En mecánica cuántica , el valor esperado es el valor esperado probabilístico del resultado (medición) de un experimento. Puede considerarse como un promedio de todos los resultados posibles de una medición ponderados por su probabilidad y, como tal, no es el valor más probable de una medición; de hecho, el valor esperado puede tener una probabilidad de ocurrencia cero (por ejemplo, las mediciones que solo pueden producir valores enteros pueden tener una media no entera). Es un concepto fundamental en todas las áreas de la física cuántica .
Definición operacional
Considere un operador . El valor esperado es entoncesen notación de Dirac conun vector de estado normalizado .
Formalismo en mecánica cuántica
En la teoría cuántica, una configuración experimental se describe mediante el observable para ser medido, y el estado del sistema. El valor esperado de en el estado se denota como .
Matemáticamente, es un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert . En el caso más comúnmente utilizado en mecánica cuántica,es un estado puro , descrito por un vector [a] normalizadoen el espacio de Hilbert. El valor esperado de en el estado Se define como
( 1 )
Si se considera la dinámica , el vector o el operador se considera que depende del tiempo, dependiendo de si se utiliza la imagen de Schrödinger o la imagen de Heisenberg . Sin embargo, la evolución del valor esperado no depende de esta elección.
Si tiene un conjunto completo de autovectores , con valores propios , entonces ( 1 ) se puede expresar como
( 2 )
Esta expresión es similar a la media aritmética e ilustra el significado físico del formalismo matemático: Los valores propiosson los posibles resultados del experimento, [b] y su coeficiente correspondientees la probabilidad de que ocurra este resultado; a menudo se le llama probabilidad de transición .
Un caso particularmente simple surge cuando es una proyección y, por lo tanto, solo tiene los valores propios 0 y 1. Esto corresponde físicamente a un tipo de experimento "sí-no". En este caso, el valor esperado es la probabilidad de que el experimento dé como resultado "1", y se puede calcular como
( 3 )
En la teoría cuántica, también es posible que un operador tenga un espectro no discreto, como el operador de posición en mecánica cuántica. Este operador tiene un espectro completamente continuo , con autovalores y autovectores dependiendo de un parámetro continuo,. Específicamente, el operador actúa sobre un vector espacial como . [1] En este caso, el vectorse puede escribir como una función de valor complejo en el espectro de (generalmente la línea real). Esto se logra formalmente proyectando el vector estatal sobre los valores propios del operador, como en el caso discreto . Sucede que los autovectores del operador de posición forman una base completa para el espacio vectorial de estados y, por lo tanto, obedecen a una relación de cierre :
Lo anterior se puede usar para derivar la expresión integral común para el valor esperado ( 4 ), insertando identidades en la expresión vectorial del valor esperado y luego expandiendo la base de la posición:
Donde la relación de ortonormalidad de los vectores base de posición, reduce la integral doble a una integral simple. La última línea usa el módulo de una función de valor complejo para reemplazar con , que es una sustitución común en integrales de mecánica cuántica.
El valor esperado puede entonces establecerse, donde x no está acotado, como fórmula
( 4 )
Una fórmula similar es válida para el operador de impulso. , en sistemas donde tiene espectro continuo.
Todas las fórmulas anteriores son válidas para estados puros solo. De manera prominente en termodinámica y óptica cuántica , también los estados mixtos son de importancia; estos son descritos por un operador de clase de rastreo positivo, el operador estadístico o matriz de densidad . Entonces, el valor esperado se puede obtener como
( 5 )
Formulación general
En general, estados cuánticos se describen mediante funcionales lineales normalizados positivos en el conjunto de observables, matemáticamente a menudo tomados como un álgebra C * . El valor esperado de un observable luego es dado por
( 6 )
Si el álgebra de observables actúa irreductiblemente en un espacio de Hilbert , y sies un funcional normal , es decir, es continuo en la topología ultra débil , entonces se puede escribir como
con un operador de clase de rastreo positivode la traza 1. Esto da la fórmula ( 5 ) anterior. En el caso de un estado puro ,es una proyección sobre un vector unitario. Luego, que da la fórmula ( 1 ) anterior.
se supone que es un operador autoadjunto. En el caso general, su espectro no será ni del todo discreto ni del todo continuo. Aun así, uno puede escribiren una descomposición espectral ,
En las teorías no relativistas de un número finito de partículas (mecánica cuántica, en sentido estricto), los estados considerados son generalmente normales [ aclaración necesaria ] . Sin embargo, en otras áreas de la teoría cuántica, también se utilizan estados no normales: aparecen, por ejemplo. en forma de estados KMS en la mecánica estadística cuántica de medios infinitamente extendidos, [2] y como estados cargados en la teoría cuántica de campos . [3] En estos casos, el valor esperado se determina únicamente mediante la fórmula más general ( 6 ).
Ejemplo en el espacio de configuración
Como ejemplo, considere una partícula de mecánica cuántica en una dimensión espacial, en la representación del espacio de configuración . Aquí el espacio de Hilbert es, el espacio de funciones cuadradas integrables en la línea real. Vectores están representados por funciones , llamadas funciones de onda . El producto escalar viene dado por. Las funciones de onda tienen una interpretación directa como distribución de probabilidad:
Como observable, considere el operador de posición , que actúa sobre las funciones de onda por
El valor esperado, o valor medio de las mediciones, de realizado en un gran número de sistemas independientes idénticos vendrá dado por
El valor esperado solo existe si la integral converge, lo cual no es el caso para todos los vectores . Esto se debe a que el operador de posición no tiene límites ytiene que ser elegido de su dominio de definición .
En general, la expectativa de cualquier observable se puede calcular reemplazando con el operador apropiado. Por ejemplo, para calcular el impulso promedio, se usa el operador de impulso en el espacio de configuración ,. Explícitamente, su valor esperado es
No todos los operadores en general proporcionan un valor medible. Un operador que tiene un valor de expectativa real puro se llama observable y su valor se puede medir directamente en un experimento.
Ver también
- Cociente de Rayleigh
- Principio de incertidumbre
- Teorema virial
Notas
- ^ Este artículo siempre lleva ser de la norma 1. Para los vectores no normalizados, tiene que ser reemplazado con en todas las fórmulas.
- ^ Se supone aquí que los valores propios no son degenerados.
Referencias
- ^ Cohen-Tannoudji, Claude, 1933- (junio de 2020). Mecánica cuántica. Volumen 2 . Diu, Bernard ,, Laloë, Franck, 1940-, Hemley, Susan Reid ,, Ostrowsky, Nicole, 1943-, Ostrowsky, DB Weinheim. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W. (1987). Álgebras de operador y mecánica estadística cuántica 1 . Saltador. ISBN 978-3-540-17093-8. 2ª edición.
- ^ Haag, Rudolf (1996). Física cuántica local . Saltador. pp. Capítulo IV. ISBN 3-540-61451-6.
Otras lecturas
El valor esperado, en particular como se presenta en la sección " Formalismo en mecánica cuántica ", se trata en la mayoría de los libros de texto elementales sobre mecánica cuántica.
Para una discusión de los aspectos conceptuales, consulte:
- Isham, Chris J (1995). Conferencias sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales . Prensa del Imperial College. ISBN 978-1-86094-001-9.