En matemáticas , la fórmula de Euler-Maclaurin es una fórmula para la diferencia entre una integral y una suma estrechamente relacionada . Se puede utilizar para aproximar integrales mediante sumas finitas o, a la inversa, para evaluar sumas finitas y series infinitas utilizando integrales y la maquinaria del cálculo . Por ejemplo, muchas expansiones asintóticas se derivan de la fórmula, y la fórmula de Faulhaber para la suma de potencias es una consecuencia inmediata.
La fórmula fue descubierta independientemente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin alrededor de 1735. Euler la necesitaba para calcular series infinitas que convergen lentamente, mientras que Maclaurin la usaba para calcular integrales. Más tarde se generalizó a la fórmula de Darboux .
(ver método de rectángulo ). La fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresiones para la diferencia entre la suma y la integral en términos de las derivadas superiores evaluado en los puntos finales del intervalo, es decir, cuando y .
dónde es el número de Bernoulli (con ) y es un término de error que depende de , , , y y suele ser pequeño para valores adecuados de .
La fórmula a menudo se escribe con el subíndice tomando solo valores pares, ya que los números impares de Bernoulli son cero excepto por . En este caso tenemos [1] [2]
o alternativamente
El término restante
El término restante surge porque la integral generalmente no es exactamente igual a la suma. La fórmula se puede derivar aplicando integración repetida por partes a intervalos sucesivos. por . Los términos de frontera en estas integraciones conducen a los términos principales de la fórmula, y las integrales sobrantes forman el término restante.
El término restante tiene una expresión exacta en términos de las funciones de Bernoulli periodizadas. . Los polinomios de Bernoulli se pueden definir de forma recursiva por y para ,
Las funciones de Bernoulli periodizadas se definen como
dónde denota el entero más grande menor o igual que , así que eso siempre se encuentra en el intervalo .
Con esta notación, el término restante es igual a
Cuándo , se puede demostrar que
dónde denota la función zeta de Riemann ; un enfoque para probar esta desigualdad es obtener la serie de Fourier para los polinomios . El límite se logra incluso Cuándo es cero. El termino puede omitirse por impares pero la prueba en este caso es más compleja (ver Lehmer). [3] Usando esta desigualdad, el tamaño del término restante se puede estimar como
Casos de bajo orden
Los números de Bernoulli de a están Por lo tanto, los casos de orden inferior de la fórmula de Euler-Maclaurin son:
Euler calculó esta suma a 20 lugares decimales con sólo unos pocos términos de la fórmula de Euler-Maclaurin en 1735. Esto probablemente lo convenció de que la suma es igual a , que probó en el mismo año. [4]
Sumas que involucran un polinomio
Si es un polinomio yes lo suficientemente grande, entonces el término restante desaparece. Por ejemplo, si, podemos elegir para obtener, después de la simplificación,
Aproximación de integrales
La fórmula proporciona un medio para aproximar una integral finita. Dejarser los puntos finales del intervalo de integración. Reparar, el número de puntos a usar en la aproximación, y denotar el tamaño de paso correspondiente por . Colocar, así que eso y . Entonces: [5]
Esto puede verse como una extensión de la regla del trapezoide mediante la inclusión de términos de corrección. Tenga en cuenta que esta expansión asintótica no suele ser convergente; hay algunos, dependiendo y , de modo que los términos orden anterior aumentar rápidamente. Por lo tanto, el término restante generalmente exige mucha atención. [5]
En el contexto del cálculo de expansiones asintóticas de sumas y series , generalmente la forma más útil de la fórmula de Euler-Maclaurin es
dónde y son enteros. [6] A menudo, la expansión sigue siendo válida incluso después de tomar los límites o o ambos. En muchos casos, la integral del lado derecho se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales , aunque la suma del lado izquierdo no puede. Entonces, todos los términos de la serie asintótica se pueden expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo,
Aquí el lado izquierdo es igual a , a saber, la función poligámica de primer orden definida por; la función gamma es igual a Si es un número entero positivo . Esto da como resultado una expansión asintótica para. Esa expansión, a su vez, sirve como punto de partida para una de las derivaciones de estimaciones de error precisas para la aproximación de Stirling de la función factorial .
Ejemplos de
Si s es un número entero mayor que 1 tenemos:
Al reunir las constantes en un valor de la función zeta de Riemann , podemos escribir una expansión asintótica:
Para s igual a 2 esto se simplifica a
o
Cuando s = 1 , la técnica correspondiente da una expansión asintótica para los números armónicos :
dónde es la constante de Euler-Mascheroni .
Pruebas
Derivación por inducción matemática
Esbozamos el argumento dado en Apostol. [1]
Los polinomios de Bernoulli B n ( x ) y las funciones periódicas de Bernoulli P n ( x ) para n = 0, 1, 2, ... se introdujeron anteriormente.
Los primeros polinomios de Bernoulli son
Los valores B n (0) son los números de Bernoulli B n . Observe que para n ≠ 1 tenemos
y para n = 1 ,
Las funciones P n concuerdan con los polinomios de Bernoulli en el intervalo [0, 1] y son periódicas con el período 1. Además, excepto cuando n = 1 , también son continuas. Por lo tanto,
Sea k un número entero y considere la integral
dónde
Integrando por partes , obtenemos
Utilizando , , y sumando lo anterior de k = 0 a k = n - 1 , obtenemos
Sumando ( f ( n ) - f (0)) / 2 a ambos lados y reorganizando, tenemos
Este es el caso p = 1 de la fórmula de suma. Para continuar la inducción, aplicamos integración por partes al término de error:
dónde
El resultado de la integración por partes es
La suma de k = 0 a k = n - 1 y la sustitución del término de error de orden inferior da como resultado el caso p = 2 de la fórmula,
Este proceso se puede iterar. De esta manera obtenemos una prueba de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin que se puede formalizar por inducción matemática , en la que el paso de inducción se basa en la integración por partes y en identidades para funciones periódicas de Bernoulli.
Ver también
Suma cesàro
Suma de Euler
Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod
Fórmula de Darboux
Suma de Euler-Boole
Referencias
↑ a b Apostol, TM (1 de mayo de 1999). "Una vista elemental de la fórmula de suma de Euler". The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 106 (5): 409–418. doi : 10.2307 / 2589145 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589145 .
^"Biblioteca digital de funciones matemáticas: sumas y secuencias" . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología .
^Lehmer, DH (1940). "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli". The American Mathematical Monthly . 47 (8): 533–538. doi : 10.2307 / 2303833 . JSTOR 2303833 .
^Pengelley, David J. (2007). "Danzas entre continuas y discretas: fórmula de suma de Euler". Euler en 300 . Espectro MAA. Washington, DC: Asociación Matemática de América. págs. 169-189. arXiv : 1912.03527 . Señor 2349549 .
^ a bDevries, Paul L .; Hasbrun, Javier E. (2011). Un primer curso de física computacional (2ª ed.). Jones y Bartlett Publishers. pag. 156.
^Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover . págs. 16, 806, 886. ISBN 978-0-486-61272-0.
Otras lecturas
Gould, HW; Squire, William (1963). "Segunda fórmula de Maclaurin y su generalización". Amer. Matemáticas. Mensual . 70 (1): 44–52. doi : 10.2307 / 2312783 . JSTOR 2312783 . Señor 0146551 .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2002). "Introducción a los números de Bernoulli" .
Martensen, Erich (2005). "Sobre la fórmula generalizada de Euler-Maclaurin". Z. Angew. Matemáticas. Mech . 85 (12): 858–863. doi : 10.1002 / zamm.200410217 . Señor 2184846 .
Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . págs. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Fórmulas de integración de Euler-Maclaurin" . MathWorld .