En teoría de números , la función totient de Euler recuento de los números enteros positivos de hasta un determinado número entero n que son primos entre sí a n . Está escrito usando la letra griega phi como o , y también puede llamarse función phi de Euler . En otras palabras, es el número de enteros k en el rango 1 ≤ k ≤ n para el cual el máximo común divisor mcd ( n , k ) es igual a 1. [2] [3] Los enteros k de esta forma son a veces referidos como derivados de n .
Por ejemplo, los totales de n = 9 son los seis números 1, 2, 4, 5, 7 y 8. Todos son primos relativos a 9, pero los otros tres números en este rango, 3, 6 y 9 no son , ya que mcd (9, 3) = mcd (9, 6) = 3 y mcd (9, 9) = 9 . Por lo tanto, φ (9) = 6 . Como otro ejemplo, φ (1) = 1 ya que para n = 1 el único número entero en el rango de 1 an es 1 en sí mismo, y mcd (1, 1) = 1 .
Función totient de Euler es una función multiplicativa , lo que significa que si dos números m y n son relativamente primo, entonces φ ( mn ) = φ ( m ) φ ( n ) . [4] [5] Esta función da el orden del grupo multiplicativo de números enteros módulo n (el grupo de unidades del anillo ). [6] También se utiliza para definir el sistema de cifrado RSA .
Historia, terminología y notación
Leonhard Euler introdujo la función en 1763. [7] [8] [9] Sin embargo, en ese momento no eligió ningún símbolo específico para denotarlo. En una publicación de 1784, Euler estudió la función más a fondo, eligiendo la letra griega π para denotarla: escribió πD para "la multitud de números menores que D , y que no tienen ningún divisor común". [10] Esta definición varía de la definición actual para la función totient en D = 1 pero por lo demás es la misma. La notación ahora estándar [8] [11] φ ( A ) proviene del tratado Disquisitiones Arithmeticae de 1801 de Gauss , [12] [13] aunque Gauss no usó paréntesis alrededor del argumento y escribió φA . Por lo tanto, a menudo se le llama función phi de Euler o simplemente función phi .
En 1879, JJ Sylvester acuñó el término totient para esta función, [14] [15] por lo que también se la conoce como función totient de Euler , totient de Euler o totient de Euler . El totient de Jordan es una generalización del de Euler.
El cototiente de n se define como n - φ ( n ) . Cuenta el número de enteros positivos menores o iguales an que tienen al menos un factor primo en común con n .
Calcular la función totient de Euler
Hay varias fórmulas para calcular φ ( n ) .
Fórmula de producto de Euler
Afirma
donde el producto está sobre los distintos números primos que dividen n . (Para la notación, consulte Función aritmética ).
Una formulación equivalente para , dónde son los primos distintos que dividen n , es:
Phi es una función multiplicativa
Esto significa que si mcd ( m , n ) = 1 , entonces φ ( m ) φ ( n ) = φ ( mn ) . Esquema de prueba: Sean A , B , C los conjuntos de enteros positivos que son coprimos ay menores que m , n , mn , respectivamente, de modo que | A | = φ ( m ) , etc. Entonces hay una biyección entre A × B y C por el teorema del resto chino .
Valor de phi para un argumento de potencia primaria
Si p es primo y k ≥ 1 , entonces
Prueba : dado que p es un número primo, los únicos valores posibles de mcd ( p k , m ) son 1, p , p 2 , ..., p k , y la única forma de tener mcd ( p k , m )> 1 es si m es un múltiplo de p , es decir, m = p , 2 p , 3 p , ..., p k - 1 p = p k , y hay p k - 1 tales múltiplos menores que p k . Por lo tanto, los otros números p k - p k - 1 son todos relativamente primos de p k .
Prueba de la fórmula del producto de Euler
El teorema fundamental de la aritmética establece que si n > 1 hay una expresión únicadonde p 1 < p 2 <... < p r son números primos y cada k i ≥ 1 . (El caso n = 1 corresponde al producto vacío). El uso repetido de la propiedad multiplicativa de φ y la fórmula para φ ( p k ) da
Esto da ambas versiones de la fórmula del producto de Euler.
Una prueba alternativa que no requiere la propiedad multiplicativa utiliza el principio de inclusión-exclusión aplicado al conjunto, excluyendo los conjuntos de números enteros divisibles por los divisores primos.
Ejemplo
En palabras: los distintos factores primos de 20 son 2 y 5; la mitad de los veinte números enteros del 1 al 20 son divisibles por 2, dejando diez; una quinta parte de ellos es divisible entre 5, dejando ocho números coprimidos a 20; estos son: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.
La fórmula alternativa usa solo números enteros:
Transformada de Fourier
El totient es la transformada discreta de Fourier del mcd , evaluada en 1. [16] Sea
donde x k = mcd ( k , n ) para k ∈ {1,…, n } . Luego
La parte real de esta fórmula es
Por ejemplo, usando y :
Suma del divisor
La propiedad establecida por Gauss, [17] que
donde la suma está sobre todos los divisores positivos d de n , se puede probar de varias formas. (Consulte Función aritmética para conocer las convenciones de notación).
Una prueba es observar que φ ( d ) también es igual al número de posibles generadores del grupo cíclico C d ; específicamente, si C d = ⟨ g ⟩ con g d = 1 , entonces g k es un generador para cada k primos entre sí a d . Dado que cada elemento de C n genera un subgrupo cíclico , y todos los subgrupos C d ⊆ C n son generados precisamente por φ ( d ) elementos de C n , la fórmula sigue. [18] De manera equivalente, la fórmula puede derivarse mediante el mismo argumento aplicado al grupo multiplicativo de las raíces n - ésimas de la unidad y las raíces d- ésimas primitivas de la unidad.
La fórmula también se puede derivar de la aritmética elemental. [19] Por ejemplo, sea n = 20 y considere las fracciones positivas hasta 1 con denominador 20:
Ponlos en términos más bajos:
Estas veinte fracciones son todas positivas k/D≤ 1 cuyos denominadores son los divisores d = 1, 2, 4, 5, 10, 20 . Las fracciones con 20 como denominador son aquellas con numeradores relativamente primos a 20, es decir 1/20, 3/20, 7/20, 9/20, 11/20, 13/20, 17/20, 19/20; por definición esto es φ (20) fracciones. Del mismo modo, hay varphi (10) fracciones con denominador 10, y φ (5) fracciones con denominador 5, etc. Por lo tanto el conjunto de veinte fracciones se divide en subconjuntos de tamaño φ ( d ) para cada d divisorias 20. Un argumento similar aplica para cualquier n.
La inversión de Möbius aplicada a la fórmula de la suma del divisor da
donde μ es la función de Möbius , la función multiplicativa definida por y para cada primo p y k ≥ 1 . Esta fórmula también puede derivarse de la fórmula del producto multiplicando Llegar
Un ejemplo:
Algunos valores
Los primeros 100 valores (secuencia A000010 en el OEIS ) se muestran en la tabla y el gráfico siguientes:
φ ( n ) para 1 ≤ n ≤ 100 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 10 4 12 6 8 8 dieciséis 6 18 8 20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 30 dieciséis 20 dieciséis 24 12 36 18 24 dieciséis 40 40 12 42 20 24 22 46 dieciséis 42 20 50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 dieciséis 60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32 80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40
En el gráfico de la derecha, la línea superior y = n - 1 es un límite superior válido para todos los n distintos de uno, y se obtiene si y solo si n es un número primo. Un límite inferior simple es, que es bastante flexible: de hecho, el límite inferior del gráfico es proporcional anorte/log log n. [20]
Teorema de euler
Esto establece que si a y n son primos relativos, entonces
El caso especial donde n es primo se conoce como el pequeño teorema de Fermat .
Esto se sigue del teorema de Lagrange y del hecho de que φ ( n ) es el orden del grupo multiplicativo de números enteros módulo n .
El criptosistema RSA se basa en este teorema: implica que la inversa de la función a ↦ a e mod n , donde e es el exponente de cifrado (público), es la función b ↦ b d mod n , donde d , el (privado ) exponente de descifrado, es el inverso multiplicativo de e módulo φ ( n ) . La dificultad de calcular φ ( n ) sin conocer la factorización de n es, por tanto, la dificultad de calcular d : esto se conoce como el problema RSA que se puede resolver factorizando n . El propietario de la clave privada conoce la factorización, ya que una clave privada RSA se construye eligiendo n como el producto de dos números primos grandes p y q (elegidos al azar) . Solo n se divulga públicamente, y dada la dificultad de factorizar números grandes, tenemos la garantía de que nadie más conoce la factorización.
Otras fórmulas
-
Tenga en cuenta los casos especiales
-
Compare esto con la fórmula
- φ ( n ) es par para n ≥ 3 . Además, si n tiene r factores primos impares distintos, 2 r | φ ( n )
- Para cualquier a > 1 y n > 6 tal que 4 ∤ n existe un l ≥ 2 n tal que l | φ ( una n - 1) .
-
donde rad ( n ) es el radical de n (el producto de todos los primos distintos que dividen n ).
- [21]
- ( [22] citado en [23] )
- [22]
- [24]
- [24]
(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ).
-
donde m > 1 es un número entero positivo y ω ( m ) es el número de factores primos distintos de m . [25]
Identidad de Menon
En 1965 P. Kesava Menon demostró
donde d ( n ) = σ 0 ( n ) es el número de divisores de n .
Fórmulas que involucran la proporción áurea
Schneider [26] encontró un par de identidades que conectan la función totient, la proporción áurea y la función de Möbius μ ( n ) . En esta sección φ ( n ) es la función totient, y ϕ = 1 + √ 5/2= 1.618… es la proporción áurea.
Ellos son:
y
Restarlos da
Al aplicar la función exponencial a ambos lados de la identidad anterior se obtiene una fórmula de producto infinito para e :
La prueba se basa en las dos fórmulas.
Funciones generadoras
La serie de Dirichlet para φ ( n ) se puede escribir en términos de la función zeta de Riemann como: [27]
La función generadora de la serie de Lambert es [28]
que converge para | q | <1 .
Ambos se prueban mediante manipulaciones de series elementales y las fórmulas para φ ( n ) .
Tasa de crecimiento
En palabras de Hardy & Wright, el orden de φ ( n ) es "siempre 'casi n '". [29]
Primero [30]
pero a medida que n llega al infinito, [31] para todo δ > 0
Estas dos fórmulas se pueden probar usando poco más que las fórmulas para φ ( n ) y la función de suma del divisor σ ( n ) .
De hecho, durante la prueba de la segunda fórmula, la desigualdad
verdadero para n > 1 , se demuestra.
También tenemos [20]
Aquí γ es la constante de Euler , γ = 0,577215665 ... , por lo que e γ = 1,7810724 ... y E - γ = 0,56145948 ... .
Demostrar esto no requiere del teorema de los números primos . [32] [33] Dado que log log n va al infinito, esta fórmula muestra que
De hecho, más es verdad. [34] [35] [36]
y
La segunda desigualdad la mostró Jean-Louis Nicolas . Ribenboim dice: "El método de prueba es interesante, ya que la desigualdad se muestra primero bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera, en segundo lugar bajo el supuesto contrario". [36]
Para el pedido promedio, tenemos [22] [37]
debido a Arnold Walfisz , su prueba explota estimaciones sobre sumas exponenciales debidas a IM Vinogradov y NM Korobov (esta es actualmente la estimación más conocida de este tipo). La "Gran O " representa una cantidad que está acotada por una constante multiplicada por la función de n dentro del paréntesis (que es pequeña en comparación con n 2 ).
Este resultado puede usarse para probar [38] que la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean primos relativos es 6/π 2.
Razón de valores consecutivos
En 1950 Somayajulu demostró [39] [40]
En 1954 Schinzel y Sierpiński reforzaron esto, demostrando [39] [40] que el conjunto
es denso en los números reales positivos. También demostraron [39] que el conjunto
es denso en el intervalo (0,1).
Totient números
Un número totient es un valor de la función totient de Euler: es decir, una m para la cual hay al menos una n para la cual φ ( n ) = m . La valencia o multiplicidad de un número total m es el número de soluciones de esta ecuación. [41] Un no paciente es un número natural que no es un número total. Todo número entero impar que exceda de 1 es trivialmente un no sensible. También hay un número infinito de pares incluso no sensibles, [42] y, de hecho, todo entero positivo tiene un múltiplo que es un par no sensible. [43]
El número de números totales hasta un límite dado x es
para una constante C = 0.8178146 ... . [44]
Si se cuenta de acuerdo con la multiplicidad, el número de números totales hasta un límite dado x es
donde el término de error R es de orden como máximoX/(log x ) kpara cualquier k positivo . [45]
Se sabe que la multiplicidad de m excede m δ infinitamente a menudo para cualquier δ <0.55655 . [46] [47]
Teorema de Ford
Ford (1999) demostró que para todo entero k ≥ 2 hay un número total m de multiplicidad k : es decir, para el cual la ecuación φ ( n ) = m tiene exactamente k soluciones; este resultado había sido previamente conjeturado por Wacław Sierpiński , [48] y se había obtenido como consecuencia de la hipótesis H de Schinzel . [44] De hecho, cada multiplicidad que se produce, lo hace infinitamente a menudo. [44] [47]
Sin embargo, no se conoce ningún número m con multiplicidad k = 1 . La conjetura de la función totient de Carmichael es el enunciado de que no existe tal m . [49]
Números perfectos para los pacientes
Aplicaciones
Ciclotomía
En la última sección de las Disquisitiones [50] [51] Gauss demuestra [52] que un n -gon regular se puede construir con regla y compás si φ ( n ) es una potencia de 2. Si n es una potencia de un impar número primo la fórmula para el totient dice que su totient puede ser una potencia de dos solo si n es una primera potencia y n - 1 es una potencia de 2. Los primos que son uno más que una potencia de 2 se llaman primos de Fermat , y sólo se conocen cinco: 3, 5, 17, 257 y 65537. Fermat y Gauss los conocían. Nadie ha podido probar si hay más.
Por lo tanto, un n -gon regular tiene una construcción de regla y compás si n es un producto de distintos primos de Fermat y cualquier potencia de 2. Los primeros n son [53]
- 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, ... (secuencia A003401 en la OEIS ).
El criptosistema RSA
Configuración de un sistema RSA consiste en elegir números primos grandes p y q , el cálculo de n = pq y k = φ ( n ) , y la búsqueda de dos números e y d tal que ed ≡ 1 (mod k ) . Los números n y e (la "clave de cifrado") se dan a conocer al público, y d (la "clave de descifrado") se mantiene en privado.
Un mensaje, representado por un entero m , donde 0 < m < n , se cifra calculando S = m e (mod n ) .
Se descifra calculando t = S d (mod n ) . El teorema de Euler se puede utilizar para demostrar que si 0 < t < n , entonces t = m .
La seguridad de un sistema RSA se vería comprometida si el número n pudiera factorizarse o si φ ( n ) pudiera calcularse sin factorizar n .
Problemas no resueltos
Conjetura de Lehmer
Si p es primo, entonces φ ( p ) = p - 1 . En 1932, DH Lehmer preguntó si hay números compuestos n tales que φ ( n ) divida n - 1 . No se conoce ninguno. [54]
En 1933 demostró que si existe alguna n , debe ser impar, sin cuadrados y divisible por al menos siete números primos (es decir, ω ( n ) ≥ 7 ). En 1980 Cohen y Hagis demostraron que n > 10 20 y que ω ( n ) ≥ 14 . [55] Además, Hagis mostró que si 3 divide n, entonces n > 10 1937042 y ω ( n ) ≥ 298848 . [56] [57]
Conjetura de Carmichael
Esto establece que no hay un número n con la propiedad de que para todos los demás números m , m ≠ n , φ ( m ) ≠ φ ( n ) . Vea el teorema de Ford arriba.
Como se indica en el artículo principal, si hay un solo contraejemplo para esta conjetura, debe haber infinitos contraejemplos, y el más pequeño tiene al menos diez mil millones de dígitos en base 10. [41]
Ver también
- Función de Carmichael
- Conjetura de Duffin-Schaeffer
- Generalizaciones del pequeño teorema de Fermat
- Número altamente compuesto
- Grupo multiplicativo de enteros módulo n
- Suma de Ramanujan
- Función sumatoria totiente
Notas
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Referencias
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enlaces externos
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- Función Phi de Euler y el teorema del residuo chino: prueba de que φ ( n ) es multiplicativo
- Calculadora de función totient de Euler en JavaScript: hasta 20 dígitos
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