Dado un subconjunto abierto y simplemente conectado D de R 2 y dos funciones I y J que son continuas en D , una ecuación diferencial ordinaria de primer orden implícita de la forma
se llama ecuación diferencial exacta si existe una función continuamente diferenciable F , llamada función potencial , [1] [2] de modo que
y
También se puede presentar una ecuación exacta en la siguiente forma:
donde se aplican las mismas restricciones sobre I y J para que la ecuación diferencial sea exacta.
La nomenclatura de "ecuación diferencial exacta" se refiere a la diferencial exacta de una función. Para una función, la derivada exacta o total con respecto a es dado por
Ejemplo
La función dada por
es una función potencial para la ecuación diferencial
En aplicaciones físicas, las funciones I y J generalmente no solo son continuas sino también continuamente diferenciables . El teorema de Schwarz nos proporciona un criterio necesario para la existencia de una función potencial. Para ecuaciones diferenciales definidas en conjuntos simplemente conectados, el criterio es incluso suficiente y obtenemos el siguiente teorema:
Dada una ecuación diferencial de la forma (por ejemplo, cuando F tiene pendiente cero en la dirección xey en F ( x , y )):
con I y J continuamente diferenciable en un subconjunto simplemente conectado y abierto D de R 2 a continuación, una función potencial F existe si y sólo si
Dada una ecuación diferencial exacta definida en algún subconjunto abierto y simplemente conectado D de R 2 con función potencial F , una función diferenciable f con ( x , f ( x )) en D es una solución si y solo si existe un número real c entonces que
Por un problema de valor inicial
podemos encontrar localmente una función potencial
Resolviendo
para y , donde c es un número real, podemos construir todas las soluciones.
El concepto de ecuaciones diferenciales exactas se puede extender a ecuaciones de segundo orden. [3] Considere comenzar con la ecuación exacta de primer orden:
Dado que ambas funciones , son funciones de dos variables, diferenciando implícitamente los rendimientos de la función multivariante
Expandir las derivadas totales da que
y eso
Combinando el términos da
Si la ecuación es exacta, entonces . Además, la derivada total de es igual a su derivada ordinaria implícita . Esto conduce a la ecuación reescrita
Ahora, dejemos que haya alguna ecuación diferencial de segundo orden
Si para ecuaciones diferenciales exactas, entonces
y
dónde es una función arbitraria solo de que se diferencia a cero al tomar la derivada parcial de con respecto a . Aunque el inicio de sesión podría ser positivo, es más intuitivo pensar en el resultado de la integral como que le falta alguna función extra original que fue parcialmente diferenciado a cero.
Siguiente, si
entonces el término debería ser una función sólo de y , ya que la diferenciación parcial con respecto a sostendrá constante y no producir ninguna derivada de . En la ecuación de segundo orden
solo el término es un término puramente de y . Dejar. Si, luego
Dado que la derivada total de con respecto a es equivalente a la derivada ordinaria implícita , luego
Entonces,
y
Por tanto, la ecuación diferencial de segundo orden
es exacto solo si y solo si la siguiente expresión
es una función únicamente de . Una vez se calcula con su constante arbitraria, se suma a para hacer . Si la ecuación es exacta, entonces podemos reducir a la forma exacta de primer orden que se puede resolver mediante el método habitual para las ecuaciones exactas de primer orden.
Ahora, sin embargo, en la solución final implícita habrá un término de la integración de con respecto a dos veces más que un , dos constantes arbitrarias como se esperaba de una ecuación de segundo orden.
Ejemplo
Dada la ecuación diferencial
siempre se puede comprobar fácilmente la exactitud examinando el término. En este caso, tanto la derivada parcial como la total de con respecto a están , entonces su suma es , que es exactamente el término delante de . Con una de las condiciones de exactitud cumplida, se puede calcular que
Dejando , luego
Entonces, es de hecho una función sólo de y la ecuación diferencial de segundo orden es exacta. Por lo tanto, y . La reducción a una ecuación exacta de primer orden produce
Integrando con respecto a rendimientos
dónde es alguna función arbitraria de . Diferenciando con respecto a da una ecuación que correlaciona la derivada y la término.
Entonces, y la solución implícita completa se convierte en
Resolviendo explícitamente para rendimientos
Los conceptos de ecuaciones diferenciales exactas pueden extenderse a cualquier orden. Comenzando con la ecuación exacta de segundo orden
Anteriormente se demostró que la ecuación se define de manera que
Diferenciación implícita de la ecuación exacta de segundo orden los tiempos darán un Ecuación diferencial de tercer orden con nuevas condiciones de exactitud que pueden deducirse fácilmente de la forma de la ecuación producida. Por ejemplo, diferenciar la ecuación diferencial de segundo orden anterior una vez para producir una ecuación exacta de tercer orden da la siguiente forma
dónde
y donde es una función solo de y . Combinando todo y términos que no vienen de da
Por tanto, las tres condiciones de exactitud para una ecuación diferencial de tercer orden son: plazo debe ser , la plazo debe ser y
debe ser una función únicamente de .
Ejemplo
Considere la ecuación diferencial no lineal de tercer orden
Si , luego es y que juntos suman . Afortunadamente, esto aparece en nuestra ecuación. Por la última condición de exactitud,
que es de hecho una función sólo de . Entonces, la ecuación diferencial es exacta. Integrar dos veces produce que. Reescribir la ecuación como una ecuación diferencial exacta de primer orden produce
Integrando con respecto a da eso . Diferenciando con respecto a y equiparando eso con el término delante de en la ecuación de primer orden da que y eso . La solución implícita completa se convierte en
La solución explícita, entonces, es