En matemáticas , una función exponencial es una función de la forma
donde b es un número real positivo y el argumento x aparece como exponente. Para números reales c y d , una función de la forma también es una función exponencial, ya que se puede reescribir como
Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada ) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b :
Para b > 1 , la funciónestá aumentando (como se muestra para b = e y b = 2 ), porquehace que la derivada sea siempre positiva; mientras que para b <1 , la función es decreciente (como se muestra para b =1/2); y para b = 1 la función es constante.
La constante e = 2.71828 ... es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, por lo que la función es su propia derivada:
Esta función, también denotada como exp x , se llama "función exponencial natural", [1] [2] [3] o simplemente "función exponencial". Dado que cualquier función exponencial se puede escribir en términos del exponencial natural como, es conveniente desde el punto de vista computacional y conceptual reducir el estudio de las funciones exponenciales a esta en particular. Por tanto, el exponencial natural se denota por
La primera notación se usa comúnmente para exponentes más simples, mientras que la última se prefiere cuando el exponente es una expresión complicada. La gráfica detiene pendiente ascendente y aumenta más rápido a medida que aumenta x . [4] La gráfica siempre se encuentra por encima del eje x , pero se acerca arbitrariamente a él para x negativo grande ; por tanto, el eje x es una asíntota horizontal . La ecuacionsignifica que la pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su coordenada y en ese punto. Su función inversa es el logaritmo natural , denotado[nb 1] [nb 2] odebido a esto, algunos textos antiguos [5] se refieren a la función exponencial como antilogaritmo .
La función exponencial satisface la identidad multiplicativa fundamental (que también se puede extender a exponentes con valores complejos ):
Se puede demostrar que toda solución continua distinta de cero de la ecuación funcional es una función exponencial, con La identidad multiplicativa, junto con la definición , muestra que para enteros positivos n , relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación.
El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo , o incluso un tipo de objeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz ).
La omnipresencia de la función exponencial en matemáticas puras y aplicadas ha llevado al matemático W. Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante en matemáticas". [6] En entornos aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente da el mismo cambio proporcional (es decir, porcentaje de aumento o disminución) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales, como en una población que se reproduce a sí misma , un fondo que acumula intereses compuestos o un creciente cuerpo de experiencia en manufactura . Por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física , la química , la ingeniería , la biología matemática y la economía .
Definicion formal
La función exponencial real se puede caracterizar de diversas formas equivalentes. Se define comúnmente por la siguiente serie de potencias : [6] [7]
Dado que el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito, esta definición es, de hecho, aplicable a todos los números complejos z ∈ ℂ (ver § Plano complejo para la extensión deal plano complejo). La constante e puede definirse como
La diferenciación término por término de esta serie de potencias revela que para todo x real , lo que lleva a otra caracterización común decomo la única solución de la ecuación diferencial
satisfaciendo la condición inicial
Con base en esta caracterización, la regla de la cadena muestra que su función inversa, el logaritmo natural , satisface por o Esta relación conduce a una definición menos común de la función exponencial real como la solucion a la ecuación
Mediante el teorema del binomio y la definición de la serie de potencias, la función exponencial también se puede definir como el siguiente límite: [8] [7]
Descripción general
La función exponencial surge siempre que una cantidad crece o decae a una tasa proporcional a su valor actual. Una de estas situaciones es un interés compuesto continuamente , y de hecho fue esta observación la que llevó a Jacob Bernoulli en 1683 [9] al número
ahora conocido como e . Posteriormente, en 1697, Johann Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial. [9]
Si un monto de capital de 1 gana intereses a una tasa anual de x compuesto mensualmente, entonces el interés ganado cada mes esX/12multiplicado por el valor actual, por lo que cada mes el valor total se multiplica por (1 + X/12) , y el valor al final del año es (1 + X/12) 12 . Si, en cambio, el interés se capitaliza diariamente, esto se convierte en (1 + X/365) 365 . Dejar que el número de intervalos de tiempo por año crezca sin límite conduce a la definición límite de la función exponencial,
dada por primera vez por Leonhard Euler . [8] Esta es una de varias caracterizaciones de la función exponencial ; otros involucran ecuaciones en serie o diferenciales .
A partir de cualquiera de estas definiciones se puede demostrar que la función exponencial obedece a la identidad de exponenciación básica ,
lo que justifica la notación e x para exp x .
La derivada (tasa de cambio) de la función exponencial es la propia función exponencial. De manera más general, una función con una tasa de cambio proporcional a la función en sí (en lugar de igual a ella) se puede expresar en términos de la función exponencial. Esta propiedad de la función conduce a un crecimiento exponencial o una disminución exponencial .
La función exponencial se extiende a una función completa en el plano complejo . La fórmula de Euler relaciona sus valores en argumentos puramente imaginarios con funciones trigonométricas . La función exponencial también tiene análogos para los cuales el argumento es una matriz , o incluso un elemento de un álgebra de Banach o un álgebra de Lie .
Derivadas y ecuaciones diferenciales
La importancia de la función exponencial en matemáticas y ciencias se deriva principalmente de su propiedad como función única que es igual a su derivada y es igual a 1 cuando x = 0 . Es decir,
Las funciones de la forma ce x para la constante c son las únicas funciones que son iguales a su derivada (según el teorema de Picard-Lindelöf ). Otras formas de decir lo mismo incluyen:
- La pendiente de la gráfica en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
- La tasa de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x .
- La función resuelve la ecuación diferencial y ′ = y .
- exp es un punto fijo de derivada como funcional .
Si la tasa de crecimiento o desintegración de una variable es proporcional a su tamaño, como es el caso del crecimiento poblacional ilimitado (ver catástrofe de Malthus ), interés compuesto continuamente o desintegración radiactiva, entonces la variable se puede escribir como una constante multiplicada por una función exponencial del tiempo . Explícitamente para cualquier constante real k , una función f : R → R satisface f ′ = kf si y solo si f ( x ) = ce kx para alguna constante c . La constante k se llama constante de desintegración , constante de desintegración , [10] constante de velocidad , [11] o constante de transformación . [12]
Además, para cualquier función diferenciable f ( x ) , encontramos, por la regla de la cadena :
Fracciones continuas para e x
Se puede obtener una fracción continua para e x mediante una identidad de Euler :
La siguiente fracción continua generalizada para e z converge más rápidamente: [13]
o, aplicando la sustitución z = X/y:
con un caso especial para z = 2 :
Esta fórmula también converge, aunque más lentamente, para z > 2 . Por ejemplo:
Plano complejo
Como en el caso real , la función exponencial se puede definir en el plano complejo en varias formas equivalentes. La definición más común de la función exponencial compleja es paralela a la definición de la serie de potencias para argumentos reales, donde la variable real se reemplaza por una compleja:
Alternativamente, la función exponencial compleja se puede definir modelando la definición de límite para argumentos reales, pero con la variable real reemplazada por una compleja:
Para la definición de la serie de potencias, la multiplicación por términos de dos copias de esta serie de potencias en el sentido de Cauchy , permitida por el teorema de Mertens , muestra que la propiedad multiplicativa definitoria de las funciones exponenciales sigue siendo válida para todos los argumentos complejos:
La definición de la función exponencial compleja a su vez conduce a las definiciones apropiadas que extienden las funciones trigonométricas a argumentos complejos.
En particular, cuando z = it ( t real), la definición de la serie produce la expansión
En esta expansión, el reordenamiento de los términos en partes reales e imaginarias se justifica por la convergencia absoluta de la serie. Las partes real e imaginaria de la expresión anterior corresponden de hecho a las expansiones en serie de cos t y sin t , respectivamente.
Esta correspondencia proporciona motivación para definir coseno y seno para todos los argumentos complejos en términos dey la serie de potencias equivalentes: [14]
Las funciones exp , cos y sen así definidas tienen radios infinitos de convergencia por la prueba de razón y, por lo tanto, son funciones completas (es decir, holomórficas en). El rango de la función exponencial es, mientras que los rangos de las funciones seno y coseno complejas son ambos en su totalidad, de acuerdo con el teorema de Picard , que afirma que el rango de una función completa no constante es todo de, o excluyendo un valor lacunar .
Estas definiciones para las funciones exponencial y trigonométrica conducen trivialmente a la fórmula de Euler :
- .
Alternativamente, podríamos definir la función exponencial compleja en función de esta relación. Si z = x + iy , en donde X y Y son reales, entonces podríamos definir su exponencial
donde exp , cos y sin en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definida por otros medios. [15]
Para , la relación sostiene, de modo que verdadero y mapea la línea real (mod 2 π ) al círculo unitario en el plano complejo. Además, pasando de a , la curva definida por traza un segmento del círculo unitario de longitud
- ,
comenzando desde z = 1 en el plano complejo y yendo en sentido antihorario. Con base en estas observaciones y el hecho de que la medida de un ángulo en radianes es la longitud del arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo, es fácil ver que, restringido a argumentos reales, las funciones seno y coseno como se definieron anteriormente coinciden con las funciones seno y coseno introducidas en matemáticas elementales a través de nociones geométricas.
La función exponencial compleja es periódica con período 2 πi y se mantiene para todos .
Cuando su dominio se extiende desde la línea real al plano complejo, la función exponencial conserva las siguientes propiedades:
- .
Al extender el logaritmo natural a argumentos complejos se obtiene el logaritmo complejo log z , que es una función de varios valores .
Entonces podemos definir una exponenciación más general:
para todos los números complejos z y w . Esta también es una función de varios valores, incluso cuando z es real. Esta distinción es problemática, ya que las funciones multivalor log z y z w se confunden fácilmente con sus equivalentes de un solo valor cuando se sustituye z por un número real . La regla sobre la multiplicación de exponentes para el caso de números reales positivos debe modificarse en un contexto multivalor:
- ( e z ) w ≠ e zw , sino más bien ( e z ) w = e ( z + 2 niπ ) w multivalor sobre enteros n
Consulte las identidades de falla de poder y logaritmos para obtener más información sobre los problemas con la combinación de poderes.
La función exponencial mapea cualquier línea en el plano complejo a una espiral logarítmica en el plano complejo con el centro en el origen . Existen dos casos especiales: cuando la línea original es paralela al eje real, la espiral resultante nunca se cierra sobre sí misma; cuando la línea original es paralela al eje imaginario, la espiral resultante es un círculo de cierto radio.
z = Re ( e x + iy )
z = Im ( e x + iy )
z = | e x + iy |
Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales:
la gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva en cuatro dimensiones.
Comenzando con una parte codificada por colores del dominio xy , las siguientes son representaciones del gráfico proyectado de diversas formas en dos o tres dimensiones.
Llave del tablero de damas:
Proyección sobre el plano complejo de rango (V / W). Compare con la siguiente imagen en perspectiva.
Proyección en el , , y dimensiones, produciendo una forma de cuerno ensanchado o embudo (visualizada como imagen en perspectiva 2-D).
Proyección en el Y , v , y w dimensiones, produciendo una forma de espiral. ( rango y extendido a ± 2 π , nuevamente como imagen en perspectiva 2-D).
La segunda imagen muestra cómo se asigna el plano complejo de dominio al plano complejo de rango:
- cero se asigna a 1
- el eje x real se asigna al eje v real positivo
- el eje y imaginario se envuelve alrededor del círculo unitario a una tasa angular constante
- los valores con partes reales negativas se mapean dentro del círculo unitario
- los valores con partes reales positivas se mapean fuera del círculo unitario
- los valores con una parte real constante se asignan a círculos centrados en cero
- los valores con una parte imaginaria constante se asignan a rayos que se extienden desde cero
La tercera y cuarta imágenes muestran cómo el gráfico de la segunda imagen se extiende a una de las otras dos dimensiones que no se muestran en la segunda imagen.
La tercera imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje x real . Muestra que el gráfico es una superficie de revolución sobre el eje x del gráfico de la función exponencial real, produciendo una forma de cuerno o embudo.
La cuarta imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje y imaginario . Muestra que la superficie del gráfico para valores de y positivos y negativos no se encuentra realmente a lo largo del eje v real negativo , sino que forma una superficie en espiral alrededor del eje y . Debido a que sus valores de y se han extendido a ± 2 π , esta imagen también representa mejor la periodicidad de 2 π en el valor de y imaginario .
Cálculo de a b donde tanto a como b son complejos
Exponenciación Complex un b se puede definir mediante la conversión de una a coordenadas polares y el uso de la identidad ( e ln una ) b = un b :
Sin embargo, cuando b no es un número entero, esta función tiene varios valores, porque θ no es único (consulte las identidades de falla de potencia y logaritmos ).
Matrices y álgebras de Banach
La definición de la serie de potencias de la función exponencial tiene sentido para matrices cuadradas (para las cuales la función se llama matriz exponencial ) y más generalmente en cualquier álgebra B unital de Banach . En este ajuste, e 0 = 1 , y e x es invertible con inversa e - x para cualquier x en B . Si xy = yx , entonces e x + y = e x e y , pero esta identidad puede fallar para x e y no conmutados .
Algunas definiciones alternativas llevan a la misma función. Por ejemplo, e x se puede definir como
O e x se puede definir como f x (1) , donde f x : R → B es la solución de la ecuación diferencialdf x/dt( t ) = x f x ( t ) , con condición inicial f x (0) = 1 ; se deduce que f x ( t ) = e tx para cada t en R .
Álgebras de mentira
Dado un grupo de Lie G y su álgebra de Lie asociada , el mapa exponencial es un mapa ↦ G satisfaciendo propiedades similares. De hecho, dado que R es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los números reales positivos bajo multiplicación, la función exponencial ordinaria para argumentos reales es un caso especial de la situación del álgebra de Lie. De manera similar, dado que el grupo de Lie GL ( n , R ) de matrices n × n invertibles tiene como álgebra de Lie M ( n , R ) , el espacio de todas las matrices n × n , la función exponencial para matrices cuadradas es un caso especial de Mapa exponencial de álgebra de mentiras.
La identidad exp ( x + y ) = exp x exp y puede fallar por elementos álgebra de Lie x y y que no conmutan; la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona los términos de corrección necesarios.
Trascendencia
La función e z no está en C ( z ) (es decir, no es el cociente de dos polinomios con coeficientes complejos).
Para n números complejos distintos { a 1 ,…, a n }, el conjunto { e a 1 z ,…, e a n z } es linealmente independiente sobre C ( z ) .
La función e z es trascendental sobre C ( z ) .
Cálculo
Al calcular (una aproximación de) la función exponencial cerca del argumento 0 , el resultado será cercano a 1 y calcular el valor de la diferenciacon aritmética de coma flotante puede conducir a la pérdida de (posiblemente todas) las cifras significativas , produciendo un gran error de cálculo, posiblemente incluso un resultado sin sentido.
Siguiendo una propuesta de William Kahan , puede ser útil tener una rutina dedicada, a menudo llamada expm1
, para calcular e x - 1 directamente, sin pasar por el cálculo de e x . Por ejemplo, si el exponencial se calcula utilizando su serie de Taylor
uno puede usar la serie de Taylor de
Esto se implementó por primera vez en 1979 en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C , y fue proporcionado por varias calculadoras, [16] [17] sistemas operativos (por ejemplo, Berkeley UNIX 4.3BSD [18] ), sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación ( por ejemplo C99 ). [19]
Además de la base e , el estándar IEEE 754-2008 define funciones exponenciales similares cerca de 0 para base 2 y 10: y .
Se ha utilizado un enfoque similar para el logaritmo (ver lnp1 ). [nb 3]
Una identidad en términos de la tangente hiperbólica ,
da un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan expm1 x .
Ver también
- Exponencial de Carlitz , un análogo p característico
- Función exponencial doble: función exponencial de una función exponencial
- Campo exponencial: campo matemático equipado con una operación que satisface la ecuación funcional de la exponencial.
- Función gaussiana
- Función semiexponencial , una raíz cuadrada de composición de una función exponencial
- Lista de temas exponenciales
- Lista de integrales de funciones exponenciales
- Función de Mittag-Leffler , una generalización de la función exponencial
- p -función exponencial ádica
- Tabla de Padé para función exponencial - Aproximación de Padé de función exponencial por una fracción de funciones polinomiales
- Tetración : exponenciación repetida o iterada
Notas
- ^ En matemáticas puras, la notación log x generalmente se refiere al logaritmo natural de x oa un logaritmo en general si la base es inmaterial.
- ^ La notación ln x es el estándar ISO y prevalece en las ciencias naturales y la educación secundaria (EE. UU.). Sin embargo, algunos matemáticos (por ejemplo, Paul Halmos ) han criticado esta notación y prefieren usar log x para el logaritmo natural de x .
- ^ Un enfoque similar para reducir los errores de redondeo de los cálculos para ciertos valores de entrada de funciones trigonométricas consiste en utilizar las funciones trigonométricas menos comunes versina , vercosina , coversine , covercosine , haversine , havercosine , hacoversine , hacovercosine , exsecant y excosecante .
Referencias
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ Goldstein, Larry Joel; Lay, David C .; Schneider, David I .; Asmar, Nakhle H. (2006). Cálculo breve y sus aplicaciones (11ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-191965-5. (467 páginas)
- ^ Courant; Robbins (1996). Stewart (ed.). ¿Qué son las matemáticas? Un enfoque elemental de ideas y métodos (2ª ed. Revisada). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 448. ISBN 978-0-13-191965-5.
Esta función exponencial natural es idéntica a su derivada. Esta es realmente la fuente de todas las propiedades de la función exponencial y la razón básica de su importancia en las aplicaciones ...
- ^ "Referencia de función exponencial" . www.mathsisfun.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ Converse, Henry Augustus; Durell, Fletcher (1911). Trigonometría plana y esférica . Serie matemática de Durell. Compañía CE Merrill. pag. 12 .
Uso inverso de una tabla de logaritmos; es decir, dado un logaritmo, para encontrar el número que le corresponde, (llamado su antilogaritmo) ...
[1] - ^ a b Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . pag. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Función exponencial" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ a b Maor, Eli . e: la historia de un número . pag. 156.
- ^ a b O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. (septiembre de 2001). "El número e" . Facultad de Matemáticas y Estadística . Universidad de St Andrews, Escocia . Consultado el 13 de junio de 2011 .
- ^ Serway (1989 , p. 384)
- ^ Simmons (1972 , p. 15)
- ↑ McGraw-Hill (2007)
- ^ Lorentzen, L .; Waadeland, H. (2008). "A.2.2 La función exponencial". . Fracciones continuas . Estudios Atlantis en Matemáticas. 1 . pag. 268. doi : 10.2991 / 978-94-91216-37-4 . ISBN 978-94-91216-37-4.
- ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . pag. 182. ISBN 978-0-07054235-8.
- ^ Apostol, Tom M. (1974). Análisis matemático (2ª ed.). Reading, Mass .: Addison Wesley . pp. 19 . ISBN 978-0-20100288-1.
- ^ Serie HP 48G - Manual de referencia del usuario avanzado (AUR) (4 ed.). Hewlett-Packard . Diciembre de 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Consultado el 6 de septiembre de 2015 .
- ^ Calculadora gráfica HP 50g / 49g + / 48gII manual de referencia del usuario avanzado (AUR) (2 ed.). Hewlett-Packard . 14 de julio de 2009 [2005]. HP F2228-90010 . Consultado el 10 de octubre de 2015 . [2]
- ^ Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 10.2. Exponencial cerca de cero". El manual de computación de funciones matemáticas - Programación usando la biblioteca de software portátil MathCW (1 ed.). Salt Lake City, UT, Estados Unidos: Springer International Publishing AG . págs. 273-282. doi : 10.1007 / 978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .
Berkeley UNIX 4.3BSD introdujo la función expm1 () en 1987.
- ^ Beebe, Nelson HF (9 de julio de 2002). "Cálculo de expm1 = exp (x) −1" (PDF) . 1,00. Salt Lake City, Utah, EE.UU .: Departamento de Matemáticas, Centro de Computación Científica, Universidad de Utah . Consultado el 2 de noviembre de 2015 .
- Enciclopedia McGraw-Hill de ciencia y tecnología (10ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
- Serway, Raymond A .; Moisés, Clemente J .; Moyer, Curt A. (1989), Física moderna , Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0-03-004844-3
- Simmons, George F. (1972), Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas , Nueva York: McGraw-Hill , LCCN 75173716
enlaces externos
- "Función exponencial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]