En geometría euclidiana , un cuadrilátero equidiagonal es un cuadrilátero convexo cuyas dos diagonales tienen la misma longitud. Los cuadriláteros equidiagonales eran importantes en las matemáticas indias antiguas , donde los cuadriláteros se clasificaban primero según si eran equidiagonales y luego en tipos más especializados. [1]
Casos especiales
Ejemplos de cuadriláteros equidiagonales incluyen los trapezoides , rectángulos y cuadrados isósceles .
Entre todos los cuadriláteros, la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es una cometa equidiagonal con ángulos π / 3, 5π / 12, 5π / 6 y 5π / 12. [2]
Caracterizaciones
Un cuadrilátero convexo es equidiagonal si y solo si su paralelogramo de Varignon , el paralelogramo formado por los puntos medios de sus lados, es un rombo . Una condición equivalente es que los bimedianos del cuadrilátero (las diagonales del paralelogramo de Varignon) sean perpendiculares . [3]
Un cuadrilátero convexo con longitudes diagonales y y longitudes bimedianas y es equidiagonal si y solo si [4] : Prop.1
Área
El área K de un cuadrilátero equidiagonal se puede calcular fácilmente si la longitud de los bimedians m y n son conocidos. Un cuadrilátero es equidiagonal si y solo si [5] : p.19; [4] : Cor.4
Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo es el doble del área de su paralelogramo de Varignon y que las diagonales en este paralelogramo son las bimedianas del cuadrilátero. Usando las fórmulas para las longitudes de las bimedianas , el área también se puede expresar en términos de los lados a, b, c, d del cuadrilátero equidiagonal y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como [5] : p.19
Se pueden obtener otras fórmulas de área estableciendo p = q en las fórmulas para el área de un cuadrilátero convexo .
Relación con otros tipos de cuadriláteros
Un paralelogramo es equidiagonal si y solo si es un rectángulo, [6] y un trapezoide es equidiagonal si y solo si es un trapezoide isósceles . Los cuadriláteros equidiagonales cíclicos son exactamente los trapezoides isósceles.
Hay una dualidad entre los cuadriláteros equidiagonal y cuadriláteros orthodiagonal : un cuadrilátero es equidiagonal si y sólo si su paralelogramo Varignon es orthodiagonal (un rombo), y el cuadrilátero es orthodiagonal si y sólo si su paralelogramo Varignon es equidiagonal (un rectángulo). [3] De manera equivalente, un cuadrilátero tiene diagonales iguales si y solo si tiene bimedianas perpendiculares, y tiene diagonales perpendiculares si y solo si tiene bimedianas iguales. [7] Silvester (2006) da más conexiones entre cuadriláteros equidiagonales y ortodiagonales, a través de una generalización del teorema de van Aubel . [8]
Los cuadriláteros que son tanto ortodiagonales como equidiagonales, y en los que las diagonales son al menos tan largas como todos los lados del cuadrilátero, tienen el área máxima para su diámetro entre todos los cuadriláteros, resolviendo el caso n = 4 del mayor problema de polígono pequeño . El cuadrado es uno de esos cuadriláteros, pero hay infinitos otros. Los cuadriláteros equidiagonales y ortodiagonales se han denominado cuadriláteros cuadrados medios [4] : p. 137 porque son los únicos para los que el paralelogramo de Varignon (con vértices en los puntos medios de los lados del cuadrilátero) es un cuadrado. Tal cuadrilátero, con lados sucesivos a, b, c, d , tiene área [4] : Teo.16
Un paralelogramo medio cuadrado es exactamente un cuadrado.
ejemplo de cuadrilátero medio cuadrado
un trapezoide de medio cuadrado
una cometa de tamaño medio
Referencias
- ^ Colebrooke, Henry-Thomas (1817), Álgebra, con aritmética y medición, del sánscrito de Brahmegupta y Bhascara , John Murray, p. 58.
- ^ Ball, DG (1973), "A generalization of π", Mathematical Gazette , 57 (402): 298-303, doi : 10.2307 / 3616052, Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-óptimos polígonos", Mathematical Gazette , 59 (409): 165-175, doi : 10.2307 / 3617699.
- ^ a b de Villiers, Michael (2009), Algunas aventuras en geometría euclidiana , Aprendizaje dinámico de matemáticas, p. 58, ISBN 9780557102952.
- ^ a b c d Josefsson, Martin (2014), "Propiedades de los cuadriláteros equidiagonales" , Forum Geometricorum , 14 : 129-144.
- ^ a b Josefsson, Martin (2013), "Cinco pruebas de una caracterización de áreas de rectángulos" (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21.
- ^ Gerdes, Paulus (1988), "Sobre cultura, pensamiento geométrico y educación matemática", Estudios educativos en matemáticas , 19 (2): 137-162, doi : 10.1007 / bf00751229 , JSTOR 3482571.
- ^ Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13-25. Ver en particular el Teorema 7 de la p. 19.
- ^ Silvester, John R. (2006), "Extensiones de un teorema de Van Aubel", The Mathematical Gazette , 90 (517): 2–12, JSTOR 3621406.