El teorema de Euclides-Euler es un teorema matemático que relaciona los números perfectos con los primos de Mersenne . Establece que un número par es perfecto si y solo si tiene la forma 2 p −1 (2 p - 1) , donde 2 p - 1 es un número primo. El teorema lleva el nombre de Euclid y Leonhard Euler .
Se ha conjeturado que hay infinitos números primos de Mersenne. Aunque la verdad de esta conjetura sigue siendo desconocida, es equivalente, según el teorema de Euclides-Euler, a la conjetura de que hay infinitos números perfectos pares. Sin embargo, también se desconoce si existe un solo número perfecto impar. [1]
Declaración
Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios , los números que son menores que él y lo dividen uniformemente (con el resto cero).
Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman 6, por lo que 6 es perfecto. Un número primo de Mersenne es un número primo de la forma M p = 2 p - 1 ; para que un número de esta forma sea primo, p también debe ser primo. El teorema de Euclides-Euler establece que un número natural par es perfecto si y solo si tiene la forma 2 p −1 M p , donde M p es un número primo de Mersenne. [1]
Historia
Euclides demostró que 2 p −1 (2 p - 1) es un número perfecto par siempre que 2 p - 1 es primo (Euclides, Prop. IX.36). Este es el resultado final de la teoría de números en Elementos de Euclides ; los últimos libros de los Elementos, en cambio, se refieren a los números irracionales , la geometría sólida y la proporción áurea . Euclides expresa el resultado afirmando que si una serie geométrica finita que comienza en 1 con razón 2 tiene una suma prima P , entonces esta suma multiplicada por el último término T de la serie es perfecta. Expresado en estos términos, la suma P de la serie finita es el primo de Mersenne 2 p - 1 y el último término T de la serie es la potencia de dos 2 p −1 . Euclides demuestra que PT es perfecto al observar que la serie geométrica con razón 2 que comienza en P , con el mismo número de términos, es proporcional a la serie original; por lo tanto, dado que la serie original suma a P = 2 T - 1 , la segunda serie suma a P (2 T - 1) = 2 PT - P , y ambas series juntas suman 2 PT , dos veces el supuesto número perfecto. Sin embargo, estas dos series están separadas entre sí y (por la primacía de P ) agotan todos los divisores de PT , por lo que PT tiene divisores que suman 2 PT , lo que demuestra que es perfecto. [2]
Más de un milenio después de Euclides, Alhazen c. 1000 CE conjeturó que todo número perfecto par es de la forma 2 p −1 (2 p - 1) donde 2 p - 1 es primo, pero no pudo probar este resultado. [3]
No fue hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró que la fórmula 2 p −1 (2 p - 1) producirá todos los números perfectos pares. [1] [4] Por lo tanto, existe una relación de uno a uno entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne; cada prima de Mersenne genera un número perfecto par, y viceversa.
Prueba
La prueba de Euler es corta [1] y depende del hecho de que la función de suma de divisores σ es multiplicativa ; que es, si un y b son dos primos entre números enteros, entonces σ ( ab ) = σ ( un ) σ ( b ) . Para que esta fórmula sea válida, la suma de los divisores de un número debe incluir el número en sí, no solo los divisores adecuados. Un número es perfecto si y solo si su suma de divisores es el doble de su valor.
Suficiencia
Una dirección del teorema (la parte ya probada por Euclides) se sigue inmediatamente de la propiedad multiplicativa: cada primo de Mersenne da lugar a un número perfecto par. Cuando 2 p - 1 es primo,
Los divisores de 2 p −1 son 1, 2, 4, 8, ..., 2 p −1 . La suma de estos divisores es una serie geométrica cuya suma es 2 p - 1 . A continuación, como 2 p - 1 es primo, sus únicos divisores son 1 y él mismo, por lo que la suma de sus divisores es 2 p .
Combinando estos,
Por lo tanto, 2 p −1 (2 p - 1) es perfecto. [5] [6] [7]
Necesidad
En la otra dirección, suponga que se ha dado un número perfecto par, y factorícelo parcialmente como 2 k x , donde x es impar. Para que 2 k x sea perfecto, la suma de sus divisores debe ser el doble de su valor:
(∗)
El factor impar 2 k +1 - 1 en el lado derecho de (∗) es al menos 3, y debe dividir x , el único factor impar en el lado izquierdo, entonces y = x / (2 k +1 - 1) es un divisor propio de x . Dividiendo ambos lados de (*) por el factor común 2 k 1 - 1 y teniendo en cuenta los divisores conocidos x y y de x da
Para que esta igualdad sea cierta, no puede haber otros divisores. Por lo tanto, y debe ser 1 y x debe ser un número primo de la forma 2 k +1 - 1 . [5] [6] [7]
Referencias
- ^ a b c d Stillwell, John (2010), Matemáticas y su historia , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, p. 40, ISBN 9781441960528.
- ^ Euclid (1956), Los trece libros de los elementos, traducido con introducción y comentario de Sir Thomas L. Heath, vol. 2 (Libros III-IX) (2ª ed.), Dover, págs. 421–426.
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Euler, Leonhard (1849), "De numeris amicibilibus" [Sobre números amistosos], Commentationes arithmeticae (en latín), 2 , págs. 627–636. Leído originalmente en la Academia de Berlín el 23 de febrero de 1747 y publicado póstumamente. Ver en particular la sección 8, p. 88.
- ^ a b Gerstein, Larry (2012), Introducción a las estructuras y pruebas matemáticas, Textos de pregrado en matemáticas, Springer, Teorema 6.94, p. 339, ISBN 9781461442653.
- ^ a b Caldwell, Chris K., "Una prueba de que todos los números incluso perfectos son una potencia de dos veces un número primo de Mersenne" , Prime Pages , consultado el 2 de diciembre de 2014.
- ^ a b Travaglini, Giancarlo (2014), Teoría de números, análisis de Fourier y discrepancia geométrica , textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 81 , Cambridge University Press, págs. 26-27, ISBN 9781107044036.