La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma
dónde es una función racional de y . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler. [1]
Ejemplos de la primera sustitución de Euler
Uno
En la integral podemos usar la primera sustitución y establecer , por lo tanto
En consecuencia, obtenemos: Los casos dar las fórmulas
Dos
Para encontrar el valor de
encontramos usando la primera sustitución de Euler, . Cuadrar ambos lados de la ecuación nos da , de donde el los términos se cancelarán. Resolviendo para rendimientos A partir de ahí, encontramos que los diferenciales y están relacionados por
Por eso,
Ejemplos de la segunda sustitución de Euler
En la integral
podemos usar la segunda sustitución y establecer . Por lo tanto y En consecuencia, obtenemos:
Ejemplos de la tercera sustitución de Euler
Para evaluar
podemos usar la tercera sustitución y establecer . Por lo tanto y Próximo,
Como podemos ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales. Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral, la sustitucion puede ser usado. Las extensiones a los números complejos nos permiten usar todo tipo de sustitución de Euler independientemente de los coeficientes de la cuadrática.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considere integrales de la forma
dónde y son funciones racionales de y . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución en otra integral dónde y ahora son simplemente funciones racionales de . En principio, la factorización y la descomposición de fracciones parciales se pueden emplear para dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo . [2]- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus , Tallin (1965). Nota: Las sustituciones de Euler se pueden encontrar en la mayoría de los libros de texto de cálculo rusos.
- ^ Zwillinger, Daniel. El manual de integración . 1992: Jones y Bartlett. págs. 145-146. ISBN 978-0867202939.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
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