En matemáticas , la geometría enumerativa es la rama de la geometría algebraica que se ocupa de contar números de soluciones a cuestiones geométricas, principalmente mediante la teoría de la intersección .
Historia
El problema de Apolonio es uno de los primeros ejemplos de geometría enumerativa. Este problema pide el número y la construcción de círculos que son tangentes a tres círculos, puntos o líneas dados. En general, el problema para tres círculos dados tiene ocho soluciones, que pueden verse como 2 3 , cada condición de tangencia impone una condición cuadrática en el espacio de círculos. Sin embargo, para arreglos especiales de los círculos dados, el número de soluciones también puede ser cualquier número entero de 0 (sin soluciones) a seis; no hay ningún arreglo para el que haya siete soluciones al problema de Apolonio.
Herramientas clave
Varias herramientas, que van desde las más elementales hasta las más avanzadas, incluyen:
- Recuento de dimensiones
- Teorema de Bézout
- Cálculo de Schubert y clases características más generales en cohomología
- La conexión de contar las intersecciones con la cohomología es la dualidad de Poincaré
- El estudio de espacios modulos de curvas, mapas y otros objetos geométricos, a veces a través de la teoría de la cohomología cuántica . El estudio de la cohomología cuántica , las invariantes de Gromov-Witten y la simetría especular dio un progreso significativo en la conjetura de Clemens .
La geometría enumerativa está muy ligada a la teoría de la intersección .
Cálculo de Schubert
La geometría enumerativa experimentó un desarrollo espectacular hacia finales del siglo XIX, de la mano de Hermann Schubert . [1] Introdujo con ese propósito el cálculo de Schubert , que ha demostrado tener un valor topológico y geométrico fundamental en áreas más amplias. Las necesidades específicas de la geometría enumerativa no se abordaron hasta que se les prestó más atención en las décadas de 1960 y 1970 (como señaló, por ejemplo, Steven Kleiman ). Los números de intersección habían sido definidos rigurosamente (por André Weil como parte de su programa fundamental 1942-6, y nuevamente posteriormente), pero esto no agotó el dominio adecuado de las preguntas enumerativas.
Factores de fudge y el decimoquinto problema de Hilbert
La aplicación ingenua del recuento de dimensiones y el teorema de Bézout arroja resultados incorrectos, como muestra el siguiente ejemplo. En respuesta a estos problemas, los geómetras algebraicos introdujeron vagos " factores falsos ", que sólo se justificaron rigurosamente décadas más tarde.
Como ejemplo, cuente las secciones cónicas tangentes a cinco líneas dadas en el plano proyectivo . [2] Las cónicas constituyen un espacio proyectivo de dimensión 5, tomando sus seis coeficientes como coordenadas homogéneas , y cinco puntos determinan una cónica , si los puntos están en posición lineal general , ya que pasar por un punto dado impone una condición lineal. Del mismo modo, tangencia a una determinada línea L (tangencia es intersección con multiplicidad dos) es una condición cuadrática, por lo que determina una cuádrica en P 5 . Sin embargo, el sistema lineal de divisores que consta de todos estos cuadrículas no está exento de un lugar geométrico de base . De hecho, cada uno de estos cuadráticos contiene la superficie Veronese , que parametriza las cónicas
- ( aX + bY + cZ ) 2 = 0
llamadas 'líneas dobles'. Esto se debe a que una línea doble interseca a todas las líneas del plano, ya que las líneas del plano proyectivo se intersecan, con multiplicidad dos porque se duplica, y por lo tanto satisface la misma condición de intersección (intersección de multiplicidad dos) como una cónica no degenerada que es tangente a la línea.
El teorema general de Bézout dice que 5 cuadrículas generales en 5 espacios se intersecarán en 32 = 2 5 puntos. Pero las cuadrículas relevantes aquí no están en posición general . De 32, 31 deben restarse y atribuirse al veronés, para dejar la respuesta correcta (desde el punto de vista de la geometría), a saber, 1. Este proceso de atribuir intersecciones a casos 'degenerados' es una típica introducción geométrica de un ' dulce de azúcar '. factor '.
El decimoquinto problema de Hilbert era superar la naturaleza aparentemente arbitraria de estas intervenciones; este aspecto va más allá de la cuestión fundamental del cálculo de Schubert en sí.
Conjetura de Clemens
En 1984, H. Clemens estudió el conteo del número de curvas racionales en una quintica triple. y llegó a la siguiente conjetura.
- Dejar ser una quíntica general triple, un entero positivo, entonces solo hay un número finito de curvas racionales con grado en .
Esta conjetura se ha resuelto en el caso , pero todavía está abierto para mayores .
En 1991, el artículo [3] sobre la simetría especular en la quíntica triple en desde el punto de vista teórico de cuerdas da números de curvas racionales de grado d en para todos . Antes de esto, los geómetras algebraicos podían calcular estos números solo para.
Ejemplos de
Algunos de los ejemplos históricamente importantes de enumeraciones en geometría algebraica incluyen:
- 2 El número de líneas que se encuentran con 4 líneas generales en el espacio.
- 8 El número de círculos tangentes a 3 círculos generales (el problema de Apolonio ).
- 27 El número de líneas en una superficie cúbica lisa ( Salmon y Cayley )
- 2875 El número de líneas en una quintica general triple.
- 3264 El número de cónicas tangentes a 5 cónicas planas en posición general ( Chasles )
- 609250 El número de cónicas en una quintica general triple.
- 4407296 El número de cónicas tangentes a 8 superficies cuádricas generales Fulton (1984 , p. 193)
- 666841088 El número de superficies cuádricas tangentes a 9 superficies cuádricas dadas en posición general en 3 espacios ( Schubert 1879 , p.106) ( Fulton 1984 , pág. 193)
- 5819539783680 El número de curvas cúbicas torcidas tangentes a 12 superficies cuádricas dadas en posición general en 3 espacios ( Schubert 1879 , p.184) (S. Kleiman, SA Strømme y S. Xambó 1987 )
Referencias
- ^ Schubert, H. (1979) [1879]. Kalkül der abzählenden Geometrie .
- ^ Fulton, William (1984). "10,4". Teoría de la intersección . ISBN 0-387-12176-5.
- ^ * Candelas, Philip ; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda (1991). "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría de campo superconformal exactamente soluble". Física B nuclear . 359 (1): 21–74. doi : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90292-6 .
- Kleiman, S .; Strømme, SA; Xambó, S. (1987), "Bosquejo de una verificación del número de Schubert 5819539783680 de cúbicos retorcidos", Curvas espaciales (Rocca di Papa, 1985) , Lecture Notes in Math., 1266 , Berlín: Springer, pp. 156-180, doi : 10.1007 / BFb0078183 , ISBN 978-3-540-18020-3, MR 0908713
- Schubert, Hermann (1979) [1879], Kleiman, Steven L. (ed.), Kalkül der abzählenden Geometrie , Reimpresión del original de 1879 (en alemán), Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-09233-1, MR 0555576
enlaces externos
- Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008). "Geometría algebraica enumerativa de cónicas" . Amer. Matemáticas. Mensual . 115 (8): 701–7. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920584 . JSTOR 27642583 .