La constante de Euler-Mascheroni (también llamada constante de Euler ) es una constante matemática recurrente en el análisis y la teoría de números , generalmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ).

Se define como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural :
Aquí, representa la función de piso .
El valor numérico de la constante de Euler-Mascheroni, con 50 decimales, es: [1]
- 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ...
¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?
Binario | 0.1001 0011 1100 0100 0110 0111 1110 0011 0111 1101 ... |
Decimal | 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 ... |
Hexadecimal | 0.93C4 67E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 0152 CB56 A1CE CC3A ... |
Fracción continua | [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...] [2] (No se sabe si este fracción continua es finita , infinita periódica o infinita no periódica. Se muestra en notación lineal ) |
Historia
La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observaciónes (Eneström Index 43). Euler usó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior quizás debido a la conexión de la constante con la función gamma . [3] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider usó la notación γ en 1835 γ_=_
Apariciones
La constante de Euler-Mascheroni aparece, entre otros lugares, en lo siguiente ('*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):
- Expresiones que involucran la integral exponencial *
- La transformada de Laplace * del logaritmo natural
- El primer término de la expansión de la serie Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
- Cálculos de la función digamma
- Una fórmula de producto para la función gamma.
- La expansión asintótica de la función gamma para pequeños argumentos.
- Una desigualdad para la función totient de Euler
- La tasa de crecimiento de la función divisor.
- En la regularización dimensional de los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos
- El cálculo de la constante de Meissel-Mertens
- El tercero de los teoremas de Mertens *
- Solución del segundo tipo a la ecuación de Bessel
- En la regularización / renormalización de la serie armónica como valor finito
- La media de la distribución de Gumbel
- La entropía de información de las distribuciones de Weibull y Lévy e, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
- La respuesta al problema del cobrador de cupones *
- En algunas formulaciones de la ley de Zipf
- Una definición de la integral del coseno *
- Límites inferiores a un espacio principal
- Un límite superior en la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica [6]
Propiedades
No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . Utilizando un análisis de fracciones continuo , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 244663 . [7] [8] La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones a continuación hace que la irracionalidad de γ sea una cuestión abierta importante en matemáticas. [9]
Sin embargo, se lograron algunos avances. Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental (aquí, y son funciones de Bessel ). [10] [3] En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de la constante de Euler-Mascheroni γ y la constante de Euler-Gompertz δ es irracional. [11] Este resultado fue mejorado en 2012 por Tanguy Rivoal, quien demostró que al menos uno de ellos es trascendental. [12] [3]
En 2010 M. Ram Murty y N. Saradha consideraron una lista infinita de números que contienenγ/4y demostró que todos menos uno de ellos son trascendentales. [3] [13] En 2013 M. Ram Murty y A. Zaytseva volvieron a considerar una lista infinita de números que contienen γ y demostraron que todos menos uno son trascendentales. [3] [14] [ aclaración necesaria ]
Relación con la función gamma
γ está relacionado con la función digamma Ψ , y por lo tanto la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Así:
Esto es igual a los límites:
Otros resultados límite son: [15]
Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es
Relación con la función zeta
γ también se puede expresar como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:
Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:
El término de error en la última ecuación es una función rápidamente decreciente de n . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante a alta precisión.
Otros límites interesantes que igualan la constante de Euler-Mascheroni son el límite antisimétrico: [16]
y la fórmula de la Vallée-Poussin
dónde son soportes de techo .
Estrechamente relacionada con esto está la expresión de la serie zeta racional . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:
donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H n . Al expandir algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz, se obtiene:
donde 0 < ε < 1/252 n 6.
γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante Glaisher-Kinkelin :
γ también se puede expresar de la siguiente manera, que se puede probar expresando la función zeta como una serie de Laurent :
Integrales
γ es igual al valor de varias integrales definidas :
donde H x es el número armónico fraccionario .
Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen:
Se puede expresar γ usando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble [9] [17] con series equivalentes:
Una comparación interesante de Sondow [17] es la serie doble integral y alterna
Demuestra que en 4/π puede pensarse como una "constante de Euler alterna".
Las dos constantes también están relacionadas por el par de series [18]
donde N 1 ( n ) y N 0 ( n ) son el número de unos y ceros, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .
También tenemos la integral catalana de 1875 [19]
Expansiones de series
En general,
para cualquier . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de. En particular, exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional . [20] [21] Esto se debe a
tiempo
Aun así, existen otras expansiones de series que convergen más rápidamente que esta; Algunos de éstos se discuten a continuación.
Euler mostró que la siguiente serie infinita se aproxima a γ :
La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: [15] [22]
En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada [23] [24] [25] [26] [27] [15] [28]
donde log 2 es el logaritmo en base 2 y ⌊ ⌋ es la función de piso .
En 1926 encontró una segunda serie:
De la expansión de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma [29] obtenemos:
Una expansión importante de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni
donde G n son los coeficientes de Gregory [15] [28] [30] Esta serie es el caso especial de las expansiones
convergente para
Una serie similar con los números de Cauchy del segundo tipo C n es [28] [31]
Blagouchine (2018) encontró una interesante generalización de la serie Fontana-Mascheroni
donde ψ n ( a ) son los polinomios de Bernoulli del segundo tipo , que están definidos por la función generadora
Para cualquier racional una esta serie contiene sólo términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en [32] [33]
Otras series con los mismos polinomios incluyen estos ejemplos:
y
donde Γ ( a ) es la función gamma . [30]
Una serie relacionada con el algoritmo Akiyama-Tanigawa es
donde G n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. [30]
Serie de números primos :
Expansiones asintóticas
γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H n es el n- ésimo número armónico ):
- ( Euler )
- ( Negoi )
- ( Cesàro )
La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan .
Alabdulmohsin derivó expresiones de forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. [31] Mostró que (Teorema A.1):
Exponencial
La constante e γ es importante en la teoría de números. Algunos autores denotan esta cantidad simplemente como γ ′ . e γ es igual al siguiente límite , donde p n es el n- ésimo número primo :
Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . [34] El valor numérico de e γ es: [35]
- 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .
Otros productos infinitos relacionados con e γ incluyen:
Estos productos son el resultado de la Barnes G -función .
Además,
donde el n- ésimo factor es la ( n + 1) -ésima raíz de
Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . [36]
También sostiene que [37]
Fracción continua
La expansión de fracción continua de γ tiene la forma [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] , [2] que no tiene aparente patrón. Se sabe que la fracción continua tiene al menos 475,006 términos, [7] y tiene infinitos términos si y solo si γ es irracional.
Generalizaciones
Las constantes generalizadas de Euler están dadas por
para 0 < α <1 , con γ como caso especial α = 1 . [38] Esto se puede generalizar aún más a
para alguna función decreciente arbitraria f . Por ejemplo,
da lugar a las constantes de Stieltjes , y
da
donde de nuevo el limite
aparece.
Una generalización de límite bidimensional es la constante de Masser-Gramain .
Las constantes de Euler-Lehmer están dadas por la suma de las inversas de los números en una clase de módulo común: [13]
Las propiedades básicas son
y si mcd ( a , q ) = d entonces
Dígitos publicados
Euler calculó inicialmente el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante a 32 lugares decimales, pero cometió errores en los lugares decimales 20-22 y 31-32; a partir del vigésimo dígito, calculó ... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es ... 065 12090082 40 .
Fecha | Dígitos decimales | Autor | Fuentes |
---|---|---|---|
1734 | 5 | Leonhard Euler | |
1735 | 15 | Leonhard Euler | |
1781 | dieciséis | Leonhard Euler | |
1790 | 32 | Lorenzo Mascheroni , con 20-22 y 31-32 equivocados | |
1809 | 22 | Johann G. von Soldner | |
1811 | 22 | Carl Friedrich Gauss | |
1812 | 40 | Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai | |
1857 | 34 | Christian Fredrik Lindman | |
1861 | 41 | Ludwig Oettinger | |
1867 | 49 | William Shanks | |
1871 | 99 | Glaisher James WL | |
1871 | 101 | William Shanks | |
1877 | 262 | JC Adams | |
1952 | 328 | John William Wrench Jr. | |
1961 | 1 050 | Helmut Fischer y Karl Zeller | |
1962 | 1 271 | Donald Knuth | [39] |
1962 | 3 566 | Dura W. Sweeney | |
1973 | 4 879 | William A. Beyer y Michael S. Waterman | |
1977 | 20 700 | Richard P. Brent | |
1980 | 30 100 | Richard P. Brent y Edwin M. McMillan | |
1993 | 172 000 | Jonathan Borwein | |
1999 | 108 000 000 | Patrick Demichel y Xavier Gourdon | |
13 de marzo de 2009 | 29 844 489 545 | Alexander J. Yee y Raymond Chan | [40] [41] |
22 de diciembre de 2013 | 119 377 958 182 | Alexander J. Yee | [41] |
15 de marzo de 2016 | 160 000 000 000 | Peter Trueb | [41] |
18 de mayo de 2016 | 250 000 000 000 | Ron Watkins | [41] |
23 de agosto de 2017 | 477 511 832 674 | Ron Watkins | [41] |
26 de mayo de 2020 | 600 000 000 100 | Seungmin Kim e Ian Cutress | [41] [42] |
Referencias
- Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova" . Diario de Crelle (en latín). 17 : 257-285.
- Havil, Julian (2003). Gamma: Explorando la constante de Euler . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-09983-5.
- Ram Murty, M .; Saradha, N. (2010). "Constantes de Euler-Lehmer y una conjetura de Erdos" . Revista de teoría de números . 130 (12): 2671–2681. doi : 10.1016 / j.jnt.2010.07.004 . ISSN 0022-314X .
Notas al pie
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001620 (Expansión decimal de la constante de Euler (o la constante de Euler-Mascheroni), gamma)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ a b Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A002852 (fracción continua de la constante de Euler)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ a b c d e Lagarias, Jeffrey C. (octubre de 2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Boletín de la American Mathematical Society . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090 / s0273-0979-2013-01423-x . S2CID 119612431 .
- γ_=_
''c''_=_ ="texhtml_"_>0,577215_664901_532860_618112_090082_3.."_on_[httpsbooksgooglecombookshlfiidOAoPAAAAIAAJpgPA260_p._260]-4">^ Bretschneider 1837 , " γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3 .. " en la pág. 260 . ="nowrap"> - ^ De Morgan, Augustus (1836-1842). El cálculo diferencial e integral . Londres: Baldwin y Craddoc. " γ " en la pág. 578 .
- ^ Cuevas, Carlton M .; Fuchs, Christopher A. (1996). "Información cuántica: ¿cuánta información en un vector de estado?". El dilema de Einstein, Podolsky y Rosen: 60 años después . Sociedad de Física de Israel. arXiv : quant-ph / 9601025 . Código bibliográfico : 1996quant.ph..1025C . ISBN 9780750303941. OCLC 36922834 .
- ^ a b Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). "Evaluación multiprecisión rápida de series de números racionales". Teoría algorítmica de números . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. Saltador. 1423 : 338-350. doi : 10.1007 / bfb0054873 . ISBN 9783540691136.
- ^ Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algorítmische Zahlentheorie (Tesis) (en alemán). Universität des Saarlandes.
- ^ a b Véase también Sondow, Jonathan (2003). "Criterios de irracionalidad de la constante de Euler". Actas de la American Mathematical Society . 131 (11): 3335–3344. arXiv : matemáticas.NT / 0209070 . doi : 10.1090 / S0002-9939-03-07081-3 . S2CID 91176597 .
- ^ Mahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (4 de junio de 1968). "Aplicaciones de un teorema de AB Shidlovski". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas . 305 (1481): 149-173. Código bibliográfico : 1968RSPSA.305..149M . doi : 10.1098 / rspa.1968.0111 . S2CID 123486171 .
- ^ Aptekarev, AI (28 de febrero de 2009). "Sobre formas lineales que contienen la constante de Euler". arXiv : 0902.1768 [ math.NT ].
- ^ Rivoal, Tanguy (2012). "Sobre la naturaleza aritmética de los valores de la función gamma, constante de Euler y constante de Gompertz" . Revista matemática de Michigan . 61 (2): 239-254. doi : 10.1307 / mmj / 1339011525 . ISSN 0026-2285 .
- ↑ a b Ram Murty y Saradha, 2010 .
- ^ Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013). "Trascendencia de las constantes de Euler generalizadas" . The American Mathematical Monthly . 120 (1): 48–54. doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.01.048 . ISSN 0002-9890 .
- ^ a b c d Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen (en alemán). Universidad de Göttingen.
- ^ Sondow, Jonathan (1998). "Una fórmula antisimétrica para la constante de Euler" . Revista de Matemáticas . 71 : 219–220. Archivado desde el original el 4 de junio de 2011 . Consultado el 29 de mayo de 2006 .
- ^ a b Sondow, Jonathan (2005), "Integrales dobles para la constante de Euler y y un análogo de la fórmula de Hadjicostas ", American Mathematical Monthly , 112 (1): 61–65, arXiv : math.CA/0211148 , doi : 10.2307 / 30037385 , JSTOR 30037385
- ^ Sondow, Jonathan (1 de agosto de 2005a). Nueva serie racional tipo Vacca para la constante de Euler y su análogo 'alterno'. arXiv : matemáticas.NT / 0508042 .
- ^ Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). "Constante de Euler, q -logaritmos y fórmulas de Ramanujan y Gosper". El diario Ramanujan . 12 (2): 225–244. arXiv : matemáticas.NT / 0304021 . doi : 10.1007 / s11139-006-0075-1 . S2CID 1368088 .
- ^ DeTemple, Duane W. (mayo de 1993). "Una convergencia más rápida a la constante de Euler". The American Mathematical Monthly . 100 (5): 468–470. doi : 10.2307 / 2324300 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2324300 .
- ^ Havil 2003 , págs. 75–8.
- ^ Blagouchine, 2016 .
- ^ Vacca, G. (1910). "Una nueva expresión analítica para el número π y algunas consideraciones históricas". Boletín de la American Mathematical Society . 16 : 368–369.
- ^ Glaisher, James Whitbread Lee (1910). "Sobre la serie del Dr. Vacca para γ ". QJ Pure Appl. Matemáticas . 41 : 365–368.
- ^ Hardy, GH (1912). "Nota sobre la serie del Dr. Vacca para γ ". QJ Pure Appl. Matemáticas . 43 : 215–216.
- ^ Vacca, G. (1926). "Serie Nuova per la costante di Eulero, C = 0,577 ...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche ". Matematiche e Naturali (en italiano). 6 (3): 19-20.
- ^ Kluyver, JC (1927). "Sobre ciertas series de Mr. Hardy". QJ Pure Appl. Matemáticas . 50 : 185-192.
- ^ a b c Blagouchine, Iaroslav V. (2016), "Expansiones de las constantes de Euler generalizadas en la serie de polinomios en π −2 y en la serie envolvente formal con coeficientes racionales solamente", J. Teoría de números , 158 : 365–396, arXiv : 1501.00740 , doi : 10.1016 / j.jnt.2015.06.012
- ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Redescubrimiento de integrales de Malmsten, su evaluación por métodos de integración de contorno y algunos resultados relacionados" . El diario Ramanujan . 35 (1): 21-110. doi : 10.1007 / s11139-013-9528-5 . S2CID 120943474 .
- ^ a b c Blagouchine, Iaroslav V. (2018), "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones zeta" , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 18A (# A3): 1-45, arXiv : 1606.02044 , Bibcode : 2016arXiv160602044B
- ^ a b Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). Cálculo de sumabilidad. Una teoría completa de las sumas finitas fraccionarias . Springer . págs. 147–8. ISBN 9783319746487.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A302120 (Valor absoluto de los numeradores de una serie que convergen a la constante de Euler)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A302121 (Denominadores de una serie que convergen a la constante de Euler)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Weisstein, Eric W. "Mertens Constant" . WolframMathWorld (Wolfram Research) .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A073004 (Expansión decimal de exp (gamma))" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Sondow, Jonathan (2003). "Un producto infinito para e γ a través de fórmulas hipergeométricas para la constante de Euler, γ ". arXiv : matemáticas.CA / 0306008 .
- ^ Choi, Junesang; Srivastava, HM (1 de septiembre de 2010). "Representaciones integrales para la constante de Euler-Mascheroni γ". Transformaciones integrales y funciones especiales . 21 (9): 675–690. doi : 10.1080 / 10652461003593294 . ISSN 1065-2469 . S2CID 123698377 .
- ^ Havil 2003 , págs. 117–8.
- ^ Knuth, Donald E. (julio de 1962). "Constante de Euler a 1271 lugares" . Matemáticas de la Computación . Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (79): 275-281.
- ^ Yee, Alexander J. (7 de marzo de 2011). "Grandes cálculos" . www.numberworld.org .
- ^ a b c d e f Yee, Alexander J. "Récords establecidos por y-cruncher" . www.numberworld.org . Consultado el 30 de abril de 2018 .
Yee, Alexander J. "y-cruncher - Un programa Pi de subprocesos múltiples" . www.numberworld.org . - ^ "Euler-Mascheroni Constant" . Coleccionista de Polymath .
Otras lecturas
- Borwein, Jonathan M .; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función Zeta de Riemann" (PDF) . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 121 (1–2): 11. Código Bibliográfico : 2000JCoAM.121..247B . doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 .Deriva γ como sumas sobre funciones zeta de Riemann.
- Gerst, I. (1969). "Algunas series para la constante de Euler". Amer. Matemáticas. Mensual . 76 (3): 237–275. doi : 10.2307 / 2316370 . JSTOR 2316370 .
- Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "Sobre la historia de la constante de Euler". Mensajero de las Matemáticas . 1 : 25-30. JFM 03.0130.01 .
- Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Colección de fórmulas para la constante de Euler, γ " .
- Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). "La constante de Euler: γ " .
- Karatsuba, EA (1991). "Evaluación rápida de funciones trascendentales". Probl. Inf. Transm . 27 (44): 339–360.
- Karatsuba, EA (2000). "Sobre el cálculo de la constante de Euler γ ". Revista de algoritmos numéricos . 24 (1–2): 83–97. doi : 10.1023 / A: 1019137125281 . S2CID 21545868 .
- Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática, vol. 1 (3ª ed.). Addison-Wesley. págs. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
- Lehmer, DH (1975). "Constantes de Euler para progresiones aritméticas" (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125-142. doi : 10.4064 / aa-27-1-125-142 .
- Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 : 5.
- Mascheroni, Lorenzo (1790), Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur , Galeati, Ticini
- Sondow, Jonathan (2002). "Una aproximación hipergeométrica, a través de formas lineales que involucran logaritmos, a criterios de irracionalidad para la constante de Euler". Mathematica Slovaca . 59 : 307–314. arXiv : matemáticas.NT / 0211075 . Bibcode : 2002math ..... 11075S .con un apéndice de Sergey Zlobin
enlaces externos
- "Constante de Euler" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Constante de Euler-Mascheroni" . MathWorld .
- Jonathan Sondow.
- Algoritmos rápidos y el método FEE , EA Karatsuba (2005)
- Otras fórmulas que hacen uso de la constante: Gourdon y Sebah (2004).