El factorial exponencial de un entero positivo n , denotado por n $, se eleva n a la potencia de n - 1, que a su vez se eleva a la potencia de n - 2, y así sucesivamente. Es decir,
El factorial exponencial también se puede definir con la relación de recurrencia
Los primeros factoriales exponenciales son 1 , 1 , 2 , 9 , 262144 , etc. (secuencia A049384 en el OEIS ). Por ejemplo, 262144 es un factorial exponencial ya que
Usando la relación de recurrencia, los primeros factoriales exponenciales son:
- 0 $ = 1
- 1 $ = 1 1 = 1
- 2 $ = 2 1 = 2
- 3 $ = 3 2 = 9
- 4 $ = 4 9 = 262144
- 5 $ = 5 262144 = 6206069878 ... 8212890625 (183231 dígitos)
Los factoriales exponenciales crecen mucho más rápido que los factoriales regulares o incluso los hiperfactoriales . El número de dígitos de 6 $ es aproximadamente 5 × 10 183 230 .
La suma de los recíprocos de los factoriales exponenciales de 1 en adelante es el siguiente número trascendental :
Esta suma es trascendental porque es un número de Liouville .
Al igual que la tetración , actualmente no existe un método aceptado de extensión de la función factorial exponencial a valores reales y complejos de su argumento, a diferencia de la función factorial , para la cual dicha extensión es proporcionada por la función gamma . Pero es posible expandirlo si se define en un ancho de banda de 1.
Funciones, notación y convenciones relacionadas
Referencias
- Jonathan Sondow, " Factorial exponencial " de Mathworld , un recurso web de Wolfram