejemplo, la relación binaria roja y = x 2 dada en la sección Tipos especiales de relaciones binarias no es irreflexiva, ni coreflexiva, ni reflexiva, ya que contiene el par (0, 0) y (2, 4) , pero no ( 2, 2) , respectivamente. Los dos últimos hechos también descartan (cualquier tipo de) cuasi-reflexividad.
- Simétrico
- para todo x , y ∈ X , si xRy entonces yRx . Por ejemplo, "es un pariente consanguíneo de" es una relación simétrica, porque x es un pariente consanguíneo de y si y sólo si y es un pariente consanguíneo de x .
- Antisimétrico
- para todo x , y ∈ X , si xRy y yRx entonces x = y . Por ejemplo, ≥ es una relación antisimétrica; también lo es>, pero de forma vacía (la condición en la definición es siempre falsa). [24]
- Asimétrico
- para todo x , y ∈ X , si xRy entonces no yRx . Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. [25] Por ejemplo,> es una relación asimétrica, pero ≥ no lo es.
Nuevamente, las 3 alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; como ejemplo sobre los números naturales, la relación xRy definida por x > 2 no es simétrica ni antisimétrica, y mucho menos asimétrica.
- Transitivo
- para todos x , y , z ∈ X , si xRy y yRz entonces xRz . Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. [26] Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
- Antitransitivo
- para todo x , y , z ∈ X , si xRy y yRz entonces nunca xRz .
- Co-transitivo
- si el complemento de R es transitivo. Es decir, para todo x , y , z ∈ X , si xRz , entonces xRy o yRz . Esto se usa en pseudoórdenes en matemáticas constructivas.
- Cuasitransitivo
- para todo x , y , z ∈ X , si xRy e yRz pero ni yRx ni zRy , entonces xRz pero no zRx .
- Transitividad de la incomparabilidad
- para todos x , y , z ∈ X , si X y Y son incomparable con respecto a R y si el mismo es cierto de y y z , entonces x y z también son incomparable con respecto a R . Esto se usa en pedidos débiles .
Nuevamente, las 5 alternativas anteriores no son exhaustivas. Por ejemplo, la relación xRy if ( y = 0 o y = x +1 ) no satisface ninguna de estas propiedades. Por otro lado, la relación vacía los satisface trivialmente a todos.
- Denso
- para todo x , y ∈ X tal que xRy , existe algo de z ∈ X tal que xRz y zRy . Esto se usa en órdenes densas .
- Conectado
- para todo x , y ∈ X , si x ≠ y entonces xRy o yRx . Esta propiedad a veces se denomina "total", que es distinta de las definiciones de "total" dadas en la sección Tipos especiales de relaciones binarias .
- Fuertemente conectado
- para todo x , y ∈ X , xRy o yRx . Esta propiedad a veces se denomina "total", que es distinta de las definiciones de "total" dadas en la sección Tipos especiales de relaciones binarias .
- Tricotómico
- para todos x , y ∈ X , exactamente uno de xRy , yRx o x = y sostiene. Por ejemplo,> es una relación tricotómica, mientras que la relación "divide" sobre los números naturales no lo es. [27]
- Euclidiana derecha (o simplemente euclidiana )
- para todos x , y , z ∈ X , si xRy y xRz entonces yRz . Por ejemplo, = es una relación euclidiana porque si x = y y x = z entonces y = z .
- Euclidiana izquierda
- para todos x , y , z ∈ X , si yRx y ZRX entonces yRz .
- Serie (o total a la izquierda )
- para todo x ∈ X , existe algo de y ∈ X tal que xRy . Por ejemplo,> es una relación serial sobre los enteros. Pero no es una relación serial sobre los enteros positivos, porque no hay y en los enteros positivos tal que 1> y . [28] Sin embargo,
Toda relación reflexiva es serial: para una x dada , elija y = x . - Como un set[ cita requerida ] (o local )
- [ cita requerida ] para todo x ∈ X , la clase de todo y tal que yRx es un conjunto. (Esto tiene sentido sólo si se permiten relaciones sobre clases adecuadas). Por ejemplo, el orden habitual
números ordinales es una relación de tipo conjunto, mientras que su inversa> no lo es. - Bien fundado
- cada subconjunto no vacío S de X contiene un elemento mínimo con respecto a R . El estar bien fundado implica la condición de cadena descendente (es decir, no puede existir una cadena infinita ... x n R ... Rx 3 Rx 2 Rx 1 ). Si se asume el axioma de elección dependiente , ambas condiciones son equivalentes. [29] [30]
Un preorden es una relación reflexiva y transitiva. Un preorden total , también llamado preorden lineal u orden débil , es una relación que es reflexiva, transitiva y conectada.
Un orden parcial , también llamado orden , [ cita requerida ] es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden parcial estricto , también llamado orden estricto , [ cita requerida ] es una relación que es irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden total , también llamado orden lineal , orden simple o cadena , es una relación que es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conectada. [31] Un orden total estricto , también llamado orden lineal estricto , orden simple estricto o cadena estricta , es una relación que es irreflexiva, antisimétrica, transitiva y conectada.
Una relación de equivalencia parcial es una relación simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. También es una relación simétrica, transitiva y serial, ya que estas propiedades implican reflexividad.
Implicaciones y conflictos entre propiedades de relaciones binarias homogéneas |
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Operaciones
Si R es una relación homogénea sobre un conjunto X, entonces cada uno de los siguientes es una relación homogénea sobre X :
- Cierre reflexivo : R = , definido como R = = {( x , x ) | x ∈ X } ∪ R o la relación reflexiva más pequeño sobre X que contiene R . Esto puede ser demostrado ser igual a la intersección de todas las relaciones reflexivas que contienen R .
- Reducción reflexiva : R ≠ , definida como R ≠ = R \ {( x , x ) | x ∈ X } o el más grande irreflexive relación sobre X contenido en R .
- Cierre transitivo : R + , definida como la relación transitiva más pequeño sobre X que contiene R . Esto puede ser visto a ser igual a la intersección de todas las relaciones transitivos que contienen R .
- Reflexive transitivo cierre : R *, definida como R * = ( R + ) = , el más pequeño orden previo que contiene R .
- Reflexive transitivo simétrica cierre : R ≡ , definida como la más pequeña relación de equivalencia sobre X que contiene R .
Todas las operaciones definidas en la sección Operaciones sobre relaciones binarias también se aplican a relaciones homogéneas.
Relaciones homogéneas por propiedad Reflexividad Simetría Transitividad Conectividad Símbolo Ejemplo Gráfico dirigido → Gráfico no dirigido Simétrico Dependencia Reflexivo Simétrico Torneo Irreflexivo Antisimétrico Orden jerárquico Hacer un pedido Reflexivo sí ≤ Preferencia Reserva total Reflexivo sí sí ≤ Orden parcial Reflexivo Antisimétrico sí ≤ Subconjunto Orden parcial estricto Irreflexivo Antisimétrico sí < Subconjunto estricto Orden total Reflexivo Antisimétrico sí sí ≤ Orden alfabetico Orden total estricto Irreflexivo Antisimétrico sí sí < Orden alfabético estricto Relación de equivalencia parcial Simétrico sí Relación de equivalencia Reflexivo Simétrico sí ∼, ≡ Igualdad
Enumeración
El número de relaciones homogéneas distintas sobre un conjunto de n elementos es 2 n 2 (secuencia A002416 en la OEIS ):
Elementos | Alguna | Transitivo | Reflexivo | Hacer un pedido | Orden parcial | Reserva total | Orden total | Relación de equivalencia |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | dieciséis | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
4 | 65,536 | 3,994 | 4,096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
n | 2n2 | 2n2−n | ∑n k=0 k! S(n, k) | n! | ∑n k=0 S(n, k) | |||
OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |
Notes:
- The number of irreflexive relations is the same as that of reflexive relations.
- The number of strict partial orders (irreflexive transitive relations) is the same as that of partial orders.
- The number of strict weak orders is the same as that of total preorders.
- The total orders are the partial orders that are also total preorders. The number of preorders that are neither a partial order nor a total preorder is, therefore, the number of preorders, minus the number of partial orders, minus the number of total preorders, plus the number of total orders: 0, 0, 0, 3, and 85, respectively.
- The number of equivalence relations is the number of partitions, which is the Bell number.
The homogeneous relations can be grouped into pairs (relation, complement), except that for n = 0 the relation is its own complement. The non-symmetric ones can be grouped into quadruples (relation, complement, inverse, inverse complement).
Examples
- Order relations, including strict orders:
- Greater than
- Greater than or equal to
- Less than
- Less than or equal to
- Divides (evenly)
- Subset of
- Equivalence relations:
- Equality
- Parallel with (for affine spaces)
- Is in bijection with
- Isomorphic
- Tolerance relation, a reflexive and symmetric relation:
- Dependency relation, a finite tolerance relation
- Independency relation, the complement of some dependency relation
- Kinship relations
See also
- Abstract rewriting system
- Additive relation, a many-valued homomorphism between modules
- Category of relations, a category having sets as objects and heterogeneous binary relations as morphisms
- Confluence (term rewriting), discusses several unusual but fundamental properties of binary relations
- Correspondence (algebraic geometry), a binary relation defined by algebraic equations
- Hasse diagram, a graphic means to display an order relation
- Incidence structure, a heterogeneous relation between set of points and lines
- Logic of relatives, a theory of relations by Charles Sanders Peirce
- Order theory, investigates properties of order relations
Notes
- ^ Authors who deal with binary relations only as a special case of n-ary relations for arbitrary n usually write Rxy as a special case of Rx1...xn (prefix notation).[9]
References
- ^ a b c d e f g h Codd, Edgar Frank (June 1970). "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks" (PDF). Communications of the ACM. 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685. S2CID 207549016. Retrieved 2020-04-29.
- ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon—Relation". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-11.
- ^ "Relation definition – Math Insight". mathinsight.org. Retrieved 2019-12-11.
- ^ a b Ernst Schröder (1895) Algebra und Logic der Relative, via Internet Archive
- ^ a b C. I. Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic , pages 269 to 279, via internet Archive
- ^ a b c Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7, Chapt. 5
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External links
- Media related to Binary relations at Wikimedia Commons
- "Binary relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]