En geometría , el teorema de la rotación de Euler establece que, en el espacio tridimensional , cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido tal que un punto en el cuerpo rígido permanece fijo, es equivalente a una sola rotación alrededor de algún eje que pasa por el punto fijo . También significa que la composición de dos rotaciones también es una rotación. Por lo tanto, el conjunto de rotaciones tiene una estructura de grupo, conocida como grupo de rotación .
El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo demostró en 1775 mediante geometría esférica . El eje de rotación se conoce como eje de Euler , típicamente representado por un vector unitario ê . Su producto por el ángulo de rotación se conoce como vector eje-ángulo . La extensión del teorema a la cinemática produce el concepto de eje instantáneo de rotación , una línea de puntos fijos.
En términos de álgebra lineal, el teorema establece que, en el espacio 3D, cualesquiera dos sistemas de coordenadas cartesianos con un origen común están relacionados por una rotación alrededor de algún eje fijo. Esto también significa que el producto de dos matrices de rotación es nuevamente una matriz de rotación y que para una matriz de rotación sin identidad , un valor propio es 1 y los otros dos son ambos complejos, o ambos iguales a -1. El vector propio correspondiente a este valor propio es el eje de rotación que conecta los dos sistemas.
Teorema de Euler (1776)
Euler establece el teorema de la siguiente manera: [1]
Teorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diámetro, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.
o (en inglés):
Cuando una esfera se mueve alrededor de su centro, siempre es posible encontrar un diámetro cuya dirección en la posición desplazada sea la misma que en la posición inicial.
Prueba
La demostración original de Euler se hizo usando geometría esférica y, por lo tanto, siempre que habla de triángulos, deben entenderse como triángulos esféricos .
Análisis previo
Para llegar a una demostración, Euler analiza cómo se vería la situación si el teorema fuera verdadero. Para ello, suponga que la línea amarilla de la Figura 1 pasa por el centro de la esfera y es el eje de rotación que buscamos, y el punto O es uno de los dos puntos de intersección de ese eje con la esfera. Luego se considera un gran círculo arbitrario que no contiene O (el círculo azul), y su imagen después de la rotación (el círculo rojo), que es otra gran círculo no contiene O . Él denomina un punto en su intersección como punto A . (Si los círculos coinciden, entonces A puede tomarse como cualquier punto en cualquiera de los dos; de lo contrario, A es uno de los dos puntos de intersección).
Ahora A está en el círculo inicial (el círculo azul), por lo que su imagen estará en el círculo transportado (rojo). Él etiqueta esa imagen como punto a . Dado que A también está en el círculo transportado (rojo), es la imagen de otro punto que estaba en el círculo inicial (azul) y etiqueta esa preimagen como α (ver Figura 2 ). Entonces él considera los dos arcos que unen α y una a una . Estos arcos tienen la misma longitud porque el arco αA se asigna al arco Aa . Además, dado que O es un punto fijo, el triángulo αOA se asigna al triángulo AOa , por lo que estos triángulos son isósceles y el arco AO biseca el ángulo ∠ αAa .
Construcción del mejor punto candidato
Construyamos un punto que podría ser invariante utilizando las consideraciones anteriores. Comenzamos con el gran círculo azul y su imagen bajo la transformación, que es el gran círculo rojo como en la Figura 1 . Sea el punto A un punto de intersección de esos círculos. Si A imagen ‘s bajo la transformación es el mismo punto, entonces A es un punto de la transformación fija, y puesto que el centro es también un punto fijo, el diámetro de la esfera que contiene A es el eje de rotación y el teorema queda demostrado.
De lo contrario etiquetamos Una imagen ‘s como una y su imagen inversa como α , y conectar estos dos puntos a una con arcos aA y Aa . Estos arcos tienen la misma longitud. Construya el gran círculo que biseca ∠ αAa y ubique el punto O en ese gran círculo de modo que los arcos AO y aO tengan la misma longitud, y llame a la región de la esfera que contiene O y delimitada por los grandes círculos azul y rojo el interior de ∠ αAa . (Es decir, la región amarilla en la Figura 3 ). Entonces, dado que αA = Aa y O está en la bisectriz de ∠ αAa , también tenemos αO = aO .
Prueba de su invariancia bajo la transformación.
Ahora supongamos que S ' es la imagen de O . Entonces sabemos que ∠ αAO = ∠ AaO ′ y la orientación se conserva, [a] por lo que O ′ debe ser interior a ∠ αAa . Ahora AO se transforma en aO ′ , entonces AO = aO ′ . Dado que AO también tiene la misma longitud que aO , ∠ AaO = ∠ aAO . Pero ∠ AAO = ∠ AAO ' , por lo ∠ AAO = ∠ AAO' y por lo tanto O ' es el mismo punto que O . En otras palabras, O es un punto fijo de la transformación, y dado que el centro también es un punto fijo, el diámetro de la esfera que contiene O es el eje de rotación.
Notas finales sobre la construcción
Euler también señala que O se puede encontrar al intersectar la bisectriz perpendicular de Aa con la bisectriz del ángulo de ∠ αAO , una construcción que podría ser más fácil en la práctica. También propuso la intersección de dos planos:
- el plano de simetría del ángulo ∠ αAa (que pasa por el centro C de la esfera), y
- el plano de simetría del arco Aa (que también pasa por C ).
- Proposición . Estos dos planos se cruzan en un diámetro. Este diámetro es el que estamos buscando.
- Prueba . Llamemos O a cualquiera de los extremos (hay dos) de este diámetro sobre la superficie de la esfera. Dado que αA está mapeado en Aa y los triángulos tienen los mismos ángulos, se deduce que el triángulo OαA se transporta al triángulo OAa . Por lo tanto, el punto O debe permanecer fijo bajo el movimiento.
- Corolarios . Esto también muestra que la rotación de la esfera puede verse como dos reflexiones consecutivas sobre los dos planos descritos anteriormente. Los puntos en un plano de espejo son invariantes bajo la reflexión y, por lo tanto, los puntos en su intersección (una línea: el eje de rotación) son invariantes bajo ambas reflexiones y, por lo tanto, bajo la rotación.
Otra forma sencilla de encontrar el eje de rotación está considerando el plano en el que los puntos alfa , A , una mentira. El eje de rotación es obviamente ortogonal a este plano y pasa por el centro C de la esfera.
Dado que para un cuerpo rígido cualquier movimiento que deja un eje invariante es una rotación, esto también prueba que cualquier composición arbitraria de rotaciones es equivalente a una sola rotación alrededor de un nuevo eje.
Prueba de matriz
Una rotación espacial es un mapa lineal en correspondencia uno-a-uno con un 3 × 3 rotación matriz R que transforma una de coordenadas del vector x en X , que es Rx = X . Por lo tanto, otra versión del teorema de Euler es que para cada rotación R , hay un vector n distinto de cero para el cual Rn = n ; esta es exactamente la afirmación de que n es un autovector de R asociado con el autovalor 1. Por lo tanto, es suficiente probar que 1 es un autovalor de R ; el eje de rotación de R será la línea μ n , donde n es el vector propio con valor propio 1.
Una matriz de rotación tiene la propiedad fundamental de que su inversa es su transpuesta, es decir
donde I es la matriz identidad de 3 × 3 y el superíndice T indica la matriz transpuesta.
Calcule el determinante de esta relación para encontrar que una matriz de rotación tiene un determinante ± 1. En particular,
Una matriz de rotación con determinante +1 es una rotación adecuada, y una con un determinante negativo -1 es una rotación incorrecta , es decir, una reflexión combinada con una rotación adecuada.
Ahora se mostrará que una matriz de rotación adecuada R tiene al menos un vector invariante n , es decir, Rn = n . Debido a que esto requiere que ( R - I ) n = 0 , vemos que el vector n debe ser un vector propio de la matriz R con valor propio λ = 1 . Por lo tanto, esto equivale a mostrar que det ( R - I ) = 0 .
Usa las dos relaciones
para cualquier matriz A de 3 × 3 y
(ya que det ( R ) = 1 ) para calcular
Esto muestra que λ = 1 es una raíz (solución) de la ecuación característica , es decir,
En otras palabras, la matriz R - I es singular y tiene un núcleo distinto de cero , es decir, hay al menos un vector distinto de cero, digamos n , para el cual
La línea μ n para μ real es invariante bajo R , es decir, μ n es un eje de rotación. Esto prueba el teorema de Euler.
Equivalencia de una matriz ortogonal a una matriz de rotación
Se dice que dos matrices (que representan mapas lineales) son equivalentes si hay un cambio de base que hace que una sea igual a la otra. Una matriz ortogonal adecuada siempre es equivalente (en este sentido) a la siguiente matriz oa su reflexión vertical:
Entonces, cualquier matriz ortogonal es una rotación o una rotación incorrecta . Una matriz ortogonal general tiene solo un valor propio real, ya sea +1 o -1. Cuando es +1, la matriz es una rotación. Cuando −1, la matriz es una rotación incorrecta.
Si R tiene más de un vector invariante entonces φ = 0 y R = Me . Cualquier vector es un vector invariante de la I .
Excursión a la teoría de matrices
Para probar la ecuación anterior, deben recordarse algunos hechos de la teoría de matrices.
Una matriz A m × m tiene m vectores propios ortogonales si y solo si A es normal , es decir, si A † A = AA † . [b] Este resultado equivale a afirmar que las matrices normales se pueden llevar a la forma diagonal mediante una transformación de similitud unitaria:
y U es unitario, es decir,
Los autovalores α 1 , ..., α m son raíces de la ecuación característica. Si la matriz A es unitaria (y tenga en cuenta que las matrices unitarias son normales), entonces
y se sigue que los valores propios de una matriz unitaria están en el círculo unitario en el plano complejo:
Además, una matriz ortogonal (unitaria real) tiene valores propios en el círculo unitario en el plano complejo. Además, dado que su ecuación característica (un polinomio de m ésimo orden en λ ) tiene coeficientes reales, se deduce que sus raíces aparecen en pares conjugados complejos, es decir, si α es una raíz, entonces también lo es α ∗ . Hay 3 raíces, por lo que al menos una de ellas debe ser puramente real (+1 o -1).
Después de recuerdo de estos hechos generales de la teoría de matrices, volvemos a la matriz de rotación R . De su realidad y ortogonalidad se deduce que podemos encontrar una U tal que:
Si se puede encontrar una matriz U que da la forma anterior, y solo hay un componente puramente real y es -1, entonces definimos R como una rotación impropia. Consideremos solamente el caso, entonces, de matrices R que son rotaciones propias (el tercer valor propio es solo 1). La tercera columna de la matriz U de 3 × 3 será entonces igual al vector invariante n . Escribiendo u 1 y u 2 para las dos primeras columnas de U , esta ecuación da
Si T 1 tiene valor propio 1, entonces φ = 0 y T 2 tiene también valor propio 1, lo que implica que en ese caso R = E .
Finalmente, la ecuación matricial se transforma mediante una matriz unitaria,
lo que da
Las columnas de U ′ son ortonormales. La tercera columna sigue siendo n , las otras dos columnas son perpendiculares an . Ahora podemos ver cómo nuestra definición de rotación incorrecta se corresponde con la interpretación geométrica: una rotación incorrecta es una rotación alrededor de un eje (aquí, el eje correspondiente a la tercera coordenada) y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. Si solo nos limitamos a matrices con determinante 1, podemos ver que deben ser rotaciones propias. Este resultado implica que cualquier matriz ortogonal R correspondiente a una rotación adecuada es equivalente a una rotación sobre un ángulo φ alrededor de un eje n .
Clases de equivalencia
La traza (suma de elementos diagonales) de la matriz de rotación real dada arriba es 1 + 2 cos φ . Dado que una traza es invariante bajo una transformación de semejanza de matriz ortogonal,
se deduce que todas las matrices que son equivalentes a R por tales transformaciones matriciales ortogonales tienen la misma traza: la traza es una función de clase . Esta transformación matricial es claramente una relación de equivalencia , es decir, todas estas matrices equivalentes forman una clase de equivalencia.
De hecho, todas las matrices de rotación 3 × 3 de rotación propia forman un grupo , generalmente denotado por SO (3) (el grupo ortogonal especial en 3 dimensiones) y todas las matrices con la misma traza forman una clase de equivalencia en este grupo. Todos los elementos de dicha clase de equivalencia comparten su ángulo de rotación , pero todas las rotaciones giran alrededor de diferentes ejes. Si n es un vector propio de R con valor propio 1, entonces An es también un vector propio de ARA T , también con valor propio 1. A menos que A = I , n y An sean diferentes.
Aplicaciones
Generadores de rotaciones
Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x , y , z ] , y supongamos que tenemos una rotación infinitamente pequeña de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita y tomando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:
Una rotación finita a través del ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximando Δ θ comoθ/nortedonde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje se puede representar como:
Puede verse que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto A θ es el "generador" de la rotación en particular, siendo el vector ( x , y , z ) asociado con la matriz A . Esto muestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.
Uno puede derivar una expresión sencilla para el generador G . Se empieza con un plano arbitrario (en el espacio euclidiano) definido por un par de unidad perpendicular vectores de una y b . En este plano se puede elegir un vector x arbitrario con y perpendicular . Uno entonces resuelve para y en términos de x y sustituyendo en una expresión para una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba T - ab T .
Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que dividen el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial .
El análisis suele ser más fácil en términos de estos generadores, en lugar de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como álgebra de Lie del grupo de rotación.
Cuaterniones
Se deduce del teorema de Euler que la orientación relativa de cualquier par de sistemas de coordenadas puede especificarse mediante un conjunto de tres números independientes. A veces, se agrega un cuarto número redundante para simplificar las operaciones con álgebra de cuaterniones. Tres de estos números son los cosenos de dirección que orientan el vector propio. El cuarto es el ángulo alrededor del vector propio que separa los dos conjuntos de coordenadas. Este conjunto de cuatro números se llama cuaternión .
Si bien el cuaternión, como se describió anteriormente, no involucra números complejos , si los cuaterniones se usan para describir dos rotaciones sucesivas, deben combinarse usando el álgebra de cuaterniones no conmutativa derivada por William Rowan Hamilton mediante el uso de números imaginarios.
El cálculo de rotación a través de cuaterniones ha llegado a reemplazar el uso de cosenos de dirección en aplicaciones aeroespaciales mediante la reducción de los cálculos requeridos y su capacidad para minimizar los errores de redondeo . Además, en los gráficos por ordenador es valiosa la capacidad de realizar interpolaciones esféricas entre cuaterniones con relativa facilidad.
Generalizaciones
En dimensiones superiores, cualquier movimiento rígido que conserva un punto en la dimensión 2 n o 2 n + 1 es una composición de como máximo n rotaciones en planos ortogonales de rotación , aunque estos planos no necesitan ser determinados de forma única, y un movimiento rígido puede fijar múltiples ejes.
Un movimiento rígido en tres dimensiones que no necesariamente fija un punto es un "movimiento de tornillo". Esto se debe a que una composición de una rotación con una traslación perpendicular al eje es una rotación alrededor de un eje paralelo, mientras que una composición con una traslación paralela al eje produce un movimiento de tornillo; ver eje de tornillo . Esto da lugar a la teoría del tornillo .
Ver también
- Ángulos de Euler
- Parámetros de Euler-Rodrigues
- Formalismos de rotación en tres dimensiones
- Operador de rotación (espacio vectorial)
- Velocidad angular
- Rotación alrededor de un eje fijo
- Matriz exponencial
- Representación eje-ángulo
- Grupo de rotación 3D
- Teorema de Chasles (cinemática) , para una extensión relativa a los desplazamientos generales de cuerpos rígidos.
Notas
- ^ La orientación se conserva en el sentido de que si αA se gira alrededor de A en sentido antihorario para alinearse con Oa , entonces Aa se debe girar alrededor de a en sentido antihorario para alinearse con O′a . Del mismo modo, si las rotaciones son en el sentido de las agujas del reloj.
- ^ El símbolo de la daga † significa conjugación compleja seguida de transposición. En el caso de las matrices reales, la conjugación compleja no hace nada y dagar una matriz real es lo mismo que transponerla.
Referencias
- ^ Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, págs. 189-207 (E478)
- Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Teorema de Euler (rotación) ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .
- El teorema de Euler y su demostración se encuentran en los párrafos 24-26 del apéndice ( Additamentum . Pp. 201-203) de L. Eulero (Leonhard Euler) , Formulas generales pro translatione quacunque corporum rigidorum (Fórmulas generales para la traducción de cuerpos rígidos arbitrarios ), presentado en la Academia de San Petersburgo el 9 de octubre de 1775, y publicado por primera vez en Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20 , 1776, págs. 189-207 (E478) y reimpreso en Theoria motus corporum rigidorum , ed. nova, 1790, págs. 449–460 (E478a) y más tarde en sus obras completas Opera Omnia , Serie 2, Volumen 9 , págs. 84–98.
- Palais, Bob; Palais, Richard; Rodi, Stephen (2009). "Una mirada desorientadora al teorema de Euler en el eje de una rotación". American Mathematical Monthly . 116 (10): 892–909. doi : 10.4169 / 000298909x477014 .
enlaces externos
- Tratado original de Euler en The Euler Archive : entrada en E478 , primera publicación 1776 ( pdf )
- Texto original de Euler (en latín) y traducción al inglés (por Johan Sten)
- Proyecto de demostración Wolfram para el teorema de rotación de Euler (por Tom Verhoeff)