En matemáticas , una función generadora es una forma de codificar una secuencia infinita de números ( a n ) tratándolos como los coeficientes de una serie de potencia formal . Esta serie se llama la función generadora de la secuencia. A diferencia de una serie ordinaria, no se requiere que la serie de potencia formal converja : de hecho, la función generadora no se considera realmente como una función , y la "variable" sigue siendo una indeterminada . Las funciones generadoras fueron introducidas por primera vez por Abraham de Moivre.en 1730, para resolver el problema general de recurrencia lineal. [1] Se puede generalizar a series de potencias formales en más de un indeterminado, para codificar información sobre infinitas matrices multidimensionales de números.
Hay varios tipos de funciones generadoras, incluidas las funciones generadoras ordinarias , las funciones generadoras exponenciales , las series de Lambert, las series de Bell y las series de Dirichlet ; definiciones y ejemplos se dan a continuación. En principio, cada secuencia tiene una función generadora de cada tipo (excepto que las series de Lambert y Dirichlet requieren que los índices comiencen en 1 en lugar de 0), pero la facilidad con la que pueden manejarse puede diferir considerablemente. La función generadora particular, si la hay, que sea más útil en un contexto dado dependerá de la naturaleza de la secuencia y los detalles del problema que se esté abordando.
Las funciones generatrices a menudo se expresan en forma cerrada (en lugar de como una serie), mediante alguna expresión que involucra operaciones definidas para series formales. Estas expresiones en términos de la x indeterminada pueden implicar operaciones aritméticas, diferenciación con respecto a x y composición con (es decir, sustitución en) otras funciones generadoras; dado que estas operaciones también están definidas para funciones, el resultado parece una función de x . De hecho, la expresión de forma cerrada a menudo se puede interpretar como una función que se puede evaluar en valores concretos (suficientemente pequeños) de x , y que tiene la serie formal como su desarrollo en serie; esto explica la designación de "funciones generadoras". Sin embargo, no se requiere que tal interpretación sea posible, porque no se requiere que las series formales den una serie convergente cuando x se sustituye por un valor numérico distinto de cero . Además, no todas las expresiones que tienen sentido como funciones de x tienen sentido como expresiones que designan series formales; por ejemplo, las potencias negativas y fraccionarias de x son ejemplos de funciones que no tienen una serie de potencias formal correspondiente.
Las funciones generadoras no son funciones en el sentido formal de un mapeo de un dominio a un codominio . Las funciones generadoras a veces se denominan series generadoras , [2] en el sentido de que se puede decir que una serie de términos es el generador de su secuencia de coeficientes de términos.
Cuando el término función generadora se usa sin calificación, por lo general se entiende como una función generadora ordinaria.
Si a n es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta , entonces su función generadora ordinaria se denomina función generadora de probabilidad .