En la teoría de la probabilidad , un evento es un conjunto de resultados de un experimento (un subconjunto del espacio muestral ) al que se le asigna una probabilidad. [1] Un solo resultado puede ser un elemento de muchos eventos diferentes, [2] y diferentes eventos en un experimento generalmente no son igualmente probables, ya que pueden incluir grupos de resultados muy diferentes. [3] Un evento define un evento complementario , es decir, el conjunto complementario (el evento que no ocurre), y juntos definen un ensayo de Bernoulli : ¿ocurrió el evento o no?
Típicamente, cuando el espacio de muestra es finito, cualquier subconjunto del espacio de muestra es un evento ( i . E . Todos los elementos del conjunto potencia del espacio de muestra se definen como eventos). Sin embargo, este enfoque no funciona bien en los casos en que el espacio muestral es incontablemente infinito . Entonces, al definir un espacio de probabilidad , es posible, y a menudo necesario, excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral de ser eventos (ver Eventos en espacios de probabilidad , más adelante).
Un simple ejemplo
Si armamos una baraja de 52 cartas sin comodines y robamos una sola carta de la baraja, entonces el espacio muestral es un conjunto de 52 elementos, ya que cada carta es un resultado posible. Sin embargo, un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluido cualquier conjunto único (un evento elemental ), el conjunto vacío (un evento imposible, con probabilidad cero) y el espacio muestral en sí mismo (un evento determinado, con probabilidad uno). Otros eventos son subconjuntos propios del espacio muestral que contienen múltiples elementos. Entonces, por ejemplo, los eventos potenciales incluyen:
- "Rojo y negro al mismo tiempo sin ser un bromista" (0 elementos),
- "El 5 de Corazones" (1 elemento),
- "A King" (4 elementos),
- "A Face card" (12 elementos),
- "A Spade" (13 elementos),
- "Una figura o un traje rojo" (32 elementos),
- "Una carta" (52 elementos).
Dado que todos los eventos son conjuntos, generalmente se escriben como conjuntos (por ejemplo, {1, 2, 3}) y se representan gráficamente mediante diagramas de Venn . En la situación en la que cada resultado en el espacio muestral Ω es igualmente probable, la probabilidadde un evento A es la siguiente fórmula :
Esta regla se puede aplicar fácilmente a cada uno de los eventos de ejemplo anteriores.
Eventos en espacios de probabilidad
Definir todos los subconjuntos del espacio muestral como eventos funciona bien cuando solo hay un número finito de resultados, pero da lugar a problemas cuando el espacio muestral es infinito. Para muchas distribuciones de probabilidad estándar , como la distribución normal , el espacio muestral es el conjunto de números reales o algún subconjunto de números reales . Los intentos de definir probabilidades para todos los subconjuntos de los números reales se topan con dificultades cuando se consideran conjuntos con "mal comportamiento" , como los que no son medibles . Por lo tanto, es necesario restringir la atención a una familia de subconjuntos más limitada. Para que funcionen las herramientas estándar de la teoría de la probabilidad, como las probabilidades conjuntas y condicionales , es necesario utilizar un σ-álgebra , es decir, una familia cerrada bajo complementación y uniones contables de sus miembros. La elección más natural de σ-álgebra es el conjunto medible de Borel derivado de uniones e intersecciones de intervalos. Sin embargo, la clase más amplia de conjuntos medibles de Lebesgue resulta más útil en la práctica.
En la descripción general de la teoría de la medida de los espacios de probabilidad , un evento puede definirse como un elemento de una σ-álgebra seleccionada de subconjuntos del espacio muestral. Según esta definición, cualquier subconjunto del espacio muestral que no sea un elemento del σ-álgebra no es un evento y no tiene probabilidad. Sin embargo, con una especificación razonable del espacio de probabilidad, todos los eventos de interés son elementos del σ-álgebra.
Una nota sobre la notación
Aunque los eventos son subconjuntos de algún espacio muestral Ω, a menudo se escriben como predicados o indicadores que involucran variables aleatorias . Por ejemplo, si X es una variable aleatoria de valor real definida en el espacio muestral Ω, el evento
se puede escribir más convenientemente como, simplemente,
Esto es especialmente común en fórmulas para una probabilidad , como
El conjunto u < X ≤ v es un ejemplo de una imagen inversa bajo el mapeo X porque si y solo si .
Ver también
Notas
- ^ León-García, Alberto (2008). Probabilidad, estadística y procesos aleatorios para ingeniería eléctrica . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson.
- ^ Pfeiffer, Paul E. (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad . Publicaciones de Dover. pag. 18. ISBN 978-0-486-63677-1.
- ^ Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: Funciones y aplicaciones, Edición para profesores (Classics ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . pag. 634 . ISBN 0-13-165711-9.
enlaces externos
- "Evento aleatorio" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Definición formal en el sistema Mizar .