En física (específicamente, mecánica celeste ), la velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto libre, no propulsado, escape de la influencia gravitacional de un cuerpo masivo, es decir, para eventualmente alcanzar una distancia infinita de él. La velocidad de escape aumenta con la masa del cuerpo (cuerpo del que se va a escapar) y disminuye con la distancia del objeto que se escapa de su centro. Por lo tanto, la velocidad de escape depende de qué tan lejos haya viajado el objeto, y su cálculo a una distancia dada tiene en cuenta el hecho de que sin una nueva aceleración se ralentizará a medida que viaja, debido a la gravedad del cuerpo masivo, pero nunca lento hasta detenerse.
Un cohete, acelerado continuamente por su escape, puede escapar sin alcanzar la velocidad de escape, ya que continúa agregando energía cinética de sus motores. Puede lograr escapar a cualquier velocidad, con suficiente propulsor para proporcionar una nueva aceleración al cohete para contrarrestar la desaceleración de la gravedad y así mantener su velocidad.
La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de aproximadamente 11.186 m / s (6.951 mi / s; 40.270 km / h; 36.700 pies / s; 25.020 mph; 21.744 kn). [1] De manera más general, la velocidad de escape es la velocidad a la que la suma de la energía cinética de un objeto y su energía potencial gravitacional es igual a cero; [nb 1] un objeto que ha alcanzado la velocidad de escape no está ni en la superficie ni en una órbita cerrada (de cualquier radio). Con la velocidad de escape en una dirección que apunta en dirección opuesta al suelo de un cuerpo masivo, el objeto se alejará del cuerpo, disminuirá la velocidad para siempre y se acercará, pero nunca alcanzará, la velocidad cero. Una vez que se alcanza la velocidad de escape, no es necesario aplicar más impulso para que continúe en su escape. En otras palabras, si se le da velocidad de escape, el objeto se alejará del otro cuerpo, disminuyendo continuamente su velocidad y se acercará asintóticamente a velocidad cero a medida que la distancia del objeto se acerca al infinito , para nunca regresar. [2] Velocidades superiores a la velocidad de escape retienen una velocidad positiva a una distancia infinita. Tenga en cuenta que la velocidad de escape mínima asume que no hay fricción (por ejemplo, arrastre atmosférico), lo que aumentaría la velocidad instantánea requerida para escapar de la influencia gravitacional, y que no habrá aceleración futura o desaceleración extraña (por ejemplo, de empuje o de gravedad de otros cuerpos), lo que cambiaría la velocidad instantánea requerida.
Para un cuerpo masivo, esféricamente simétrico, como una estrella o un planeta, la velocidad de escape de ese cuerpo, a una distancia dada, se calcula mediante la fórmula [3]
donde G es la constante gravitacional universal ( G ≈ 6.67 × 10 −11 m 3 · kg −1 · s −2 ), M la masa del cuerpo del que se va a escapar y r la distancia desde el centro de masa del cuerpo al objeto. [nb 2] La relación es independiente de la masa del objeto que escapa del cuerpo masivo. A la inversa, un cuerpo que cae bajo la fuerza de atracción gravitacional de masa M , desde el infinito, comenzando con velocidad cero, golpeará el objeto masivo con una velocidad igual a su velocidad de escape dada por la misma fórmula.
Cuando se le da una velocidad inicial mayor que la velocidad de escape el objeto se acercará asintóticamente al exceso de velocidad hiperbólico satisfaciendo la ecuación: [4]
En estas ecuaciones no se tiene en cuenta la fricción atmosférica ( arrastre del aire ).
Descripción general
La existencia de velocidad de escape es consecuencia de la conservación de la energía y de un campo energético de profundidad finita. Para un objeto con una energía total dada, que se mueve sujeto a fuerzas conservadoras (como un campo gravitatorio estático), solo es posible que el objeto alcance combinaciones de ubicaciones y velocidades que tengan esa energía total; y los lugares que tienen una energía potencial superior a esta no se pueden alcanzar en absoluto. Al agregar velocidad (energía cinética) al objeto, expande las posibles ubicaciones que se pueden alcanzar, hasta que, con suficiente energía, se vuelven infinitas.
Para una energía potencial gravitacional dada en una posición dada, la velocidad de escape es la velocidad mínima que un objeto sin propulsión necesita para poder "escapar" de la gravedad (es decir, para que la gravedad nunca logre tirar de él). La velocidad de escape es en realidad una velocidad (no una velocidad) porque no especifica una dirección: no importa cuál sea la dirección de viaje, el objeto puede escapar del campo gravitacional (siempre que su camino no cruce el planeta).
Una forma elegante de derivar la fórmula de la velocidad de escape es utilizar el principio de conservación de la energía (de otra forma, basada en el trabajo, ver más abajo ). En aras de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, asumimos que un objeto escapará del campo gravitacional de un planeta esférico uniforme al alejarse de él y que la única fuerza significativa que actúa sobre el objeto en movimiento es la gravedad del planeta. Imagine que una nave espacial de masa m está inicialmente a una distancia r del centro de masa del planeta, cuya masa es M , y su rapidez inicial es igual a su velocidad de escape,. En su estado final, estará a una distancia infinita del planeta y su velocidad será insignificante. La energía cinética K y potencial gravitatoria la energía U g son los únicos tipos de energía que vamos a tratar con (vamos a ignorar la fricción de la atmósfera), así por la conservación de la energía,
Podemos establecer K ƒinal = 0 porque la velocidad final es arbitrariamente pequeña, y U gƒinal = 0 porque la distancia final es infinita, entonces
donde μ es el parámetro gravitacional estándar .
El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista , en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o la circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild . [6] [7]
Definida un poco más formalmente, "velocidad de escape" es la velocidad inicial requerida para ir desde un punto inicial en un campo de potencial gravitacional hasta el infinito y terminar en el infinito con una velocidad residual de cero, sin ninguna aceleración adicional. [8] Todas las velocidades y velocidades se miden con respecto al campo. Además, la velocidad de escape en un punto del espacio es igual a la velocidad que tendría un objeto si partiera en reposo desde una distancia infinita y fuera arrastrado por la gravedad hasta ese punto.
En el uso común, el punto inicial está en la superficie de un planeta o luna . En la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de aproximadamente 11,2 km / s, que es aproximadamente 33 veces la velocidad del sonido (Mach 33) y varias veces la velocidad de salida de una bala de rifle (hasta 1,7 km / s). Sin embargo, a 9.000 km de altitud en el "espacio", es un poco menos de 7,1 km / s. Tenga en cuenta que esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna (ver más abajo).
La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que se escapa. No importa si la masa es de 1 kg o 1000 kg; lo que difiere es la cantidad de energía requerida. Por un objeto de masala energía requerida para escapar del campo gravitacional de la Tierra es GMm / r , una función de la masa del objeto (donde r es el radio de la Tierra, G es la constante gravitacional y M es la masa de la Tierra , M = 5.9736 × 10 24 kg ). Una cantidad relacionada es la energía orbital específica que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual a cero.
Escenarios
Desde la superficie de un cuerpo
Una expresión alternativa para la velocidad de escape particularmente útil en la superficie del cuerpo es:
donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se calcula la velocidad de escape y g es la aceleración gravitacional a esa distancia (es decir, la gravedad superficial ). [9]
Para un cuerpo con una distribución de masa esféricamente simétrica, la velocidad de escape de la superficie es proporcional al radio asumiendo densidad constante, y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad promedio ρ.
dónde
Tenga en cuenta que esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como explicamos ahora.
De un cuerpo giratorio
La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo giratorio depende de la dirección en la que viaja el cuerpo que escapa. Por ejemplo, como la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m / s en el ecuador , un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el este requiere una velocidad inicial de aproximadamente 10,735 km / s en relación con la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar. mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el oeste requiere una velocidad inicial de aproximadamente 11,665 km / s en relación con esa superficie en movimiento . La velocidad de la superficie disminuye con el coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial a menudo están ubicadas lo más cerca posible del ecuador, por ejemplo, el Cabo Cañaveral estadounidense (latitud 28 ° 28 ′ N) y el Centro Espacial de la Guayana Francesa (latitud 5 ° 14 ′ N).
Consideraciones prácticas
En la mayoría de las situaciones, no es práctico alcanzar la velocidad de escape casi instantáneamente, debido a la aceleración implicada, y también porque si hay atmósfera, las velocidades hipersónicas involucradas (en la Tierra una velocidad de 11.2 km / s, o 40,320 km / h) serían hacen que la mayoría de los objetos se quemen debido al calentamiento aerodinámico o se rompan por la resistencia atmosférica . Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará constantemente fuera de la atmósfera hasta que alcance la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave espacial puede colocarse primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo, una órbita terrestre baja a 160-2000 km) y luego acelerarse a la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente menor (aproximadamente 11.0 km / sa una órbita terrestre baja de 200 km). Sin embargo, el cambio adicional requerido en la velocidad es mucho menor porque la nave espacial ya tiene una velocidad orbital significativa (en la órbita terrestre baja, la velocidad es de aproximadamente 7,8 km / so 28 080 km / h).
De un cuerpo en órbita
La velocidad de escape a una altura dada es multiplicado por la velocidad en una órbita circular a la misma altura (compárelo con la ecuación de velocidad en una órbita circular ). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto al infinito de un objeto en dicha órbita es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar la suma de energía potencial y cinética debe ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular a veces se denomina primera velocidad cósmica , mientras que en este contexto la velocidad de escape se denomina segunda velocidad cósmica . [10]
Para un cuerpo en una órbita elíptica que desee acelerar a una órbita de escape, la velocidad requerida variará y será mayor en la periapsis cuando el cuerpo esté más cerca del cuerpo central. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también estará en su punto más alto en este punto, y el cambio de velocidad requerido será en su nivel más bajo, como se explica por el efecto Oberth .
Velocidad de escape baricéntrica
Técnicamente, la velocidad de escape puede medirse en relación con el otro cuerpo central o con respecto al centro de masa o baricentro del sistema de cuerpos. Por lo tanto, para sistemas de dos cuerpos, el término velocidad de escape puede ser ambiguo, pero generalmente se pretende que signifique la velocidad de escape baricéntrica del cuerpo menos masivo. En los campos gravitacionales, la velocidad de escape se refiere a la velocidad de escape de las partículas de prueba de masa cero en relación con el baricentro de las masas que generan el campo. En la mayoría de situaciones que involucran naves espaciales, la diferencia es insignificante. Para una masa igual a un cohete Saturno V , la velocidad de escape relativa a la plataforma de lanzamiento es 253.5 am / s (8 nanómetros por año) más rápida que la velocidad de escape relativa al centro de masa mutuo. [ cita requerida ]
Altura de las trayectorias de menor velocidad
Ignorando todos los factores que no sean la fuerza gravitacional entre el cuerpo y el objeto, un objeto proyectado verticalmente a velocidad desde la superficie de un cuerpo esférico con velocidad de escape y radio alcanzará una altura máxima satisfaciendo la ecuación [11]
lo cual, resolviendo para h resulta en
dónde es la relación de la velocidad original a la velocidad de escape
A diferencia de la velocidad de escape, la dirección (verticalmente hacia arriba) es importante para alcanzar la altura máxima.
Trayectoria
Si un objeto alcanza exactamente la velocidad de escape, pero no se dirige directamente hacia el exterior del planeta, seguirá una trayectoria o trayectoria curva. Aunque esta trayectoria no tiene una forma cerrada, se la puede denominar órbita. Suponiendo que la gravedad es la única fuerza significativa en el sistema, la velocidad de este objeto en cualquier punto de la trayectoria será igual a la velocidad de escape en ese punto debido a la conservación de la energía, su energía total siempre debe ser 0, lo que implica que siempre tiene velocidad de escape; vea la derivación anterior. La forma de la trayectoria será una parábola cuyo foco se ubica en el centro de masa del planeta. Un escape real requiere un rumbo con una trayectoria que no se cruce con el planeta o su atmósfera, ya que esto haría que el objeto se estrellara. Cuando se aleja de la fuente, esta ruta se denomina órbita de escape . Las órbitas de escape se conocen como órbitas C3 = 0. C3 es la energía característica , = - GM / 2 a , donde a es el semieje mayor , que es infinito para trayectorias parabólicas.
Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que la velocidad de escape, entonces su trayectoria formará una trayectoria hiperbólica y tendrá un exceso de velocidad hiperbólica, equivalente a la energía extra que tiene el cuerpo. Un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar a la velocidad de escape puede resultar en una velocidad relativamente grande en el infinito. Algunas maniobras orbitales aprovechan este hecho. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km / s, la suma de 0,4 km / s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km / s:
Si un cuerpo en órbita circular (o en la periapsis de una órbita elíptica) acelera a lo largo de su dirección de viaje para escapar de la velocidad, el punto de aceleración formará la periapsis de la trayectoria de escape. La dirección eventual de viaje será a 90 grados de la dirección en el punto de aceleración. Si el cuerpo acelera más allá de la velocidad de escape, la dirección eventual de viaje será en un ángulo más pequeño, e indicada por una de las asíntotas de la trayectoria hiperbólica que está tomando ahora. Esto significa que el momento de la aceleración es fundamental si la intención es escapar en una dirección particular.
Si la velocidad en la periapsis es v , entonces la excentricidad de la trayectoria viene dada por:
Esto es válido para trayectorias elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Si la trayectoria es hiperbólica o parabólica, se acercará asintóticamente a un ángulo desde la dirección en periapsis, con
La velocidad se acercará asintóticamente
Lista de velocidades de escape
En esta tabla, la mitad izquierda da la velocidad de escape de la superficie visible (que puede ser gaseosa como Júpiter, por ejemplo), en relación con el centro del planeta o la luna (es decir, no en relación con su superficie en movimiento). En la mitad derecha, V e se refiere a la velocidad relativa al cuerpo central (por ejemplo, el sol), mientras que V te es la velocidad (en la superficie visible del cuerpo más pequeño) relativa al cuerpo más pequeño (planeta o luna). ).
Localización | Relativo a | V e (km / s) [12] | Localización | Relativo a | V e (km / s) [12] | Escape del sistema, V te (km / s) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
En el sol | La gravedad del sol | 617,5 | |||||
En mercurio | La gravedad de mercurio | 4.25 | En mercurio | La gravedad del sol | ~ 67,7 | ~ 20,3 | |
En venus | Gravedad de Venus | 10,36 | En venus | La gravedad del sol | 49,5 | 17,8 | |
En la tierra | La gravedad de la tierra | 11.186 | En la tierra | La gravedad del sol | 42,1 | 16.6 | |
En la luna | La gravedad de la luna | 2,38 | En la Luna | La gravedad de la Tierra | 1.4 | 2,42 | |
En Marte | La gravedad de Marte | 5.03 | En Marte | La gravedad del sol | 34,1 | 11,2 | |
En Ceres | La gravedad de Ceres | 0,51 | En Ceres | La gravedad del sol | 25,3 | 7.4 | |
En Júpiter | La gravedad de Júpiter | 60,20 | En Júpiter | La gravedad del sol | 18,5 | 60,4 | |
En Io | Gravedad de Io | 2.558 | En Io | La gravedad de Júpiter | 24,5 | 7,6 | |
En Europa | La gravedad de Europa | 2.025 | En Europa | La gravedad de Júpiter | 19,4 | 6.0 | |
En Ganimedes | Gravedad de Ganimedes | 2.741 | En Ganimedes | La gravedad de Júpiter | 15,4 | 5.3 | |
En Calisto | Gravedad de Calisto | 2.440 | En Callisto | La gravedad de Júpiter | 11,6 | 4.2 | |
En Saturno | La gravedad de Saturno | 36.09 | En Saturno | La gravedad del sol | 13,6 | 36,3 | |
En Titán | Gravedad de Titán | 2.639 | En titán | La gravedad de Saturno | 7.8 | 3,5 | |
En Urano | La gravedad de Urano | 21,38 | En Urano | La gravedad del sol | 9,6 | 21,5 | |
En neptuno | La gravedad de Neptuno | 23,56 | En neptuno | La gravedad del sol | 7.7 | 23,7 | |
En Triton | La gravedad de Tritón | 1.455 | En Triton | La gravedad de Neptuno | 6.2 | 2,33 | |
En plutón | La gravedad de plutón | 1,23 | En plutón | La gravedad del sol | ~ 6.6 | ~ 2.3 | |
En el radio galáctico del Sistema Solar | La gravedad de la Vía Láctea | 492–594 [13] [14] | |||||
En el horizonte de eventos | La gravedad de un agujero negro | 299,792.458 ( velocidad de la luz ) |
Las dos últimas columnas dependerán precisamente de dónde se alcance la velocidad de escape en órbita, ya que las órbitas no son exactamente circulares (particularmente Mercurio y Plutón).
Derivación de la velocidad de escape mediante cálculo
Sea G la constante gravitacional y sea M la masa de la tierra (u otro cuerpo gravitante) ym la masa del cuerpo o proyectil que se escapa. A una distancia r del centro de gravitación, el cuerpo siente una fuerza atractiva
Por tanto, el trabajo necesario para mover el cuerpo una pequeña distancia dr contra esta fuerza viene dado por
El trabajo total necesario para mover el cuerpo desde la superficie r 0 del cuerpo gravitante hasta el infinito es entonces [15]
Para hacer este trabajo para alcanzar el infinito, la energía cinética mínima del cuerpo en la salida debe coincidir con este trabajo, por lo que la velocidad de escape v 0 satisface
lo que resulta en
Ver también
- Agujero negro : un objeto con una velocidad de escape mayor que la velocidad de la luz.
- Energía característica (C 3 )
- Presupuesto Delta-v : velocidad necesaria para realizar maniobras.
- Tirachinas gravitacional : una técnica para cambiar de trayectoria
- Pozo de gravedad
- Lista de objetos artificiales en órbita heliocéntrica
- Lista de objetos artificiales que abandonan el Sistema Solar
- Bala de cañón de Newton
- Efecto Oberth : la combustión del propulsor en lo profundo de un campo de gravedad produce un mayor cambio en la energía cinética.
- Problema de dos cuerpos
Notas
- ^ La energía potencial gravitacional es negativa ya que la gravedad es una fuerza atractiva y la energía potencial se ha definido para este propósito como cero a una distancia infinita del centro de gravedad.
- ^ El valor GM se denomina parámetro gravitacional estándar , o μ , y a menudo se conoce con mayor precisión que G o M por separado.
Referencias
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- ^ Bate, Mueller y White, p. 35
- ^ Teodorescu, PP (2007). Sistemas mecánicos, modelos clásicos . Springer, Japón. pag. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9., Sección 2.2.2, pág. 580
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- ^ Smith, Martin C .; Ruchti, GR; Helmi, A .; Wyse, RFG (2007). "La encuesta RAVE: restricción de la velocidad de escape galáctico local". Actas de la Unión Astronómica Internacional . 2 (S235): 755–772. arXiv : astro-ph / 0611671 . doi : 10.1017 / S1743921306005692 .
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enlaces externos
- Calculadora de velocidad de escape
- Calculadora numérica de velocidad de escape basada en la web