Constante de Euler-Mascheroni

La constante de Euler-Mascheroni (también llamada constante de Euler ) es una constante matemática recurrente en el análisis y la teoría de números , generalmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ).

El área de la región azul converge a la constante de Euler-Mascheroni.

Se define como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Aquí, ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$representa la función de piso .

El valor numérico de la constante de Euler-Mascheroni, con 50 decimales, es: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Binario	0.1001 0011 1100 0100 0110 0111 1110 0011 0111 1101 ...
Decimal	0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 ...
Hexadecimal	0.93C4 67E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 0152 CB56 A1CE CC3A ...
Fracción continua	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...] [2] (No se sabe si este fracción continua es finita , infinita periódica o infinita no periódica. Se muestra en notación lineal )

Historia

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observaciónes (Eneström Index 43). Euler usó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior quizás debido a la conexión de la constante con la función gamma . ^[3] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider usó la notación γ en 1835 ^{γ_=_''c''_=_0,577215_664901_532860_618112_090082_3.."_on_[httpsbooksgooglecombookshlfiidOAoPAAAAIAAJpgPA260_p._260]_4-0" class="reference">[4]="nowrap">="texhtml_"_>} y Augustus De Morgan la usó en un libro de texto publicado en partes de 1836 a 1842. ^[5]

Apariciones

La constante de Euler-Mascheroni aparece, entre otros lugares, en lo siguiente ('*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

• Expresiones que involucran la integral exponencial *
• La transformada de Laplace * del logaritmo natural
• El primer término de la expansión de la serie Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
• Cálculos de la función digamma
• Una fórmula de producto para la función gamma.
• La expansión asintótica de la función gamma para pequeños argumentos.
• Una desigualdad para la función totient de Euler
• La tasa de crecimiento de la función divisor.
• En la regularización dimensional de los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos
• El cálculo de la constante de Meissel-Mertens
• El tercero de los teoremas de Mertens *
• Solución del segundo tipo a la ecuación de Bessel
• En la regularización / renormalización de la serie armónica como valor finito
• La media de la distribución de Gumbel
• La entropía de información de las distribuciones de Weibull y Lévy e, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
• La respuesta al problema del cobrador de cupones *
• En algunas formulaciones de la ley de Zipf
• Una definición de la integral del coseno *
• Límites inferiores a un espacio principal
• Un límite superior en la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica ^[6]

Propiedades

No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . Utilizando un análisis de fracciones continuo , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 ²⁴⁴⁶⁶³ . ^{[7] [8]} La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones a continuación hace que la irracionalidad de γ sea una cuestión abierta importante en matemáticas. ^[9]

Sin embargo, se lograron algunos avances. Kurt Mahler demostró en 1968 que el número${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ es trascendental (aquí, ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ y ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$son funciones de Bessel ). ^{[10] [3]} En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de la constante de Euler-Mascheroni γ y la constante de Euler-Gompertz δ es irracional. ^[11] Este resultado fue mejorado en 2012 por Tanguy Rivoal, quien demostró que al menos uno de ellos es trascendental. ^{[12] [3]}

En 2010 M. Ram Murty y N. Saradha consideraron una lista infinita de números que contienenγ/4y demostró que todos menos uno de ellos son trascendentales. ^{[3] [13]} En 2013 M. Ram Murty y A. Zaytseva volvieron a considerar una lista infinita de números que contienen γ y demostraron que todos menos uno son trascendentales. ^{[3] [14] [ aclaración necesaria ]}

Relación con la función gamma

γ está relacionado con la función digamma Ψ , y por lo tanto la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Así:

${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$

Esto es igual a los límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$

Otros resultados límite son: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$

Relación con la función zeta

γ también se puede expresar como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\ln n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$

El término de error en la última ecuación es una función rápidamente decreciente de n . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante a alta precisión.

Otros límites interesantes que igualan la constante de Euler-Mascheroni son el límite antisimétrico: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$

y la fórmula de la Vallée-Poussin

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$

dónde ${\displaystyle \lceil \,\rceil }$son soportes de techo .

Estrechamente relacionada con esto está la expresión de la serie zeta racional . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}},}$

donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H _n . Al expandir algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz, se obtiene:

${\displaystyle H_{n}=\ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$

donde 0 < ε < 1/252 n ⁶.

γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante Glaisher-Kinkelin :

${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$

γ también se puede expresar de la siguiente manera, que se puede probar expresando la función zeta como una serie de Laurent :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\biggl (}-n+\zeta {\Bigl (}{\frac {n+1}{n}}{\Bigr )}{\biggr )}}$

Integrales

γ es igual al valor de varias integrales definidas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \left(\ln {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\end{aligned}}}$

donde H _x es el número armónico fraccionario .

Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$

Se puede expresar γ usando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble ^{[9] [17]} con series equivalentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$

Una comparación interesante de Sondow ^[17] es la serie doble integral y alterna

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\ln xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Demuestra que en 4/π puede pensarse como una "constante de Euler alterna".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\ln {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$

donde N ₁ ( n ) y N ₀ ( n ) son el número de unos y ceros, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .

También tenemos la integral catalana de 1875 ^[19]

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$

Expansiones de series

En general,

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$

para cualquier ${\displaystyle \alpha >-n}$. Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de${\displaystyle \alpha }$. En particular,${\displaystyle \gamma _{n}(1/2)}$ exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional ${\displaystyle \gamma _{n}(0)}$. ^{[20] [21]} Esto se debe a

${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$

tiempo

${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$

Aun así, existen otras expansiones de series que convergen más rápidamente que esta; Algunos de éstos se discuten a continuación.

Euler mostró que la siguiente serie infinita se aproxima a γ :

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$

La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: ^{[15] [22]}

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada ^{[23] [24] [25] [26] [27] [15] [28]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$

donde log ₂ es el logaritmo en base 2 y ⌊ ⌋ es la función de piso .

En 1926 encontró una segunda serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$

De la expansión de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma ^[29] obtenemos:

${\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.}$

Una expansión importante de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$

donde G _n son los coeficientes de Gregory ^{[15] [28] [30]} Esta serie es el caso especial${\displaystyle k=1}$ de las expansiones

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\ln k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\ln k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$

convergente para ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

Una serie similar con los números de Cauchy del segundo tipo C _n es ^{[28] [31]}

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$

Blagouchine (2018) encontró una interesante generalización de la serie Fontana-Mascheroni

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli del segundo tipo , que están definidos por la función generadora

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1,}$

Para cualquier racional una esta serie contiene sólo términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en ^{[32] [33]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$

Otras series con los mismos polinomios incluyen estos ejemplos:

${\displaystyle \gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$

y

${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\ln \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$

donde Γ ( a ) es la función gamma . ^[30]

Una serie relacionada con el algoritmo Akiyama-Tanigawa es

${\displaystyle \gamma =\ln(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\ln(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$

donde G _n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. ^[30]

Serie de números primos :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right).}$

Expansiones asintóticas

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H _n es el n- ésimo número armónico ):

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\ln n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Euler )

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\ln \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+\cdots }\right)}$( Negoi )

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\ln n+\ln(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesàro )

La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan .

Alabdulmohsin derivó expresiones de forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. ^[31] Mostró que (Teorema A.1):

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}}$

Exponencial

La constante e ^γ es importante en la teoría de números. Algunos autores denotan esta cantidad simplemente como γ ′ . e ^γ es igual al siguiente límite , donde p _n es el n- ésimo número primo :

${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$

Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . ^[34] El valor numérico de e ^γ es: ^[35]

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

Otros productos infinitos relacionados con e ^γ incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

Estos productos son el resultado de la Barnes G -función .

Además,

${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$

donde el n- ésimo factor es la ( n + 1) -ésima raíz de

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . ^[36]

También sostiene que ^[37]

${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$

Fracción continua

La expansión de fracción continua de γ tiene la forma [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] , ^[2] que no tiene aparente patrón. Se sabe que la fracción continua tiene al menos 475,006 términos, ^[7] y tiene infinitos términos si y solo si γ es irracional.

Generalizaciones

abm ( x ) = γ _{- x}

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}$

para 0 < α <1 , con γ como caso especial α = 1 . ^[38] Esto se puede generalizar aún más a

${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$

para alguna función decreciente arbitraria f . Por ejemplo,

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\ln x)^{n}}{x}}}$

da lugar a las constantes de Stieltjes , y

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$

da

${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$

donde de nuevo el limite

${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$

aparece.

Una generalización de límite bidimensional es la constante de Masser-Gramain .

Las constantes de Euler-Lehmer están dadas por la suma de las inversas de los números en una clase de módulo común: ^[13]

${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\ln x}{q}}\right).}$

Las propiedades básicas son

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (0,q)&={\frac {\gamma -\ln q}{q}},\\\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)&=\gamma ,\\q\gamma (a,q)&=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\ln \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$

y si mcd ( a , q ) = d entonces

${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\ln d.}$

Dígitos publicados

Euler calculó inicialmente el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante a 32 lugares decimales, pero cometió errores en los lugares decimales 20-22 y 31-32; a partir del vigésimo dígito, calculó ... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es ... 065 12090082 40 .

Expansiones decimales publicadas de γ

Fecha	Dígitos decimales	Autor	Fuentes
1734	5	Leonhard Euler
1735	15	Leonhard Euler
1781	dieciséis	Leonhard Euler
1790	32	Lorenzo Mascheroni , con 20-22 y 31-32 equivocados
1809	22	Johann G. von Soldner
1811	22	Carl Friedrich Gauss
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai
1857	34	Christian Fredrik Lindman
1861	41	Ludwig Oettinger
1867	49	William Shanks
1871	99	Glaisher James WL
1871	101	William Shanks
1877	262	JC Adams
1952	328	John William Wrench Jr.
1961	1 050	Helmut Fischer y Karl Zeller
1962	1 271	Donald Knuth	[39]
1962	3 566	Dura W. Sweeney
1973	4 879	William A. Beyer y Michael S. Waterman
1977	20 700	Richard P. Brent
1980	30 100	Richard P. Brent y Edwin M. McMillan
1993	172 000	Jonathan Borwein
1999	108 000 000	Patrick Demichel y Xavier Gourdon
13 de marzo de 2009	29 844 489 545	Alexander J. Yee y Raymond Chan	[40] [41]
22 de diciembre de 2013	119 377 958 182	Alexander J. Yee	[41]
15 de marzo de 2016	160 000 000 000	Peter Trueb	[41]
18 de mayo de 2016	250 000 000 000	Ron Watkins	[41]
23 de agosto de 2017	477 511 832 674	Ron Watkins	[41]
26 de mayo de 2020	600 000 000 100	Seungmin Kim e Ian Cutress	[41] [42]

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

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• Jonathan Sondow.
• Algoritmos rápidos y el método FEE , EA Karatsuba (2005)
• Otras fórmulas que hacen uso de la constante: Gourdon y Sebah (2004).