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La ecuación del tiempo: sobre el eje, un reloj de sol aparecerá rápido en relación con un reloj que muestra la hora local media, y debajo del eje, un reloj de sol aparecerá lento .
Este gráfico muestra cuántos minutos está el reloj por delante (+) o por detrás (-) del sol aparente. Consulte la sección " Signo de la ecuación de tiempo " a continuación.

La ecuación del tiempo describe la discrepancia entre dos tipos de tiempo solar . La palabra ecuación se usa en el sentido medieval de "reconciliar una diferencia". Los dos tiempos que difieren son el tiempo solar aparente , que sigue directamente el movimiento diurno del Sol , y el tiempo solar medio , que sigue un Sol medio teórico con movimiento uniforme. El tiempo solar aparente se puede obtener midiendo la posición actual ( ángulo horario ) del Sol, como lo indica (con precisión limitada) un reloj de sol . Significarla hora solar, para el mismo lugar, sería la hora indicada por un reloj fijo configurado de modo que a lo largo del año sus diferencias con la hora solar aparente tuvieran una media de cero. [1]

La ecuación del tiempo es el componente este u oeste del analema , una curva que representa el desplazamiento angular del Sol desde su posición media en la esfera celeste vista desde la Tierra. La ecuación de valores de tiempo para cada día del año, compilada por observatorios astronómicos , se enumeraron ampliamente en almanaques y efemérides . [2] [3] : 14

El concepto [ editar ]

Reloj con dial auxiliar que muestra la ecuación del tiempo. Piazza Dante, Nápoles (1853).

Durante un año, la ecuación del tiempo varía como se muestra en el gráfico; su cambio de un año a otro es leve. El tiempo aparente y el reloj de sol pueden estar adelantados (rápido) hasta 16  min  33  s (alrededor del 3 de noviembre), o retrasados ​​(lento) hasta 14 min 6 s (alrededor del 11 de febrero). La ecuación del tiempo tiene ceros cerca del 15 de abril, 13 de junio, 1 de septiembre y 25 de diciembre. Ignorando cambios muy lentos en la órbita y la rotación de la Tierra, estos eventos se repiten en las mismas épocas cada año tropical . Sin embargo, debido al número no integral de días en un año, estas fechas pueden variar aproximadamente un día de un año a otro. [n 1] [4] : 277

La gráfica de la ecuación de tiempo se aproxima mucho mediante la suma de dos curvas sinusoidales, una con un período de un año y otra con un período de medio año. Las curvas reflejan dos efectos astronómicos, cada uno de los cuales provoca una falta de uniformidad diferente en el movimiento diario aparente del Sol en relación con las estrellas:

  • la oblicuidad de la eclíptica (el plano del movimiento orbital anual de la Tierra alrededor del Sol), que está inclinado unos 23,44 grados con respecto al plano del ecuador terrestre ; y
  • la excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, que es de aproximadamente 0,0167.

La ecuación de tiempo es constante solo para un planeta con inclinación axial cero y excentricidad orbital cero . En Marte, la diferencia entre la hora del reloj de sol y la hora del reloj puede ser de hasta 50 minutos, debido a la excentricidad considerablemente mayor de su órbita. El planeta Urano , que tiene una inclinación axial extremadamente grande, tiene una ecuación de tiempo que hace que sus días comiencen y terminen varias horas antes o después, dependiendo de dónde se encuentre en su órbita.

Signo de la ecuación del tiempo [ editar ]

El Observatorio Naval de los Estados Unidos establece que "la ecuación del tiempo es la diferencia del tiempo solar aparente menos el tiempo solar medio ", es decir, si el sol está por delante del reloj, el signo es positivo, y si el reloj está por delante del sol, el signo es negativo. . [5] [6] La ecuación del tiempo se muestra en el gráfico superior de arriba por un período de poco más de un año. El gráfico inferior (que cubre exactamente un año calendario) tiene los mismos valores absolutos pero el signose invierte ya que muestra qué tan lejos está el reloj por delante del sol. Las publicaciones pueden utilizar cualquiera de los formatos; en el mundo de habla inglesa, el uso anterior es el más común, pero no siempre se sigue. Cualquiera que haga uso de una tabla o gráfico publicado debe verificar primero su uso de signos. A menudo, hay una nota o una leyenda que lo explica. De lo contrario, el uso se puede determinar sabiendo que, durante los primeros tres meses de cada año, el reloj se adelanta al reloj de sol. El mnemónico "NYSS" (pronunciado "agradable"), para "año nuevo, reloj de sol lento", puede ser útil. Algunas tablas publicadas evitan la ambigüedad al no usar signos, sino que muestran frases como "reloj de sol rápido" o "reloj de sol lento". [7]

En este artículo, y otros en Wikipedia en inglés, un valor positivo de la ecuación del tiempo implica que un reloj de sol está por delante de un reloj.

Historia [ editar ]

La frase "ecuación de tiempo" se deriva del latín medieval aequātiō diērum , que significa "ecuación de días" o "diferencia de días". La palabra aequātiō (y ecuación del inglés medio ) se usó en la astronomía medieval para tabular la diferencia entre un valor observado y el valor esperado (como en la ecuación del centro, la ecuación de los equinoccios, la ecuación del epiciclo). Gerald J. Toomer usa el término medieval "ecuación" del latín aequātiō , [n 2] para la diferencia de Ptolomeo entre el tiempo solar medio y el tiempo solar aparente. Johannes KeplerLa definición de la ecuación es "la diferencia entre el número de grados y minutos de la anomalía media y los grados y minutos de la anomalía corregida". [8] : 155

La diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo medio fue reconocida por los astrónomos desde la antigüedad, pero antes de la invención de relojes mecánicos precisos a mediados del siglo XVII, los relojes de sol eran los únicos relojes confiables, y el tiempo solar aparente era el estándar generalmente aceptado. El tiempo medio no reemplazó al tiempo aparente en los almanaques y efemérides nacionales hasta principios del siglo XIX. [9]

Astronomía temprana [ editar ]

Los babilonios conocían el irregular movimiento diario del sol. [ cita requerida ]

Libro III de Ptolomeo 's Almagesto (segundo siglo) se ocupa principalmente con el Sol de anomalía, y se tabuló la ecuación del tiempo en sus Tablas de Handy . [10] Ptolomeo analiza la corrección necesaria para convertir el cruce del meridiano del Sol en el tiempo solar medio y toma en consideración el movimiento no uniforme del Sol a lo largo de la eclíptica y la corrección del meridiano para la longitud de la eclíptica del Sol. Afirma que la corrección máxima es 8+13  grados de tiempo o 59 de una hora (Libro III, capítulo 9). [11] Sin embargo, no consideró que el efecto fuera relevante para la mayoría de los cálculos, ya que era insignificante para las luminarias de movimiento lento y solo lo aplicó para la luminaria de movimiento más rápido, la Luna.

Basado en la discusión de Ptolomeo en el Almagest , los valores para la ecuación del tiempo (árabe taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) eran estándar para las tablas ( zij ) en las obras de la astronomía islámica medieval . [12]

Período moderno temprano [ editar ]

Nevil Maskelyne dio una descripción del tiempo aparente y medio en el Almanaque Náutico de 1767: "El Tiempo Aparente es el que se deduce inmediatamente del Sol, ya sea de la Observación de su paso por el Meridiano, o de su Observación de Salida o Puesta . Esta vez es diferente de lo que muestran los relojes bien regulados en Land, que se llama tiempo equivalente o medio ". Continuó diciendo que, en el mar, el tiempo aparente encontrado a partir de la observación del Sol debe corregirse mediante la ecuación del tiempo, si el observador requiere el tiempo medio. [1]

Originalmente se consideró que el momento adecuado era el que mostraba un reloj de sol. Cuando se introdujeron los buenos relojes mecánicos, coincidieron con los relojes de sol solo cerca de cuatro fechas cada año, por lo que la ecuación del tiempo se utilizó para "corregir" sus lecturas y obtener la hora del reloj de sol. Algunos relojes, llamados relojes de ecuaciones , incluían un mecanismo interno para realizar esta "corrección". Más tarde, cuando los relojes se convirtieron en los buenos relojes dominantes, el tiempo de reloj sin corregir, es decir, el "tiempo medio", se convirtió en el estándar aceptado. Las lecturas de los relojes de sol, cuando se usaron, se corrigieron entonces, y a menudo todavía se corrigen con la ecuación del tiempo, que se usa en la dirección inversa a la anterior, para obtener la hora del reloj. Muchos relojes de sol, por lo tanto,tener grabados tablas o gráficos de la ecuación de tiempo para permitir al usuario hacer esta corrección.[ cita requerida ]

La ecuación del tiempo se utilizó históricamente para configurar los relojes . Entre la invención de los relojes precisos en 1656 y el advenimiento de los servicios comerciales de distribución de la hora alrededor de 1900, hubo tres formas terrestres comunes de configurar los relojes. En primer lugar, en el caso inusual de tener un astrónomo presente, se notó el tránsito del sol a través del meridiano (el momento en que el sol pasó por encima); el reloj se puso entonces al mediodía y se compensó con el número de minutos dado por la ecuación de tiempo para esa fecha. En segundo lugar, y con mucha más frecuencia, se leyó un reloj de sol, se consultó una tabla de la ecuación del tiempo (generalmente grabada en la esfera) y se ajustó el reloj o el reloj en consecuencia. Estos calcularon el tiempo medio, aunque local a un punto de longitud. El tercer método no utilizó la ecuación del tiempo; en cambio, utilizó observaciones estelares para dar tiempo sidéreo , explotando la relación entre el tiempo sidéreo y el tiempo solar medio . [13] : 57–58

Las primeras tablas que dan la ecuación del tiempo de una manera esencialmente correcta fueron publicadas en 1665 por Christiaan Huygens . [14] Huygens, siguiendo la tradición de Ptolomeo y los astrónomos medievales en general, estableció sus valores para la ecuación del tiempo de manera que todos los valores fueran positivos durante todo el año. [14] [n 3]

Otro conjunto de tablas fue publicado en 1672–73 por John Flamsteed , quien más tarde se convirtió en el primer Astrónomo Real del nuevo Observatorio Real de Greenwich . Estas parecen haber sido las primeras tablas esencialmente correctas que dieron el significado actual del tiempo medio (anteriormente, como se señaló anteriormente, el signo de la ecuación siempre era positivo y se fijaba en cero cuando la hora aparente de la salida del sol era más temprana en relación con el reloj). hora de la salida del sol). Flamsteed adoptó la convención de tabular y nombrar la corrección en el sentido de que debía aplicarse al tiempo aparente para dar el tiempo medio. [15]

La ecuación del tiempo, basada correctamente en los dos componentes principales de la irregularidad del movimiento aparente del Sol, [n 4] no se adoptó generalmente hasta después de las tablas de Flamsteed de 1672–73, publicadas con la edición póstuma de las obras de Jeremiah Horrocks . [16] : 49

Robert Hooke (1635-1703), quien analizó matemáticamente la articulación universal , fue el primero en notar que la geometría y la descripción matemática de la ecuación (no secular) del tiempo y la articulación universal eran idénticas, y propuso el uso de una articulación universal. conjunta en la construcción de un "reloj de sol mecánico". [17] : 219

Siglos XVIII y principios del XIX [ editar ]

Las correcciones en las tablas de Flamsteed de 1672-1673 y 1680 dieron un tiempo medio calculado esencialmente correctamente y sin necesidad de más compensación. Pero los valores numéricos en las tablas de la ecuación del tiempo han cambiado algo desde entonces, debido a tres factores:

  • mejoras generales en la precisión que provienen de refinamientos en las técnicas de medición astronómica,
  • cambios intrínsecos lentos en la ecuación del tiempo, que se producen como resultado de pequeños cambios a largo plazo en la oblicuidad y excentricidad de la Tierra (que afectan, por ejemplo, la distancia y las fechas del perihelio ), y
  • la inclusión de pequeñas fuentes de variación adicional en el movimiento aparente del Sol, desconocidas en el siglo XVII, pero descubiertas a partir del siglo XVIII, incluidos los efectos de la Luna, [n 5] Venus y Júpiter. [18]
Un reloj de sol realizado en 1812 por Whitehurst & Son con una escala circular que muestra la ecuación de corrección del tiempo. Esto ahora está en exhibición en el Museo Derby.

Desde 1767 hasta 1833, el Almanaque Náutico Británico y las Efemérides Astronómicas tabuló la ecuación del tiempo en el sentido de 'sumar o restar (según se indica) el número de minutos y segundos indicados ao del tiempo aparente para obtener el tiempo medio'. Los tiempos en el Almanaque estaban en tiempo solar aparente, porque el tiempo a bordo del barco se determinaba con mayor frecuencia observando el Sol. Esta operación se realizaría en el caso inusual de que se necesitara el tiempo solar medio de una observación. En las emisiones desde 1834, todos los tiempos han sido en la hora solar media, porque para entonces el tiempo a bordo del barco estaba cada vez más determinado por cronómetros marinos.. En consecuencia, las instrucciones eran sumar o restar (según las instrucciones) el número de minutos indicados ao del tiempo medio para obtener el tiempo aparente. Así que ahora la suma corresponde a que la ecuación sea positiva y la resta corresponde a que sea negativa.

Como el movimiento diario aparente del Sol es de una revolución por día, es decir, 360 ° cada 24 horas, y el Sol mismo aparece como un disco de aproximadamente 0,5 ° en el cielo, los relojes de sol simples se pueden leer con una precisión máxima de aproximadamente uno. minuto. Dado que la ecuación del tiempo tiene un rango de aproximadamente 33 minutos, no se puede ignorar la diferencia entre la hora del reloj de sol y la hora del reloj. Además de la ecuación del tiempo, también se deben aplicar correcciones debido a la distancia del meridiano de la zona horaria local y el horario de verano , si corresponde.

El diminuto aumento del día solar medio debido a la desaceleración de la rotación de la Tierra, en aproximadamente 2 ms por día por siglo, que actualmente se acumula hasta aproximadamente 1 segundo cada año, no se tiene en cuenta en las definiciones tradicionales de la ecuación de tiempo, ya que es imperceptible en el nivel de precisión de los relojes de sol.

Componentes principales de la ecuación [ editar ]

Excentricidad de la órbita de la Tierra [ editar ]

Ecuación del tiempo (línea sólida roja) y sus dos componentes principales graficados por separado, la parte debida a la oblicuidad de la eclíptica (línea punteada malva) y la parte debida a la velocidad aparente variable del Sol a lo largo de la eclíptica debido a la excentricidad de la órbita de la Tierra. (línea de puntos y guiones azul oscuro)

La tierra gira alrededor del Sol. Visto desde la Tierra, el Sol parece girar una vez alrededor de la Tierra a través de las estrellas de fondo en un año. Si la Tierra orbitara al Sol con una velocidad constante, en una órbita circular en un plano perpendicular al eje de la Tierra, entonces el Sol culminaría todos los días exactamente a la misma hora, y sería un perfecto guardián del tiempo (excepto por el efecto muy pequeño de la desaceleración de la rotación de la Tierra). Pero la órbita de la Tierra es una elipse no centrada en el Sol, y su velocidad varía entre 30.287 y 29.291 km / s, según las leyes del movimiento planetario de Kepler , y su velocidad angular también varía, por lo que el Sol parece moverse más rápido. (en relación con las estrellas de fondo) en el perihelio (actualmente alrededor del 3 de enero) y más lento enafelio medio año después. [19] [20] [21]

En estos puntos extremos, este efecto varía el día solar aparente en 7,9 s / día con respecto a su media. En consecuencia, las diferencias diarias menores en otros días en velocidad son acumulativas hasta estos puntos, reflejando cómo el planeta acelera y desacelera en comparación con la media. Como resultado, la excentricidad de la órbita de la Tierra aporta una variación periódica que es (en la aproximación de primer orden) una onda sinusoidal con una amplitud de 7,66 min y un período de un año a la ecuación del tiempo. Los puntos cero se alcanzan en el perihelio (principios de enero) y afelio (principios de julio); los valores extremos se encuentran a principios de abril (negativo) y principios de octubre (positivo).

Oblicuidad de la eclíptica [ editar ]

Sol y planetas al mediodía aparente local (Eclíptica en rojo, Sol y Mercurio en amarillo, Venus en blanco, Marte en rojo, Júpiter en amarillo con mancha roja, Saturno en blanco con anillos).

Incluso si la órbita de la Tierra fuera circular, el movimiento percibido del Sol a lo largo de nuestro ecuador celeste aún no sería uniforme. Esto es consecuencia de la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita , o equivalentemente, la inclinación de la eclíptica (el camino que el Sol parece tomar en la esfera celeste ) con respecto al ecuador celeste . La proyección de este movimiento en nuestro ecuador celeste , a lo largo del cual se mide el "tiempo de reloj", es un máximo en los solsticios , cuando el movimiento anual del Sol es paralelo al ecuador (lo que provoca una amplificación de la velocidad percibida) y produce principalmente un cambio. en ascensión recta. Es un mínimo en los equinoccios , cuando el movimiento aparente del Sol es más inclinado y produce más cambios en la declinación , dejando menos para el componente en ascensión recta , que es el único componente que afecta la duración del día solar. Una ilustración práctica de la oblicuidad es que el desplazamiento diario de la sombra proyectada por el Sol en un reloj de sol incluso en el ecuador es menor cerca de los solsticios y mayor cerca de los equinoccios. Si este efecto operara solo, entonces los días durarían hasta 24 horas y 20,3 segundos (medidos desde el mediodía solar al mediodía solar) cerca de los solsticios, y hasta 20,3 segundos menos que las 24 horas cerca de los equinoccios. [19] [22] [21]

En la figura de la derecha, podemos ver la variación mensual de la pendiente aparente del plano de la eclíptica al mediodía solar visto desde la Tierra. Esta variación se debe a la aparente precesión de la Tierra en rotación a lo largo del año, vista desde el Sol al mediodía solar.

En términos de la ecuación del tiempo, la inclinación de la eclíptica resulta en la contribución de una variación de onda sinusoidal con una amplitud de 9,87 minutos y un período de medio año a la ecuación del tiempo. Los puntos cero de esta onda sinusoidal se alcanzan en los equinoccios y solsticios, mientras que los extremos se encuentran a principios de febrero y agosto (negativo) y principios de mayo y noviembre (positivo).

Efectos seculares [ editar ]

Los dos factores mencionados anteriormente tienen diferentes longitudes de onda, amplitudes y fases, por lo que su contribución combinada es una onda irregular. En la época 2000, estos son los valores (en minutos y segundos con fechas UT ):

[ cita requerida ]

ET = aparente - media. Positivo significa: el sol corre rápido y culmina antes, o el reloj de sol se adelanta a la hora media. Se produce una ligera variación anual debido a la presencia de años bisiestos, reiniciándose cada 4 años. La forma exacta de la ecuación de la curva del tiempo y el analema asociado cambian lentamente a lo largo de los siglos, debido a variaciones seculares tanto en la excentricidad como en la oblicuidad. En este momento, ambos están disminuyendo lentamente, pero aumentan y disminuyen en una escala de tiempo de cientos de miles de años. [23]

En escalas de tiempo más cortas (miles de años), los cambios en las fechas del equinoccio y el perihelio serán más importantes. El primero es causado por la precesión y desplaza el equinoccio hacia atrás en comparación con las estrellas. Pero se puede ignorar en la discusión actual ya que nuestro calendario gregoriano está construido de tal manera que mantiene la fecha del equinoccio de primavera en el 20 de marzo (al menos con suficiente precisión para nuestro objetivo aquí). El desplazamiento del perihelio es hacia adelante, alrededor de 1,7 días cada siglo. En 1246, el perihelio ocurrió el 22 de diciembre, el día del solsticio, por lo que las dos ondas contribuyentes tenían puntos cero comunes y la ecuación de la curva del tiempo era simétrica: en algoritmos astronómicosMeeus da los extremos de febrero y noviembre de 15 m 39 sy los de mayo y julio de 4 m 58 s. Antes, el mínimo de febrero era mayor que el máximo de noviembre y el máximo de mayo mayor que el mínimo de julio. De hecho, en los años anteriores a -1900 (1901 a. C.), el máximo de mayo era mayor que el máximo de noviembre. En el año -2000 (2001 a. C.), el máximo de mayo fue de +12 minutos y un par de segundos, mientras que el máximo de noviembre fue de poco menos de 10 minutos. El cambio secular es evidente cuando se compara un gráfico actual de la ecuación del tiempo (ver más abajo) con uno de hace 2000 años, por ejemplo, uno construido a partir de los datos de Ptolomeo. [24]

Representación gráfica [ editar ]

Animación que muestra la ecuación del tiempo y el camino del analema durante un año.

Uso práctico [ editar ]

Si el gnomon (el objeto que proyecta la sombra) no es un borde sino un punto (por ejemplo, un agujero en una placa), la sombra (o punto de luz) trazará una curva durante el transcurso de un día. Si la sombra se proyecta sobre una superficie plana, esta curva será una sección cónica.(generalmente una hipérbola), ya que el círculo del movimiento del Sol junto con el punto gnomon definen un cono. En los equinoccios de primavera y otoño, el cono degenera en un plano y la hipérbola en una línea. Con una hipérbola diferente para cada día, se pueden poner marcas de hora en cada hipérbola que incluyen las correcciones necesarias. Desafortunadamente, cada hipérbola corresponde a dos días diferentes, uno en cada semestre del año, y estos dos días requerirán correcciones diferentes. Un compromiso conveniente es trazar la línea del "tiempo medio" y agregar una curva que muestre la posición exacta de los puntos de sombra al mediodía durante el transcurso del año. Esta curva tomará la forma de un ocho y se conoce como analema.. Comparando el analema con la línea media del mediodía, se puede determinar la cantidad de corrección que se aplicará generalmente ese día.

La ecuación del tiempo se utiliza no solo en relación con relojes de sol y dispositivos similares, sino también para muchas aplicaciones de la energía solar . Las máquinas como los seguidores solares y los helióstatos tienen que moverse de formas que están influenciadas por la ecuación del tiempo.

La hora civil es la hora local media de un meridiano que a menudo pasa cerca del centro de la zona horaria y que posiblemente se vea alterado por el horario de verano . Cuando se va a encontrar la hora solar aparente que corresponde a una hora civil determinada, se deben considerar la diferencia de longitud entre el sitio de interés y el meridiano de la zona horaria, el horario de verano y la ecuación del tiempo. [25]

Calculando la ecuación del tiempo [ editar ]

La ecuación de tiempo se obtiene de una tabla publicada o de un gráfico. Para fechas en el pasado, tales tablas se producen a partir de mediciones históricas o por cálculo; para fechas futuras, por supuesto, las tablas solo se pueden calcular. En dispositivos como los helióstatos controlados por computadora, la computadora a menudo está programada para calcular la ecuación del tiempo. El cálculo puede ser numérico o analítico. Los primeros se basan en la integración numéricade las ecuaciones diferenciales de movimiento, incluidos todos los efectos gravitacionales y relativistas significativos. Los resultados tienen una precisión superior a 1 segundo y son la base de los datos de almanaques modernos. Estos últimos se basan en una solución que incluye solo la interacción gravitacional entre el Sol y la Tierra, más simple pero no tan precisa como la primera. Su precisión se puede mejorar mediante la inclusión de pequeñas correcciones.

La siguiente discusión describe un algoritmo razonablemente preciso (de acuerdo con los datos del almanaque en 3 segundos durante un amplio rango de años) para la ecuación del tiempo que es bien conocido por los astrónomos. [26] : 89 También muestra cómo obtener una fórmula aproximada simple (con una precisión de 1 minuto en un intervalo de tiempo grande), que se puede evaluar fácilmente con una calculadora y proporciona una explicación simple del fenómeno que se utilizó anteriormente en este artículo.

Descripción matemática [ editar ]

La definición precisa de la ecuación del tiempo es [27] : 1529

EOT = GHA - GMHA

Las cantidades que ocurren en esta ecuación son

  • EOT, la diferencia de tiempo entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio ;
  • GHA, el ángulo horario de Greenwich del Sol aparente (real);
  • GMHA = Universal Time - Offset, el ángulo horario medio de Greenwich del sol medio (ficticio).

Aquí, el tiempo y el ángulo son cantidades que están relacionadas por factores como: 2 π  radianes = 360 ° = 1 día = 24 horas. La diferencia, EOT, se puede medir ya que GHA es un ángulo que se puede medir y el Tiempo Universal , UT, es una escala para medir el tiempo. El desplazamiento de π = 180 ° = 12 horas desde UT es necesario porque UT es cero a la media noche, mientras que GMHA = 0 a la media del mediodía. [n 6] Tanto GHA como GMHA, como todos los ángulos físicos, tienen una discontinuidad matemática, pero no física, en su respectivo mediodía (aparente y medio). A pesar de las discontinuidades matemáticas de sus componentes, EOT se define como una función continua sumando (o restando) 24 horas en el pequeño intervalo de tiempo entre las discontinuidades en GHA y GMHA.

De acuerdo con las definiciones de los ángulos en la esfera celeste GHA = GAST - α (ver ángulo horario )
donde:

  • GAST es el tiempo sidéreo aparente de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el meridiano en el plano del ecuador). Ésta es una función conocida de UT. [28]
  • α es la ascensión recta del Sol aparente (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el Sol real en el plano del ecuador).

Al sustituir en la ecuación del tiempo, es

EOT = GAST - α - UT + desplazamiento

Al igual que la fórmula para GHA anterior, se puede escribir GMHA = GAST - α M , donde el último término es la ascensión recta del Sol medio. La ecuación a menudo se escribe en estos términos como [4] : 275 [29] : 45

EOT = α M - α

donde α M = GAST - UT + desplazamiento . En esta formulación, una medición o cálculo de EOT en un cierto valor de tiempo depende de una medición o cálculo de α en ese momento. Tanto α como α M varían de 0 a 24 horas durante el transcurso de un año. El primero tiene una discontinuidad en un momento que depende del valor de UT, mientras que el segundo la tiene en un momento ligeramente posterior. Como consecuencia, cuando se calcula de esta manera, EOT tiene dos discontinuidades artificiales. Ambos pueden eliminarse restando 24 horas del valor de EOT en el pequeño intervalo de tiempo después de la discontinuidad en α y antes del de α M. El EOT resultante es una función continua del tiempo.

Otra definición, denominada E para distinguirla de EOT, es

E = GMST - α - UT + desplazamiento

Aquí GMST = GAST - eqeq , es el tiempo sidéreo medio de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal medio y el Sol medio en el plano del ecuador). Por lo tanto, GMST es una aproximación a GAST (y E es una aproximación a EOT); eqeq se llama la ecuación de los equinoccios y se debe al bamboleo o nutación del eje de rotación de la Tierra alrededor de su movimiento precesional. Dado que la amplitud del movimiento nutacional es de sólo 1,2 s (18 ″ de longitud), la diferencia entre EOT y E puede ignorarse a menos que uno esté interesado en una precisión de subsegundos.

Una tercera definición, denotada Δ t para distinguirla de EOT y E , y ahora llamada Ecuación del tiempo de efemérides [27] : 1532 (antes de la distinción que ahora se hace entre EOT, E y Δ t, esta última se conocía como la ecuación del tiempo) es

Δ t = Λ - α

aquí Λ es la longitud eclíptica del Sol medio (el ángulo desde el equinoccio vernal medio al Sol medio en el plano de la eclíptica ).

La diferencia Λ - (GMST - UT + offset) es de 1.3 s desde 1960 a 2040. Por lo tanto, en este rango restringido de años Δ t es una aproximación a EOT cuyo error está en el rango de 0.1 a 2.5 s dependiendo de la corrección de longitud en la ecuación de los equinoccios; para muchos propósitos, por ejemplo, corregir un reloj de sol, esta precisión es más que suficiente.

Cálculo de ascensión recta [ editar ]

La ascensión recta, y por tanto la ecuación del tiempo, se puede calcular a partir de la teoría de Newton del movimiento celeste de dos cuerpos, en la que los cuerpos (Tierra y Sol) describen órbitas elípticas alrededor de su centro de masa común. Usando esta teoría, la ecuación del tiempo se convierte en

Δ t = M + λ p - α

donde los nuevos ángulos que aparecen son

  • M =2π ( t - t p )/t Y, es la anomalía media , el ángulo desde la periapsis de la órbita elíptica hasta el Sol medio; su rango es de 0 a 2 π a medida que t aumenta de t p a t p + t Y ;
  • t Y =365,259 6358  días es el período de tiempo en un año anómalo : el intervalo de tiempo entre dos pasajes sucesivos de la periapsis;
  • λ p = Λ - M , es la longitud eclíptica de la periapsis;
  • t es el tiempo dinámico , la variable independiente en la teoría. Aquí se considera que es idéntico al tiempo continuo basado en UT (ver arriba), pero en cálculos más precisos (de E o EOT) debe tenerse en cuenta la pequeña diferencia entre ellos [27] : 1530 [28] así como la distinción entre UT1 y UTC.
  • t p es el valor de t en la periapsis.

Para completar el cálculo se requieren tres ángulos adicionales:

  • E , la anomalía excéntrica del Sol(tenga en cuenta que es diferente de M );
  • ν , la verdadera anomalía del Sol;
  • λ = ν + λ p , la verdadera longitud del Sol en la eclíptica.
La esfera celeste y la órbita elíptica del Sol vista por un observador geocéntrico que mira normal a la eclíptica y muestra los 6 ángulos ( M , λ p , α , ν , λ , E ) necesarios para el cálculo de la ecuación del tiempo. En aras de la claridad, los dibujos no están a escala.

Todos estos ángulos se muestran en la figura de la derecha, que muestra la esfera celeste y la órbita elíptica del Sol vista desde la Tierra (la misma que la órbita de la Tierra vista desde el Sol). En esta figura ε es la oblicuidad , mientras que e = 1 - ( b / a ) 2 es la excentricidad de la elipse.

Ahora, dado un valor de 0 ≤ M ≤ 2π , se puede calcular α ( M ) mediante el siguiente procedimiento conocido: [26] : 89

Primero, dado M , calcule E a partir de la ecuación de Kepler : [30] : 159

M = E - e sen E

Aunque esta ecuación no se puede resolver exactamente en forma cerrada, los valores de E ( M ) se pueden obtener a partir de series infinitas (potencia o trigonométricas), métodos gráficos o numéricos. Alternativamente, tenga en cuenta que para e = 0 , E = M , y por iteración: [31] : 2

EM + e pecado M .

Esta aproximación se puede mejorar, para e pequeño , iterando nuevamente,

EM + e sen M +1/2e 2 sin 2 M ,

y la iteración continua produce sucesivamente términos de orden superior de la expansión de la serie de potencias en e . Para valores pequeños de e (mucho menos de 1), dos o tres términos de la serie dan una buena aproximación para E ; cuanto menor sea la e , mejor será la aproximación.

A continuación, conociendo E , calcule la anomalía verdadera ν a partir de una relación de órbita elíptica [30] : 165

La rama correcta de la función de valores múltiples tan −1 x a usar es la que hace que ν sea una función continua de E ( M ) a partir de ν E = 0 = 0 . Por lo tanto, para 0 ≤ E use tan −1 x = Tan −1 x , y para π < E ≤ 2π use tan −1 x = Tan −1 x + π . En el valor específico E = π para el cual el argumento de tanes infinito, el uso ν = E . Aquí Tan −1 x es la rama principal, | Tan −1 x | <π/2; la función que devuelven las calculadoras y las aplicaciones informáticas. Alternativamente, esta función se puede expresar en términos de su serie de Taylor en e , cuyos primeros tres términos son:

νE + e sen E +1/4e 2 sen 2 E .

Para e pequeños, esta aproximación (o incluso solo los dos primeros términos) es buena. La combinación de la aproximación para E ( M ) con esta para ν ( E ) produce

νM + 2 e sen M +5/4e 2 sen 2 M .

La relación ν ( M ) se llama ecuación del centro ; la expresión escrita aquí es una aproximación de segundo orden en e . Para el pequeño valor de e que caracteriza la órbita de la Tierra, esto da una muy buena aproximación para ν ( M ) .

A continuación, conociendo ν , calcule λ a partir de su definición:

λ = ν + λ p

El valor de λ varía de forma no lineal con M porque la órbita es elíptica y no circular. De la aproximación de ν :

λM + λ p + 2 e sen M +5/4e 2 sen 2 M .

Finalmente, sabiendo λ calcular α a partir de una relación para el triángulo rectángulo en la esfera celeste que se muestra arriba [32] : 22

α = tan −1 (cos ε tan λ )

Tenga en cuenta que el cuadrante de α es el mismo que el de λ , por lo tanto, reduzca λ al rango de 0 a 2 π y escriba

α = Tan −1 (cos ε tan λ ) + k π ,

donde k es 0 si λ está en el cuadrante 1, es 1 si λ está en los cuadrantes 2 o 3 y es 2 si λ está en el cuadrante 4. Para los valores en los que tan es infinito, α = λ .

Aunque se pueden obtener valores aproximados de α a partir de series de Taylor truncadas como las de ν , [33] : 32 es más eficaz utilizar la ecuación [34] : 374

α = λ - sin −1 [ y sin ( α + λ )]

donde y = tan 2 (ε/2) . Tenga en cuenta que para ε = y = 0 , α = λ e iterando dos veces:

αλ - y sen 2 λ +1/2y 2 sin 4 λ .

Ecuación del tiempo [ editar ]

La ecuación de tiempo se obtiene sustituyendo el resultado del cálculo de la ascensión recta en una fórmula de ecuación de tiempo. Aquí se usa Δ t ( M ) = M + λ p - α [ λ ( M )] ; en parte porque no se incluyen pequeñas correcciones (del orden de 1 segundo), que justificarían el uso de E , y en parte porque el objetivo es obtener una expresión analítica simple. El uso de aproximaciones de dos términos para λ ( M ) y α ( λ ) permite Δ tdebe escribirse como una expresión explícita de dos términos, que se designa Δ t ey porque es una aproximación de primer orden en ey en y .

Δ t ey = −2 e sin M + y sin (2 M + 2 λ p ) = −7.659 sin M + 9.863 sin (2 M + 3.5932)  minutos

Esta ecuación fue derivada por primera vez por Milne, [34] : 375 quien la escribió en términos de λ = M + λ p . Los valores numéricos escritos aquí resultan del uso de los valores de los parámetros orbitales, e =0,016 709 , ε =23,4393 ° =0,409 093  radianes y λ p =282,9381 ° =4.938 201  radianes que corresponden a la época del 1 de enero de 2000 a las 12 del mediodía UT1 . Al evaluar la expresión numérica para Δ t ey como se indica arriba, una calculadora debe estar en modo radianes para obtener los valores correctos porque el valor de 2 λ p - 2π en el argumento del segundo término está escrito en radianes. También se pueden escribir aproximaciones de orden superior, [35] : ecuaciones (45) y (46) pero necesariamente tienen más términos. Por ejemplo, la aproximación de segundo orden tanto en e como en y consta de cinco términos [27] : 1535

Δ t e 2 y 2 = Δ t ey -5/4e 2 sin 2 M + ey sin M cos (2 M + 2 λ p ) -1/2y 2 sin (4 M + 4 λ p )

Esta aproximación tiene el potencial para una mayor precisión, sin embargo, con el fin de lograrlo a lo largo de una amplia gama de años, los parámetros e , ε , y λ p debe permitir que varían con el tiempo. [26] : 86 [27] : 1531,1535 Esto crea complicaciones de cálculo adicionales. Se han propuesto otras aproximaciones, por ejemplo, Δ t e [26] : 86 [36] que utiliza la ecuación de primer orden del centro, pero ninguna otra aproximación para determinar α , y Δ t e 2 [37] que usa la ecuación de segundo orden del centro.

La variable de tiempo, M , se puede escribir en términos de n , el número de días después del perihelio, o D , el número de días después de una fecha y hora específicas (época):

M =/t Yn días = M D +/t YD días =6.240 040 77 +0,017 201 97 D

Aquí M D es el valor de M en la fecha y hora elegidas. Para los valores dados aquí, en radianes, M D es el medido para el Sol real en la época, el 1 de enero de 2000 a las 12 del mediodía UT1, y D es el número de días después de esa época. En periapsis M = 2π , entonces resolver da D = D p =2.508 109 . Esto sitúa la periapsis el 4 de enero de 2000 a las 00:11:41 mientras que la periapsis real es, según los resultados del Almanaque informático interactivo multianual [38] (abreviado como MICA), el 3 de enero de 2000 a las 05:17:30. Esta gran discrepancia ocurre porque la diferencia entre el radio orbital en las dos ubicaciones es solo de 1 parte en un millón; en otras palabras, el radio es una función muy débil del tiempo cerca de la periapsis. En la práctica, esto significa que no se puede obtener un resultado muy preciso para la ecuación del tiempo utilizando ny sumando la fecha real de periapsis para un año determinado. Sin embargo, de alta precisión se puede lograr mediante el uso de la formulación en términos de D .

Curvas de Δ t y Δ t ey junto con símbolos que ubican los valores diarios al mediodía (a intervalos de 10 días) obtenidos del Almanaque informático interactivo multianual vs d para el año 2000

Cuando D > D p , M es mayor que 2 π y se debe restar un múltiplo de 2 π (que depende del año) para llevarlo al rango de 0 a 2 π . Del mismo modo, para los años anteriores al 2000, se deben sumar múltiplos de 2 π . Por ejemplo, para el año 2010, D varía de3653 el 1 de enero al mediodía4017 el 31 de diciembre al mediodía; los valores M correspondientes son69.078 9468 y75,340 4748 y se reducen al rango de 0 a 2 π restando 10 y 11 por 2 π respectivamente. Siempre se puede escribir D = n Y + d , donde n Y es el número de días desde la época hasta el mediodía del 1 de enero del año deseado, y 0 ≤ d ≤ 364 (365 si el cálculo es para un año bisiesto).

El resultado de los cálculos se suele dar como un conjunto de valores tabulares o como un gráfico de la ecuación del tiempo en función de d . En la figura de la derecha se muestra una comparación de las gráficas de Δ t , Δ t ey y los resultados de MICA para el año 2000. La gráfica de Δ t ey se ve cercana a los resultados producidos por MICA, el error absoluto, Err = | Δ t ey - MICA2000 | , es menos de 1 minuto durante todo el año; su valor más grande es 43,2 segundos y se produce el día 276 (3 de octubre). La trama de Δ t es indistinguible de los resultados de MICA, el mayor error absoluto entre los dos es de 2,46 s en el día 324 (20 de noviembre).

Comentario sobre la continuidad de la ecuación del tiempo [ editar ]

Para la elección de la rama apropiada de la relación arctan con respecto a la continuidad de la función, es útil una versión modificada de la función arctangente. Aporta conocimientos previos sobre el valor esperado por un parámetro. La función arcotangente modificada se define como:

arctan η x = arctan x + π redondo (η - arctan x/π) .

Produce un valor lo más cercano posible a η . La función round redondea al número entero más cercano.

Aplicando esto produce:

Δ t ( M ) = M + λ p - arctan ( M + λ p ) (cos ε tan λ ) .

El parámetro M + λ p organiza aquí para establecer Δ t al valor cero más cercano que es el deseado.

Efectos seculares [ editar ]

La diferencia entre los resultados de MICA y Δ t se verificó cada 5 años en el rango de 1960 a 2040. En todos los casos, el error absoluto máximo fue inferior a 3 s; la mayor diferencia, 2,91 s, se produjo el 22 de mayo de 1965 (día 141). Sin embargo, para lograr este nivel de precisión en este rango de años, es necesario tener en cuenta el cambio secular en los parámetros orbitales con el tiempo. Las ecuaciones que describen esta variación son: [26] : 86 [27] : 1531,1535

Según estas relaciones, en 100 años ( D  = 36 525 ), λ p aumenta aproximadamente un 0,5% (1,7 °), e disminuye aproximadamente un 0,25% y ε disminuye aproximadamente un 0,05%.

Como resultado, el número de cálculos requeridos para cualquiera de las aproximaciones de orden superior de la ecuación del tiempo requiere que una computadora los complete, si se quiere lograr su precisión inherente en un amplio rango de tiempo. En este caso, no es más difícil evaluar Δ t utilizando una computadora que cualquiera de sus aproximaciones.

En todo esto, tenga en cuenta que Δ t ey, como se escribió anteriormente, es fácil de evaluar, incluso con una calculadora, es lo suficientemente preciso (mejor que 1 minuto en el rango de 80 años) para corregir relojes de sol, y tiene una buena explicación física como la suma de dos términos, uno por oblicuidad y otro por excentricidad que se utilizó anteriormente en el artículo. Esto no es cierto ni para Δ t considerado como una función de M ni para cualquiera de sus aproximaciones de orden superior.

Cálculo alternativo [ editar ]

Otro procedimiento para calcular la ecuación de tiempo se puede realizar de la siguiente manera. [36] Los ángulos están en grados; se aplica el orden convencional de operaciones .

n =360 °/365,24 días,

donde n es la velocidad orbital angular media de la Tierra en grados por día, también conocido como "el movimiento diario medio" .

A = norte × ( D + 9)

donde D es la fecha, contada en días a partir del 1 de enero (es decir, los días que forman parte de la fecha ordinal del año). 9 es el número aproximado de días desde el solsticio de diciembre hasta el 31 de diciembre. Una es el ángulo de la Tierra podría moverse en su órbita a su velocidad media desde el solsticio de diciembre hasta la fecha D .

B = A +360 °/π× 0,0167 × sin [ n ( D - 3)]

B es el ángulo que la Tierra se mueve desde el solsticio hasta la fecha D , incluida una corrección de primer orden para la excentricidad orbital de la Tierra, 0.0167. El número 3 es el número aproximado de días desde el 31 de diciembre hasta la fecha actual del perihelio de la Tierra . Esta expresión para B se puede simplificar combinando constantes para:

B = A + 1.914 ° × sen [ n ( D - 3)] .

Aquí, C es la diferencia entre el ángulo movido a velocidad media y el ángulo a la velocidad corregida proyectada sobre el plano ecuatorial, y dividida por 180 ° para obtener la diferencia en " medias vueltas ". El valor 23,44 ° es la inclinación del eje de la Tierra ("oblicuidad") . La resta da el signo convencional a la ecuación del tiempo. Para cualquier valor dado de x , arctan x (a veces escrito como tan −1 x ) tiene múltiples valores, que se diferencian entre sí por números enteros de medias vueltas. El valor generado por una calculadora o computadora puede no ser el apropiado para este cálculo. Esto puede causar Cestar equivocado por un número entero de medias vueltas. Las medias vueltas sobrantes se eliminan en el siguiente paso del cálculo para obtener la ecuación de tiempo:

EOT = 720 × ( C - nint ( C ))  minutos

La expresión nint ( C ) significa el número entero más próximo a C . En una computadora, se puede programar, por ejemplo, como INT (C + 0.5) . Su valor es 0, 1 o 2 en diferentes épocas del año. Restarlo deja un pequeño número fraccionario positivo o negativo de medias vueltas, que se multiplica por 720, el número de minutos (12 horas) que tarda la Tierra en rotar media vuelta con respecto al Sol, para obtener la ecuación del tiempo.

En comparación con los valores publicados, [7] este cálculo tiene un error cuadrático medio de sólo 3,7 s. El mayor error es de 6,0 s. Esto es mucho más preciso que la aproximación descrita anteriormente, pero no tan exacto como el elaborado cálculo.

Anexo sobre la declinación solar [ editar ]

El valor de B en el cálculo anterior es un valor exacto de la longitud de la eclíptica del Sol (desplazada en 90 °), por lo que la declinación solar se vuelve fácilmente disponible:

Declinación = - arcosen (sin 23,44 ° × cos B )

que tiene una precisión de una fracción de grado.

Ver también [ editar ]

  • Azimut
  • Analemma
  • Ciclos de Milankovitch

Notas y notas al pie [ editar ]

Notas
  1. Como ejemplo de la inexactitud de las fechas, según el Almanaque informático interactivo multianual del Observatorio Naval de EE. UU., Laecuación del tiempo era cero a las 02:00 UT1 del 16 de abril de 2011.
  2. ^ ecualización (ajuste)
  3. ^ Esto significaba que cualquier reloj que se ajustara a la hora indicada por las tablas de Huygens era consistentemente unos 15 minutos más lento en comparación con la hora media actual.
  4. ^ Ver arriba
  5. ^ Ver baricentro
  6. ^ El tiempo universal es discontinuo a la medianoche, por lo que se requiereotro número de día de cantidad N , un entero, para formar el tiempo de cantidad continua t : t = N +Utah/24 horasdías .
Notas al pie
  1. ^ a b Almanaque náutico 1767.
  2. ^ Milham, Willis I. (1945). Tiempo y cronometradores . Nueva York: Macmillan. págs. 11-15. ISBN 978-0780800083.
  3. ^ Comisión británica de longitud (1794). Almanaque Náutico y Efemérides Astronómicas del año 1803 . Londres, Reino Unido: C. Bucton.
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  5. ^ Departamento de aplicaciones astronómicas del Observatorio Naval de Estados Unidos (10 de agosto de 2017). "La ecuación del tiempo" . Archivado desde el original el 20 de agosto de 2019 . Consultado el 4 de marzo de 2020 .
  6. ^ Observatorio naval de Estados Unidos (2018). "El almanaque astronómico en línea! Glosario: la ecuación del tiempo" . Archivado desde el original el 3 de octubre de 2019 . Consultado el 4 de marzo de 2020 .
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  15. Flamsteed, John (1673) [1672 para la impresión y encuadernado con otras secciones impresas en 1673]. De Inaequalitate Dierum Solarium . Londres: William Godbid.
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  20. ^ "Excentricidad" . Analemma.com . Consultado el 29 de enero de 2021 .
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  23. ^ Karney, Kevin (diciembre de 2005). "Variación en la ecuación del tiempo" (PDF) .
  24. ^ Meeus 1997 .
  25. ^ " Cómo encontrar la hora exacta del mediodía solar, en cualquier lugar del mundo " . Londres: Spot-On Sundials. nd recuperado el 23 de julio de 2013.
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  33. ^ Whitman AM 2007, " Una expresión simple para la ecuación del tiempo ", Revista de la sociedad norteamericana del reloj de sol 14 págs. 29-33.
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  36. ↑ a b Williams, David O. (2009). "La latitud y longitud del sol" . Archivado desde el original el 23 de marzo de 2012.
  37. ^ " Coordenadas solares aproximadas ", "Portal de oceanografía naval".
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Referencias [ editar ]

  • Helyar, AG "Sun Data" . Archivado desde el original el 11 de enero de 2004.
  • Meeus, J (1997). Bocados de astronomía matemática . Richmond, Virginia: Willman-Bell.
  • McCarthy, Dennis D .; Seidelmann, P. Kenneth (2009). TIEMPO De la rotación de la Tierra a la Física Atómica . Weinheim: Wiley VCH. ISBN 978-3-527-40780-4.

Enlaces externos [ editar ]

  • Calculadora solar NOAA
  • Servicios de datos de USNO (incluyen tiempos de salida / puesta / tránsito del Sol y otros objetos celestes)
  • La ecuación de tiempo descrita en el sitio web del Observatorio Real de Greenwich
  • Un sitio de analema con muchas ilustraciones.
  • La ecuación del tiempo y el analema , de Kieron Taylor
  • Un artículo de Brian Tung que contiene un enlace a un programa en C que utiliza una fórmula más precisa que la mayoría (especialmente en inclinaciones y excentricidades elevadas). El programa puede calcular la declinación solar, la ecuación del tiempo o el analema.
  • Haciendo cálculos usando los modelos planetarios geocéntricos de Ptolomeo con una discusión de su gráfico ET
  • Ecuación del tiempo Reloj de caja larga de John Topping C.1720
  • La tabla de corrección de la ecuación del tiempo Una página que describe cómo corregir un reloj a un reloj de sol.
  • Tempómetro solar : calcula tu tiempo solar, incluida la ecuación del tiempo.